因式分解是將多項式在特定數域范圍內（如實數范圍）分解為多個整式乘積的數學方法，屬于初等數學核心內容，具有簡化復雜問題的實用價值。它是代數的基本課題，在求解廣泛類型的方程、不等式和方程組等應用中具有重要的作用。
多項式的因式分解是一種重要的恒等變形，通過多項式的因式分解，可以將一個復雜的多項式化成幾個簡單的組成成分，從而將比較復雜的問題化成比較簡單的問題。
歷史起源
古希臘時期，人們就已經開始研究因式分解，并利用它來解決實際問題。例如，歐幾里得（英文：Euclid）在其著作《圖形的分割》 中, 運用因式分解, 從幾何學的角度研究了三角形和四邊形的面積關系。
在上圖中,左半圖是一個底邊長為 2 , 高為 3 的三角形，右半圖是一個邊長為 2 的正方形減去一個邊長為 1 的正方形剩下的圖形，這兩個圖形面積是相等的，其原理可以從平方差公式來解釋。此外，歐幾里得還研究了質數的問題，他使用反證法證明了質數的個數是無限的。
公元9世紀，波斯數學家阿爾·花拉子密（英文：Al - Khwarizmi）在研究一次方程的求解時也運用到因式分解 。他在其著作《代數學》(Ilm al-jabr wa'lmukabala)中提出使用合并同類項的方法簡化一次方程的求解。
近代以來，求解代數方程及求其根的分布是古典代數學研究的核心問題。讓代數方程的求解更加簡便，成為人們深入研究因式分解的初衷。1605年，法國數學家弗朗索瓦·韋達（法文：Fran?ois Viète）在其著作中《論方程的整理和修改》（De aequationum recognitione etemendatione）中, 首先給出代數方程的多項式因式分解方法, 并證得所有三次和三次以上的一元 多項式在實數范圍內皆可因式分解。
1629年，荷蘭數學家阿爾伯特?吉拉德(英文：Albert Girard) 在其發表的論文《代數中的新發現》中提出：“n次多項式有n個根”，這被稱為代數的基本定理。之后，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（英文：Leonhard Euler） 、德國數學家約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚?/a> (英文：Johann Carl Friedrich Gauss）先后對該定理進行研究并給出證明。 運用代數定理可以將每個次數高于1的復系數多項式在復數域上唯一地分解成一次因式的乘積。
1631年，英國數學家托馬斯·哈里奧特（英語：Thomas Harriot）在其出版的《實用分析術》(Artis Analyticae Praxis) 中討論了應用因式分解法求解代數方程。具體來說，若，則， 從而；也就是說，是方程的一個根。
1637年，勒內·笛卡爾（法文：René Descartes）在其《幾何學》中，首次使用待定系數法將 4 次方程分解為兩個 2 次方程求解，并最早給出因式分解定理。現今待定系數法已成為多項式因式分解的有力工具。
基本概念
因式分解是對多項式的一種變形，是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式。因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用，是解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強。學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所需的，而且對于培養解題技能、發展思維能力都有著十分獨特的作用。學習它，既可以復習整式的四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力，又可以提高綜合分析和解決問題的能力。
因式分解是整式乘法的逆運算，以下面的平方差恒等式為例，由左向右為整式乘法，而從右向左即為對右端多項式的因式分解。因式分解的數學規范遵循兩項基本原則：一是分解的徹底性，要求結果中的每個因子在對應數域中不可再分解，例如質因數在整數環上的不可分性；二是分解的規范性，多項式分解需保證首項系數標準化并按照變量冪次降序排列，以確保表達形式的唯一性。
從定義可以看到，因式分解的對象為多項式，因式分解的結果必須是整式的積的形式，否則不能稱為因式分解。
因式分解的結果與數域密切相關，例如，在實數域和復數域對多項式會得到不同的結果。
（實數域）
（復數域）
常見方法
提取公因式法、運用公式法和分組分解法是對多項式進行因式分解的三種基本方法，除此之外，針對特殊類型的多項式，還有十字相乘法等方法。
提取公因式法
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法稱為提取公因式法。如果多項式的首項為負，應先提取負號；如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式。要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，并使每一個括號內的多項式都不能再分解。提公因式法是最基本的一種方法，形式為：
在運用提取公因式法時，最好找到各項的最高公因式，即次數最高和系數最大的公因式，如果系數存在非整數，則僅考慮提取系數最大的公因式。例如，多項式各項的最高公因式為，則提取公因式后的因式分解結果為：
運用公式法
根據因式分解的意義，運用常見的乘法公式的逆運算，可以很方便對某些多項式分解因式。這種分解因式的方法稱為運用公式法。
例如，運用完全平方公式可以對以下多項式進行因式分解。
分組分解法
當一個多項式的各項沒有公因式時，可以把該多項式的各項適當分組，從而使這個多項式得以分解，這種方法稱為稱為分組分解法，其基本原則是每個分組中存在公因式，選取的公因式不同，分組結果也有所區別。
例如，對進行因式分解。
如果選取作為公因式，則分解結果為：
如果以多個公因式來分組, 則分解結果為：
十字相乘法
十字相乘法是對二次三項式分解因式最常用的方法，其形式為：
如果二次項系數能夠分解成的乘積, 常數項能夠分解成的乘積，并且按以下方法交叉相乘再相加后正好等于一次項系數 ，
即，那么：
例如，對二次三項式進行因式分解。
二次項系數為6，常數項為-15，由于，將拆分項交叉相乘再相加恰好為常數項-1。
因此，該多項式的分解結果為：。
待定系數法
列出一個含有待定系數的恒等式，再利用多項式的恒等定理，比較恒等式兩邊各對應項的系數，求出待定系數的值，從而實現對原多項式因式分解的方法，稱為待定系數法。
多項式的恒等定理的內容為：兩個多項式恒成立當且僅當對應各項的系數相等，即：。
例如，應用待定系數法對進行因式分解。
原式為二次多項式，如果可以分解，則應該為兩個一次因式，再根據兩個二次項可以初步列出兩個一次項分別為：和。
列出多項式恒等式：
將右側展開：
解得
代回恒等式，即：
常見的因式分解等式
完全平方公式
平方差公式
立方和與立方差公式
完全立方公式
其他公式
相關概念
有理根
多項式的有理根指的是方程中在形式上可以表示為即約分數的的解，其中及均為整數， 且最大公約數為1。對于高于4次的有理數系數的方程，盡管沒有一般的求根公式。但如果其系數均為有理數，且僅需要求出有理根，該問題的求解方法已經比較完善。
公因式
是數域上的兩個多項式，如果既是的因式， 又是的因式，則稱為與 的一個公因式。公因式的概念可以推廣到有限多個多項式。
最大公因式
如果是與 的一個公因式，并且與的任意一個公因式均是的因式，則稱是與 的最大公因式。最大公因式的概念同樣可以推廣到有限多個多項式。
可約多項式與不可約多項式
是數域上的一個多項式，若在數域上只有平凡因式（非零常數以及本身的非零常數倍），稱為數域上的不可約多項式，否則為可約多項式。從該定義可以看出，一個多項式是否可約，與定義的數域密切相關。例如，多項式在實數域是不可約的，但在復數域是可約的，即：。
因式定理
一元n次多項式f(x)含有因式x-a的充分必要條件是f(a)=0，該定理被稱為因式定理，這是笛卡兒在《幾何學》一書中提出的。
因式分解唯一性定理
數域上的任何一個非常數多項式都可以分解為數域上有限個不可約的多項式的乘積，并且這個分解式是唯一的。該定理為多項式的因式分解提供了理論依據。
應用
恒等變換
因式分解在求解和證明恒等變換問題中非常重要。例如：
設，證明。
證明過程如下：
依題意，有：
兩邊平方可得：
整理可得：
兩邊再平方可得：
整理可得：
對上式因式分解有：
因此：
解二次以及高次方程
使用因式分解的方法可以解方程。例如，在解一元二次方程時，經常用到十字相乘法和拆項分組法等。因式分解法在解高次方程時也有所運用。例如：
解方程
求解過程如下：
使用十字相乘法對等式左端進行因式分解，可得：
故方程的解為
三角變換
在三角變換問題中，經常涉及到同角的幾個基本等式與和差化積的公式的使用，因式分解經常用于三角變換問題中。例如：
化簡：
下面是求解該問題的一種方法，該方法運用了因式分解。
求公因式和求公倍式
求公因式和求公倍式是因式分解的一個重要應用，公因式和公倍式是和分式的運算緊密相關聯的。例如：
求及 的最高公因式。
求解過程如下：
對兩式進行因式分解可得：
故所求的最高公因式為。
分式運算
因式分解在分式的計算和化簡中具有非常重要的作用。例如：
化簡分式
求解過程如下：
參考資料 >
因式分解.術語在線—權威的術語知識服務平臺.2023-05-04