和差化積（change sum or difference into product of trigonometric 函數(shù)）是指在平面三角中，把某些角的三角函數(shù)的和差表達(dá)式化成另一些角的三角函數(shù)的乘積形式，這種三角函數(shù)表達(dá)式的恒等變形過(guò)程稱(chēng)為和差化積。它是用三角恒等式換元的方法轉(zhuǎn)化出新的變量間三角函數(shù)恒等式，是三角函數(shù)的一類(lèi)重要公式。該公式是基于兩角和與差的正弦、余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行串聯(lián)應(yīng)用的結(jié)果。該公式是對(duì)一次三角函數(shù)實(shí)行，對(duì)高次三角函數(shù)，可用降冪方法降為一次；對(duì)同名三角函數(shù)方可實(shí)行，異名三角函數(shù)的情況可用誘導(dǎo)公式化為同名。此外，在一些情況中，我們還有可能用到正切、余切的和差化積公式。
和差化積的公式及其推導(dǎo)為，，，。
和差化積公式是由法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)首先發(fā)現(xiàn)的。文藝復(fù)興后期，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)成為三角公式的集大成者。他的《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》（1579年）是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專(zhuān)著之一。在這本書(shū)中，除匯總前人的成果外，他還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的如和差化積公式等新公式。和差化積公式可以用來(lái)計(jì)算與三角函數(shù)如（sinx±siny）、（sin2x-sin2y）等有關(guān)的一類(lèi)問(wèn)題。
定義
和差化積是指在平面三角中，把某些角的三角函數(shù)的和差表達(dá)式化成另一些角的三角函數(shù)的乘積形式，這種三角函數(shù)表達(dá)式的恒等變形過(guò)程稱(chēng)為和差化積。它是三角函數(shù)的一類(lèi)重要公式；和差化積公式是用三角恒等式換元的方法轉(zhuǎn)化出新的變量間三角函數(shù)恒等式。該公式是基于兩角和與差的正弦、余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行串聯(lián)應(yīng)用的結(jié)果。與積化和差公式可以近似為逆運(yùn)算，用來(lái)計(jì)算與三角函數(shù)有關(guān)的一類(lèi)問(wèn)題。
簡(jiǎn)史
法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)首先發(fā)現(xiàn)了和差化積公式。文藝復(fù)興后期，韋達(dá)成為三角公式的集大成者。他的《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》（1579年）是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專(zhuān)著之一。在這本書(shū)中，除匯總前人的成果外，他還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的如和差化積公式等新公式。
推導(dǎo)證明
如下圖所示，A和B是單位圓O上的任意兩點(diǎn)。設(shè)。C是線段AB的中點(diǎn)，由于為等腰三角形，因此OC是∠AOB的角平分線也是底邊AB上的高，OC的長(zhǎng)度等于OB的長(zhǎng)度乘以，即，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（），即點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為（）。
?又因?yàn)辄c(diǎn)A（），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（），C是線段AB的中點(diǎn)，所以可得，。
根據(jù)三角函數(shù)恒等變換和正弦、余弦函數(shù)的奇偶性，可以得，。
事實(shí)上，上述提到的角?α和β都是銳角?。但重要的是，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，?當(dāng)α和β為任意角時(shí)，上述公式依然成立?。這一點(diǎn)在此不再贅述。此公式本質(zhì)上是?圓的對(duì)稱(chēng)性的解析表達(dá)?。抓住圓的對(duì)稱(chēng)性這一點(diǎn)?，可以更容易地記憶和理解該公式。它不僅是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，也是理解圓形幾何特性的關(guān)鍵所在。通過(guò)這一公式，可以更深入地探索三角函數(shù)與圓形之間的關(guān)系。
應(yīng)用
解決與sinx±siny有關(guān)問(wèn)題?
根據(jù)和差化積公式，可以輕松得到以下等式：?。當(dāng)遇到三角函數(shù)表達(dá)式，若?x+y或x-y為定值或特殊值?時(shí)，利用三角函數(shù)的和差公式，將原式化簡(jiǎn)為只含有正弦或余弦的單名三角函數(shù)形式，便于求解。
例1：（2013年重慶市9）=（）：（A），（B），（C），（D）。對(duì)原式進(jìn)行變形，得到以下步驟：?轉(zhuǎn)化為。進(jìn)一步變形為。最終簡(jiǎn)化為。
利用和差化積化簡(jiǎn)上式得：==，故選擇答案（C）。
解決與sin2x-sin2y有關(guān)問(wèn)題
===。
例2：上式中若x+y或x-y為已知、定值或可約情形，則極易求解。已知，要求的值。=====。
總之，簡(jiǎn)單的三角恒等變換中的和差化 積公式，可以用來(lái)處理三角函數(shù)中的一些求值、證明或判斷等相關(guān)問(wèn)題，可以使得三角函數(shù)問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷有效．而在具體應(yīng)用和差化積公式時(shí)，要注意應(yīng)用公式之后能否出現(xiàn)特殊角；應(yīng)用公式之后能否進(jìn)行提取公因式，能否約分，能否合并或消去同類(lèi)項(xiàng)等；應(yīng)用公式之后能否使三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單，各種關(guān)系更加明顯，從而為下一步選用公式進(jìn)行變換與轉(zhuǎn)化創(chuàng)造條件，是基于深度學(xué)習(xí)與創(chuàng)新應(yīng)用的基本要求。
相關(guān)定理
勾股定理
勾股定理是中國(guó)古代幾何學(xué)的成就之一，它給出了直角三角形三邊的長(zhǎng)度關(guān)系，即任意一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度平方之和等于斜邊長(zhǎng)度的平方。又稱(chēng)商高定理或畢達(dá)哥拉斯定理。中國(guó)漢朝的《周髀算經(jīng)》中，周公與商高對(duì)話提及直角三角形有?勾三股四弦五?的關(guān)系。書(shū)中雖已給出一般情形的證明，但原證已失傳。趙爽（趙爽）通過(guò)勾股割補(bǔ)圖展示了其割補(bǔ)證法：原勾股形?為△AFB，正方形FBEI代表?勾方?，正方形DHIG代表?股方?。通過(guò)割下△DGC補(bǔ)到△DHA，割下△BEC補(bǔ)到△BFA，最終得到弦方ABCD。此外，歐幾里得的《幾何原本》第一卷末也記載了勾股定理的證明。該定理的推廣即為任意三角形的?余弦定理?：?，其中C是邊c的對(duì)角。
三角函數(shù)
三角函數(shù)是起源于幾何學(xué)的最簡(jiǎn)單的超越函數(shù)，高等分析學(xué)中計(jì)量角度的方法是所謂弧度法，即以單位圓周上的弧段量度相應(yīng)的圓心角。三角函數(shù)是sinx、cosx以及由它們導(dǎo)出的、、、，它們的定義下圖所示。
積化和差
積化和差（change product into sum or difference of trigonometric 函數(shù)）是三角函數(shù)的一類(lèi)重要公式，指一些三角函數(shù)的乘積可以依式化成三角函數(shù)的和或差。積化和差公式在歷史上最早被稱(chēng)為“加減術(shù)”，與對(duì)數(shù)類(lèi)似，它是德國(guó)天文學(xué)家維納為了簡(jiǎn)化冗長(zhǎng)繁雜的運(yùn)算而萌生出的創(chuàng)造之舉。
其公式為：，，，。
相關(guān)人物
弗朗索瓦·韋達(dá)是法國(guó)數(shù)學(xué)家，16 世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一.被尊稱(chēng)為“代數(shù)之父”。他是第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)，并對(duì)方程論做了改進(jìn)的數(shù)學(xué)家。
韋達(dá)是法國(guó)16 世紀(jì)最有影響力的數(shù)學(xué)家。他在畢業(yè)以后（1564—1568)和從政期間(1584—1589)曾潛心探討數(shù)學(xué)，并一直將這一研究作為業(yè)余愛(ài)好。為了把研究成果及時(shí)發(fā)表.還自籌資金印刷和發(fā)行自己的著作。由于他的論著內(nèi)容深?yuàn)W，言辭艱澀，故其理論當(dāng)時(shí)并沒(méi)有產(chǎn)生很大影響。直到1646年，荷蘭數(shù)學(xué)家斯霍膝在萊頓出版了韋達(dá)全部著作的文集，才使他的理論漸漸流傳開(kāi)來(lái)，得到后人的承認(rèn)和贊美。
例題
設(shè)函數(shù)（1）已知函 數(shù)是 偶 函 數(shù) ，求的 值 ；（2）求函數(shù)的值域 。
解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以任取都 有，即.移項(xiàng)得利用和差化積公式可得所以又因?yàn)樗曰?
（2）由條件，函數(shù) 所以值域為
參考資料 >
勾股定理.中國(guó)大百科全書(shū).2025-06-09
初等函數(shù).中國(guó)大百科全書(shū).2025-06-11