函數（function）被定義為：設是非空實數集，如果對于中的每一個，按照某個對應法則，都有確定的與之對應，則稱是定義在上的的函數。函數的三要素是定義域、值域和對應法則，它們是函數概念的核心組成部分。函數可以通過解析法、列表法、圖示法和語言敘述法四種基本方法進行表示，且其具有奇偶性、單調性、有界性、周期性、連續性、凹凸性、復合函數、反函數、分段函數等基本性質。基本初等函數包括常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數。函數的關系包括互為反函數與函數的復合。
函數（function）的概念是在1673年由德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出并開始使用的。中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞，最早是中國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1859年）一書時，把“function”譯成“函數”的。他給出的翻譯理由是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，或者說一個量中包含另一個量。1697年,約翰·伯努利（Johann I Bernoulli ）給出了函數的第一個定義:一個按照任何方式用變量和常量構成的量。1734年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Paul Euler）引入了函數符號“”，首次將函數作為明確而主要的內容,而不是將曲線作為主要的研究對象,促進了幾何的算術化，但是當時的概念仍然比較模糊。直到1837年，德國數學家狄利克雷(Dirichlet)才比較清楚地說明了函數的內涵。19世紀70年代以后，隨著集合概念的出現，函數的概念得以用更加嚴謹的語言來描述。
函數是數學和計算機科學中的重要概念之一，在許多不同領域都具有廣泛的用途。函數已廣泛運用于計算機編程與軟件開發、物理學、生物學、數據分析與統計學以及經濟學和金融學等領域。
基本概念
映射
設和是兩個集合，所謂集合到集合的一個映射是指一個法則，這個法則使中每一個元素都有中唯一一個與之對應。如果映射使元素與對應，則記,稱為在映射的像，而稱為在映射的原像。例如：若是全體整數的集合，是全體偶數的集合，定義則這是到的映射。
函數的定義
設是非空實數集，如果對于中的每一個，按照某個對應法則，都有確定的與之對應，則稱是定義在上的的函數，記作，稱為函數的定義域，稱為自變量，稱為因變量。如果是函數的定義域中的一個值，則稱函數在點有定義。函數在點的對應值稱為函數在該點的函數值，記作或.?當自變量在定義域內取每一個數值時，對應的函數值的全體稱為函數的值域，記作。
需要注意的是在函數的表達式中，表示函數關系，而表示對應于的函數值，兩者是有區別的。函數的定義域是自變量的取值范圍，而函數值則是由函數關系確定的，即只有當兩個函數的定義域和對應法則完全相同時，兩個函數才是相同的。例如函數與函數y=的定義域不同，因而為兩個不同的函數。
歷史沿革
早期發展
在歐洲16、17世紀的工業繁榮和日益普及的工業生產推動了技術科學和數學的發展，為數學提出了新的問題。函數就是在這個思維爆炸的時代中逐漸被數學家們所理解和提出的。函數這一數學術語最早由戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried-Wilhelm Leibniz）提出，最初被用來表示冪，后來則稱為隨著曲線上的點變動而變動的量。然而，這些定義并不完全符合后來函數的定義，僅僅表達了隨著曲線上的點的變動而變動的縱坐標、切線、法線等長度等。約翰·白努利（Johann I Bernoulli ）在1697年給出了函數的第一個定義：一個按照任何方式用變量和常量構成的量。在1698年，他采用了戈特弗里德·萊布尼茨的說法，稱這個量為“的函數”，并表示為。
1718年，約翰·伯努利（Johann I Bernoulli ）在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量?！彼囊馑际欠沧兞亢统Ａ繕嫵傻氖阶佣冀凶龅暮瘮?，并強調函數要用公式來表示。1748年，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Paul Euler）在其《無窮分析引論》一書中把函數定義為：“一個變量的函數是由該變量的一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。1755年， 歐拉（Leonhard Paul Euler）在《微分學原理》中給出函數另一個定義：如果某些量以如下方式依賴于另一些量，即當后者變化時，前者本身也變化，則稱前一些量是后一些量的函數。1797年約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在他的《解析函數論》中把一元或多元函數定義為：自變量在其中可以按任意形式出現并對計算有用的表達式。
函數概念的確立
1821年，柯西（Cauchy sequence）提出現在中學教材中常用的函數定義：如果在一些變量之間存在一定關系，給定其中一個變量的值，其他變量的值也可以確定，那么最初的變量是自變量，其他變量是函數。這個函數定義比以前的定義更廣泛。
1834年，俄羅斯數學家尼古拉·羅巴切夫斯基（Никола?й Ива?нович Лобаче?вский）提出函數的新定義：的函數是這樣一個數，它對于每一個都有確定的值，并隨著的變化而變化。他認為，“函數值可以通過解析式或條件給出，條件提供了一種尋找所有對應值的方法。函數的這種依賴關系可能存在，但仍然是未知的?！边@個定義強調了對應關系的必要性。
后來，德國數學家狄利克雷(Dirichlet)拓寬了函數概念，指出：“如果在某個區間上，對于每個確定的值，都有一個確定的值，那么叫做的函數?！边@個定義通過與之間的關系來確定函數自變量與變量之間的關系。這個表述成為傳統函數定義的原型。
函數概念的推廣
在數學發展的18世紀末到19世紀后半葉，函數概念逐漸變得嚴密。到19世紀70年代，格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）開創了集合論理論，對函數概念的定義產生了影響。20世紀初，維布倫（Oswald Veblen）提出了近代函數定義，打破了“變量是數”的限制。豪斯道夫（Hausdorff space）在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數。
1930年，現代函數概念被定義為：對于變量的每個值都存在一個確定的值與之對應，那么變量就是變量的函數。這個定義在高中課本中被廣泛使用。我們現在擁有比較完善、嚴密的函數概念，這歸功于歷代數學家的研究和努力。
函數的表示法
解析法
用含有數學關系的等式來表示兩個變量之間的函數關系，必要時還可以注明函數的定義域、值域，這種表示函數的方法稱為解析法。例如,等。在許多自然學科中，常常采用解析法表示函數關系，因為解析法直接指出了對自變量施行什么樣的運算（如算術運算、乘方、開方、取對數、取三角函數等等），以及按照怎樣的次序運算就可以求對應的函數值。需要注意，用解析表示法表示函數時,不一定只用一個解析式子表示，自變量在不同范圍內變化時，可能需要采用幾個式子表示函數。解析法是函數的精確的描述，其優點是便于進行理論分析和研究，缺點是不直觀，而且有些實際問題中的函數關系往往難以用解析法來表示。
分段函數的解析式
列表表示法
將自變量的一系列的值和它所對應的函數值列成表格來表示函數的方法，稱為函數的列表表示法。例如三角函數表、對數表、三角函數對數表等等，都是用列表法表示函數的例子。在物理學、化學以及各種實驗科學中，也常把實驗所得的（具有函數關系的變量的）數據列成表格，用以表示變量間的函數關系。列表表示法的優點是，由表中的自變量值可以不通過運算直接查出對應的函數值，特別是列表法可以用來表示還不知道解析式子的函數，這在許多自然科學中是最常用的。缺點是不完備，一般不能在表中把函數關系完全表達出來。例如：某國1980-1985年人口估計數字如下表所示：
以上內容來源于。
圖示法
圖示法是用某坐標系下的一條曲線反映自變量與因變量的對應關系的方法。比如，氣象臺自動溫度計記錄了某地區的一晝夜氣溫的變化情況，這條曲線在直角坐標系下反映出來的就是一個函數關系。圖形表示法優點是，它把自變量與函數間的關系通過圖形明顯地表示出來。缺點是從圖形上得到的自變量與函數的對應值不夠準確，并且不能直接運用高等數學方法進行計算。如果函數是由解析法給出的，那么作圖形時就要在直角坐標系中把自變量的值作為點的橫坐標，對應的函數值作為點的縱坐標，由、所描出的點的全體組成的幾何圖形，就是所給函數的圖形。
函數的性質
奇偶性
如果函數的定義域關于坐標原點對稱（即若，則）,若對于任意的都有，則稱為偶函數；若對于任意的，都有,則稱為奇函數。偶函數圖像關于軸對稱，奇函數的圖像關于原點對稱。例如：、在定義區間上都是偶函數；而、在定義區間上都是奇函數。
單調性
設函數在內有定義，若對內的任意兩點，當時，恒有,則稱在內單調增加；若當時，恒有,則稱在內單調減少，區間稱為單調區間。單調增加函數的圖像是沿軸正向上升的曲線，單調減少函數的圖像是沿軸正向下降的曲線，單調遞增函數和單調遞減函數統稱為單調函數。例如在區間內是單調減少的，在區間內是單調增加的。
導數與導函數
設函數在點的某鄰域內有定義，當自變量在處有增量時，函數有相應的增量,如果極限存在，則稱此極限值為函數在點處的導數，記作,,或即,此時稱函數在點處可導；若上述極限不存在，則稱函數在點處不可導。
若函數在開區間內每一點處都可導，則稱函數在開區間內可導。對于區間內的每一個,都有一個確定的導數值與之對應，這樣就構成了的一個新函數，這個新函數稱為原來函數的導函數，記為,,或,即,函數在點處的導數就是導函數在點的導數值。
導數與單調性的關系
設函數在上連續，在內可導，則：
（1）如果在內，,那么函數在區間上單調增加。
（2）如果在內，,那么函數在區間上單調減少。
有界性
設函數在區間上有定義，如果存在一個正數，使得與任一所對應的函數值都滿足不等式,就稱函數在內有界。若不存在這樣的，就稱在內無界。例如函數在內有界，因為對于一切的時，恒有成立，這里的=1。
周期性
設函數在上有定義，若存在常數,對于任意的,恒有,則稱是以為周期的周期函數。一個周期為的周期函數，它的圖像在定義域內每隔長度為的相同區間上，都有相同的形狀，通常所說的周期函數的周期是指它們的最小正周期。例如函數都是以為周期的周期函數。
連續性
極限
設函數在內有定義，是常數。若對任意給定的正數（無論多小），總存在正數，使得對于適合不等式的一切,對應的函數值都滿足不等式,那么這個常數就叫做函數當時的極限，記作或。
定義
設函數在點的某個鄰域內有定義，當自變量在處有增量時，相應地函數有增量,如果,則稱在點處連續。例如函數在點處連續，因為。
間斷點
函數在點的某鄰域內（至多除了點本身）有定義，由函數在點連續的定義可知，如果函數存在下列三種情形之一：
（1）在點處沒有定義，即不存在；
（2）不存在；
（3）雖然和都存在，但是,則在點處不連續，這時點稱為函數的不連續點或間斷點。
間斷點通常分為兩類，即第一類間斷點和第二類間斷點。設是函數的間斷點，但是在處左右極限都存在，則點為函數的第一類間斷點。在第一類間斷點中，左右極限不相等的稱為跳躍間斷點，左右極限相等的稱為可去間斷點。此外，凡不屬于第一類間斷點的都稱為第二類間斷點。
基本初等函數
常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數被統稱為基本初等函數。
以上內容來源于。
函數的關系
互為反函數
設函數的定義域為，值域為，如果對于中的每個數,在中都有一個唯一確定的數與之對應，且使得成立，則確定了一個上的以為自變量，為因變量的函數，稱為的反函數，記作,其定義域為，值域為。通常習慣用表示自變量，表示因變量，因此往往將反函數中的與互換位置，記作,。并稱為的常規反函數，而稱為直接反函數。
在同一坐標系中，函數與表示變量與之間的同一關系，它們的圖像是同一條曲線；函數與其反函數的圖形關于直線對稱。需要注意的是，只有自變量與因變量一一對應的函數才有反函數。
函數的復合
在同一個現象中，有時兩個變量之間的聯系并不是直接的，而是通過另一個變量間接取得聯系，即由兩個函數結合成為一個函數的情形。例如,,是的函數，是的函數，最終是的函數,此時稱是由，復合而來的復合函數。
復合函數的一般定義為：設,;且函數的值域的全部或部分包含在函數的定義域內，則稱為由與復合而成的復合函數，其中叫做中間變量。
常用函數
隱函數
一般地，如果和的函數關系由方程所確定，那么稱這種函數為隱函數。例如：,等，而稱形如的函數為顯函數。把一個隱函數化為顯函數，叫做隱函數的顯化。例如由換化成為。
多項式函數
將作為自變量，多項式作為因變量，就得到一個從到的函數，稱為n元多項式函數，簡稱多項式函數，當n=1時就是一元多項式函數，當n>1時就是多元多項式函數。多元多項式函數的和，差，積運算的結果就定義為相應的多元多項式函數作和，差，積運算所得到的多元多項式函數，而不把積運算看作是兩個函數的復合函數。
分段函數
在自變量的不同變化范圍內，用不同的式子來表示其對應法則的函數成為分段函數，例如,符號函數 ，此外分段函數中較為常用的函數還有絕對值函數、脈沖函數和階梯函數。
絕對值函數
絕對值函數，是指定義域是一切實數，值域是一切非負數的函數，例如。在計算機語言或計算器中，絕對值函數常記作abs(x) 。絕對值函數是偶函數，其圖形關于y軸對稱。
脈沖函數
脈沖函數是英國物理學家保羅·狄拉克(Dirac)在20世紀20年代引入的，用于描述瞬間或空間幾何點上的物理量。脈沖函數的定義是：,其中是很大的正數，,而是很小的正數。這類函數出現在實際應用中，例如一個很大的力作用在一段很短的時間內。
階梯函數
單位階梯函數的定義為
復變函數
定義
設為復平面上的非空集合，若有一個確定的法則存在，按照這一法則，對于內的每一個復數,都有確定的復數與之對應，則稱復變數為的復變函數，記作。其中自變量，為因變量，集合稱為的定義域，與中所有復數對應的值的集合稱為的值域。集合是的子集。若對于中的每個值都有中唯一確定的復數與之對應，則稱為單值函數；若中的每個值對應著中的幾個或無窮多個值，則稱為多值函數。
幾何表示
對一個復變函數來說，它反映了兩對變量和之間的對應關系，因而無法借助同一個平面或同一個三維空間中的幾何圖形表示出來，復變函數中有4個變量，可通過四維空間來描述，但從直觀上不易于理解，因此借助兩個復平面來表示點集之間的對應關系。如下圖所示：取兩張復平面，分別為平面和平面，若以平面上的點集表示自變量的取值范圍，以平面上的點集表示函數值的取值范圍，則確定了點集和點集之間的一個對應關系。
在幾何上，復變函數直觀地給出了從平面上的點集到上的點集的一個對應關系，也稱為這兩個復平面上的點集之間的對應關系為點集到的一個映射或變換。這個映射通常簡稱為由函數所構成的映射。點集中的點通過所對應的中的點稱為在映射下的象，而稱為的原象。
高斯函數
一維高斯函數定義為：(),指數中加入因子是為了高斯函數曲線的中央高度具有最大值1，曲線下的面積等于。
二維高斯函數定義為：(其中)。如下圖所示：函數曲線下的體積為ab，若a=b=1，則二維高斯函數可表示為;若用極坐標表示，則令便有。
補充：高斯函數是光滑函數，且其各階導數都是連續的，高斯函數的傅里葉變換也是高斯函數。
應用領域
計算機編程與軟件開發
無論是面向對象的編程還是過去式程序設計，函數都是實現結構化編程的重要手段。通過函數的定義，可以實現功能的模塊化和代碼的重用。對函數進行定義后，可以進行函數的調用。函數的調用是指在程序使用一個函數完成一些計算或者數據處理。
物理學
函數在物理學中的運用十分廣泛，包括運動學、力學、電磁學等都涉及到數學函數的應用。例如，在物理學中，物體運動的速度和距離均可表示為時間的函數（即和）以及自由落體現象可以被二次函數所描述（如自由落體位移公式）等。
生物學
在生物科學的研究中，運用函數關系來表示生命現象及其生存環境的數量關系的規律方面已經有了大量的實例。例如：一個母細胞分裂成2個子細胞后死亡，然后由子細胞再進行分裂。這種生命現象的繁殖，可用函數關系表示，其中表示開始時細胞群的大小，即細胞總數；表示繁殖的代數，表示代數時的細胞總數。
數據分析和統計學
在數據分析和統計學中，函數可用于描述數據之間的關系，進行數據轉換和計算統計指標。常見的統計函數包括均值、方差和相關系數等。
均值
表示樣本的測量數據集中地趨向某一個值，該值稱為平均值，簡稱均值。均值是描述測量數據位置特征的值，可以用來衡量一定條件下的測量水平和概括地表現測量數據的集中情況。對有個樣本的測量值,其均值為：。
方差
描述測量數據在中心位置（均值）上下波動的程度差異的值稱為均方差，通常稱為方差。方差表明樣本的測量值是變量，既趨向于均值而又在一定范圍內波動。對于均值為個樣本的測量值，其方差的定義為：。
經濟學和金融學
在經濟分析中，對于成本、價格、收益等經濟量的關系研究十分重要，函數在經濟學用于建立經濟模型、分析市場趨勢和計算財務指標等。在經濟學中常用的函數有需求函數、供給函數、總成本函數、總收益函數和利潤函數等。而在金融學領域，利率、股票價格、貨幣匯率等都可以用數學函數來描述和計算。例如某種股票的成交額與該股票的成交量、成交價之間的關系可用函數來表示。
需求函數
商品的需求量對價格的函數，稱為需求函數，記作，一般地，當商品價格增加時，商品的需求量將會減少，因此需求函數是單調遞減函數。
供給函數
商品的供給量對價格的函數，稱為供給函數，記作，一般地，商品的價格越高，市場供給量越多。因此，供給函數是單調增加函數。若市場上某商品的需求量剛好等于供給量，則稱市場處于均衡狀態，此時商品的價格稱為均衡價格，商品的需求量（或者供給量）稱為均衡商品量。
總成本函數
設總成本為，固定成本為，可變成本為,平均成本為，產量為，則總成本函數為：,平均成本函數為。
總收益函數
設表示總收益，表示銷售量,表示商品的銷售價格，則總收益為銷售量與價格的乘積，總收益函數為;平均收益為總收益與銷售量之比，平均收益函數為。
總利潤函數
設為總利潤，為總收益，為總成本，為產量（或銷售量），則總利潤為總收益與總成本之差，總利潤函數為,當總收益等于總成本時，即時，此時的產量稱為盈虧兩平點或保本點。
參考資料 >