三角函數的反函數稱為反三角函數（Inverse trigonometric 函數），反三角函數是基本初等函數之一。
根據反函數存在定理，如果將三角函數限定在某個單調區間內，那么可以建立起它們各自的反函數，即反三角函數。在復數域中，反三角函數可推廣為復變函數；常見的反三角函數有反正弦函數（arcsin）、反余弦函數（arccos）、反正切函數（arctan）、反余切函數（arccot）、反正割函數（arcsec）、反余割函數（arccsc），這些函數具有一系列重要的數學性質與運算規則，包括負數關系、倒數關系等；反三角函數是超越函數，在實數域、復數域中有很多基本運算公式。
反三角函數的歷史可以追溯到古希臘時期。在古希臘，數學家們開始研究三角函數和角度的概念。然而，反三角函數并沒有在這個時期被廣泛研究和應用。直到17世紀，伽利略·伽利萊、戈特弗里德·萊布尼茨等人開始對三角函數進行深入研究。在17世紀末至19世紀初的時期，著名的數學家萊昂哈德·歐拉、約瑟夫·拉格朗日和高斯等人也參與了進來。在這一時期，反三角函數的研究也與微積分和復變函數等數學分支產生了密切的聯系。從19世紀開始，隨著復變函數論、泛函分析和數值計算等數學分支的興起，反三角函數的性質和應用得到了更加深入和廣泛的研究。現在反三角函數被廣泛應用于物理學領域、計算機編程與軟件開發以及工程學領域，是一類重要的數學工具。
定義
三角函數、、、都是周期函數，對于值域內的每個值，有無窮多個值與之對應。例如正弦函數，對于,有無窮多個值與之對應。因此，三角函數、、、在它們各自的定義域內，并不存在反函數。但是根據反函數存在定理，如果將這些三角函數限定在某個單調區間內，那么可以建立起它們各自的反函數，即反三角函數，反三角函數是基本初等函數之一。
反正弦函數
（1函數在區間內的反函數，叫做反正弦函數的主值，簡稱為反正弦，記作,習慣上寫作；其中,。注意此處“-1”記法意為“逆”，可能與取“倒數”產生混淆，建議采用“arc”的記法以明確區分。
反余弦函數
函數在區間內的反函數，叫做反余弦函數的主值，簡稱反余弦，記作,習慣上寫作，其中，。
反正切函數
函數在區間內的反函數，叫做反正切函數的主值，簡稱為反正切，記作,習慣上寫作,其中，。
反余切函數
函數在區間內的反函數稱為反余切函數，簡稱反余切，記作,習慣上寫作,其中，。
反正割函數
函數,在區間內的反函數稱為反正割函數，簡稱為反正割，記作,其中,。
反余割函數
函數,在區間內的反函數稱為反余割函數，簡稱為反余割，記作,其中,。
歷史沿革
古代至17世紀
反三角函數的歷史可以追溯到古希臘時期。在古希臘，數學家們開始研究三角函數和角度的概念。在這個時期，人們已經開始使用正弦、余弦和正切等三角函數來解決實際問題。然而，反三角函數并沒有在這個時期被廣泛研究和應用。直到17世紀，反三角函數才開始得到更深入的研究。伽利略·伽利萊和戈特弗里德·萊布尼茨等數學家開始研究反三角函數的性質和應用。他們發現了反正弦、反余弦和反正切等函數的定義和性質，并開始將其應用于解決各種實際問題。這一時期標志著反三角函數開始成為獨立的數學概念，并為后來的研究奠定了基礎。
17世紀至19世紀
在17世紀末至19世紀初的時期，著名的數學家歐拉、約瑟夫·拉格朗日和高斯等人開始深入研究反三角函數的性質和應用。他們提出了更多的反三角函數的性質和公式，并將其應用于解決更加復雜的數學和物理問題。在這一時期，反三角函數的研究也與微積分和復變函數等數學分支產生了密切的聯系。數學家們開始研究反三角函數的導數和積分，從而為后來的微積分學的發展奠定了基礎。同時，反三角函數也被廣泛應用于解決物理學、工程學和天文學等領域的問題，成為了這些學科中不可或缺的數學工具。
19世紀至今
從19世紀開始，隨著數學和科學的發展，反三角函數的研究和應用繼續得到了進一步的發展。在這一時期，隨著復變函數論、泛函分析和數值計算等數學分支的興起，反三角函數的性質和應用得到了更加深入和廣泛的研究。同時，隨著計算機技術的發展，反三角函數也被廣泛應用于數值計算和科學工程計算中。數學家們提出了更多的數值計算方法和算法，以解決復雜的數學和工程問題。反三角函數也成為了這些數值計算方法和算法中不可或缺的一部分。
基本概念
反函數
設函數的定義域為，值域為，如果對于中的每個數,在中都有一個唯一確定的數與之對應，且使得成立，則確定了一個上的以為自變量，為因變量的函數，稱為的反函數，記作,其定義域為，值域為。通常習慣用表示自變量，表示因變量，因此往往將反函數中的與互換位置，記作,。
三角函數
三角函數（Trigonometric functions），又叫圓函數、角函數或測角函數，基本初等函數之一，三角函數建立在三角形的邊和角之間關系的基礎上，將直角三角形的內角和它的兩邊的比值相關聯。在中，，則的定義如下表：
以上內容來源于。
性質
基本性質
以上內容來源于。
超越性
超越函數
設有二元代數方程,其中為正整數，系數都是的多項式，且，若一個函數能夠滿足這個方程，則這個函數叫做代數函數，非代數函數叫做超越函數。
反三角函數的超越性
利用反證法可以證明：反三角函數為超越函數。由于反三角函數不滿足方程，故反三角函數為超越函數。
證明：以為超越函數證明為例，若為代數函數，則,由即，故有,即,由于是的多項式，因此可變形為,其中是的多項式，即滿足代數方程為代數函數，該結論與定理三角函數為超越函數矛盾，故為超越函數，同理可證其他反三角函數為超越函數。
基本運算
三角函數對反三角函數的運算
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反三角函數間的關系
互余關系
（1）反正弦函數與反余弦函數的和恒為，即,其中。
（2）反正切函數與反余切函數的和恒為，即,其中。
（3）反正割函數與反余割函數的和恒為，即,其中。
互表關系
以上內容來源于
反三角函數和差倍的運算
反正弦函數和差倍的運算
（1）
(2)
(3)
反余弦函數和差倍的運算
（1）
（2）
（3）
反正切函數和差倍的運算
（1）
(2)
(3)
微積分學運算
求導
（1）反正弦函數的導數為。
（2）反余弦函數的導數為。
（3）反正切函數的導數為。
(4)反余切函數的導數為。
（5）反正割函數的導數為。
（6）反余割函數的導數為。
求積分
分部積分公式
若于可導，不定積分存在，則也存在，則
。
反三角函數的不定積分
利用分部積分法可以算出反三角函數的不定積分：
（1）反正弦函數的不定積分為。
（2）反余弦函數的不定積分為。
（3）反正切函數的不定積分為。
（4）反余切函數的不定積分為。
（5）反正割函數的不定積分為。
（6）反正割函數的不定積分為。
求級數
下面只給出反正弦函數、反正切函數、反余割函數的冪級數展開式，其余可由它們計算得出。
（1）反正弦函數的冪級展開式為,其中。
（2）反正切函數的冪級展開式為,其中。
（3）反余割函數的冪級展開式為。
推廣
設,則稱為的反正弦函數，記作,由于,可得,解之得,于是有。
同理可得：（1）反余弦函數,
(2)反正切函數,其中,
(3)反余切函數其中,
(4)反正割函數,
(5)反余割函數。
應用領域
物理學領域
在描述波動、振動和周期性現象方面有廣泛應用，如光學、聲學和天文學等。在天文學中，反三角函數經常用于解決問題，特別是在測量和計算天體位置和運動方面。例如，當觀測者知道天體的視向速度，但不知道其實際速度時，反正切函數可以用來計算出實際速度。同樣地，當需要確定天體的角度或距離時，反正弦和反余弦函數也經常被用于計算。
計算機編程與軟件開發
反三角函數在計算機科學和信息技術具有廣泛的應用，例如在在計算機圖形學中，反三角函數被用于處理旋轉、變換和動畫等問題。在計算機圖形學中，經常需要處理旋轉變換，例如將對象圍繞特定點或軸旋轉。這時就會用到反三角函數，特別是反正弦和反余弦函數，來計算旋轉角度。此外，在 Flash 交互動畫編程中,使用較多的是正弦曲線函數、余弦函數和反正切函數。正弦函數或余弦函數主要用于往復的波動動畫;正弦函數和余弦函數配合一起使用可以模擬圓和橢圓的運動軌跡;反正切函數多用于將弧度值轉換為角度值以控制對象的旋轉。
工程學
反三角函數被廣泛用于解決控制系統、信號處理和電路分析等問題，同時也在工程設計和建模中扮演重要角色。在控制系統工程中，反三角函數經常用于處理角度和相位的計算。此外，在機械工程和航空航天領域中，反三角函數也被用于姿態控制和導航系統中，幫助確定物體的旋轉角度和方向。通過反三角函數，工程師能夠更好地理解和處理控制系統中的角度和相位問題，從而提高系統的性能和穩定性。在工程測量，例如想要確定直線上的坐標方位角，就需要采用反正切函數，如可利用反正切函數確定直線的坐標方位角，即。
參考資料 >