留數（Residue）是復變函數論中一個重要的概念，也稱為殘數。它是指解析函數沿一條正向簡單閉曲線的積分值。如果函數f(z)在點a附近有孤立奇點，那么積分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf(z)dz被稱為f(z)關于點a的留數，記作Res[f(z)，a]。留數是函數在孤立奇點的羅朗展式中負一次冪項的系數。留數的概念不僅適用于復平面上的函數，還可以拓展到任意黎曼曲面上的函數。
定義
嚴格定義是：f（z）在 上解析，即a是f（z）的孤立奇點
如果f（z）是平面流速場的復速度，而a是它的旋源點（即旋渦中心或源匯中心），則積分表示旋源的強度——環(huán)流量，所以留數是環(huán)流量除以2πi的值。由于解析函數在孤立奇點附近可以展成洛朗級數：，將它沿逐項積分，立即可見 ，這表明留數是解析函數
在孤立奇點的羅朗展式中負一次冪項的系數。
性質
留數的性質包括：①解析函數沿某一條不過孤立奇點的簡單閉曲線積分等于其在曲線內部全部孤立奇點的留數之總和乘以2πi。②解析函數關于全部孤立奇點的留數之總和為零。這些性質與環(huán)流量的可疊加性及質量守恒定律相一致。留數的計算方法多樣，具體方法取決于函數的性質以及奇點的類型。
留數定理
設函數 在區(qū)域D內除有限個孤立奇點 外處處解析，C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么
留數的計算
可去奇點
如果函數f在整個圓盤{ |z ? c| < R }內可以延拓為全純函數，則Res(f, c) = 0。但反過來不總成立。
一階極點
在一階極點，留數由以下公式給出：
Res(f,c)=lim_{z→c}(z-c)f(z)。
如果函數g和h在c的一個鄰域內是全純的，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那么函數f(z)=g(z)/h(z)在極點c的留數為：
Res(f,c)=g(c)/h'(c)。
較高階極點的極限公式
對于n階極點，留數由以下公式給出：
Res(f,c)=(1/(n-1)!)lim_{z→c}d^(n-1)/dz^(n-1)((z-c)^nf(z))。
這個公式對于計算低階極點的留數非常有用。對于較高階的極點，級數展開式可能更加容易。
無窮遠點的留數
無窮遠點的留數定義為：
Res(f(z),∞)=-Res((1/z^2)f(1/z),0)。
如果函數f(z)滿足lim_{|z|→∞}f(z)=0，則無窮遠點的留數可以用以下公式計算：
Res(f,∞)=-lim_{|z|→∞}德國采埃孚股份公司(z)。
如果不滿足上述條件，即lim_{|z|→∞}f(z)=c≠0，則無窮遠點的留數為：
Res(f,∞)=-lim_{|z|→∞}z^2·f'(z)。
級數方法
如果函數的一部分或全部可以展開為泰勒級數或洛朗級數，則留數的計算通常更簡單。例如，計算函數sin(z)/(z^2-z)在奇點的留數時，可以通過級數展開和因式分解來確定留數的值。
例子
作為計算留數的例子，考慮以下的路徑積分：
∮_C e^z / z^5 dz
其中C是圍繞原點的任意正向簡單閉曲線。通過將e^z的泰勒級數代入被積表達式并進行積分，可以發(fā)現只有1/(4!z)的項對積分有貢獻，因此留數為1/4!，即πi/12。這個留數是e^z/z^5在z=0的留數。
通過以上的定義、性質和計算方法，留數理論為計算復變函數的路徑積分提供了強大的工具，尤其是在物理學和工程學中的應用。
應用
利用留數定理，可以將特殊類型的實積分轉換為某個復變函數沿簡單閉曲線的積分，然后利用留數定理計算，從而大大簡化計算過程。
參考資料 >