余弦（余弦函數(shù)），三角函數(shù)的一種。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°（如圖所示），∠A的余弦是它的鄰邊比三角形的斜邊，即cosA=b/c，也可寫為cosa=AC/AB。
余弦函數(shù)：f(x)=cosx（x∈R）。
定義
角 的鄰邊比斜邊 叫做 的余弦，記作（由余弦英文cosine簡寫），即 角 的鄰邊/斜邊（直角三角形）。記作 。
余弦函數(shù)的定義域是整個實數(shù)集，值域是。它是周期函數(shù)，其最小正周期為。在自變量為（為整數(shù)）時，該函數(shù)有極大值1；在自變量為 時，該函數(shù)有極小值-1。余弦函數(shù)是函數(shù)奇偶性，其圖像關(guān)于y軸對稱。
三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即在余弦定理中，令，這時，所以。
（1）已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角；
（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊；
（3）已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。（見解三角形公式，推導(dǎo)過程略。）
余弦定理
余弦定理亦稱第二余弦定理。關(guān)于三角形邊角關(guān)系的重要定理之一。該定理斷言：三角形任一邊的平方等于其他兩邊平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。若a、b、c分別表示?ABC中A、B、C的對邊，則余弦定理可表述為：
余弦定理還可以用以下形式表達：
第一余弦定理
設(shè) 的三邊是，它們所對的角分別是，則有
兩根判別法
若記m(c,c)為c的兩值為正根的個數(shù)，c為c的表達式中根號前取加號的值，c為c的表達式中根號前取減號的值：
①若，則有兩解；
②若，則有一解；
③若，則有零解（即無解）。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。
角邊判別法
1、當(dāng)時：
①當(dāng)（即A為銳角）時，則有兩解；
②當(dāng)（即A為直角或鈍角）時，則有零解（即無解）；
③當(dāng)（即A為銳角）時，則有一解；
④當(dāng)（即A為直角或鈍角）時，則有零解（即無解）；
⑤當(dāng)時，則有一解。
2、當(dāng)時：
①當(dāng)（即A為銳角）時，則有一解；
②當(dāng)（即A為直角或鈍角）時，則有零解（即無解）。
3、當(dāng)時，則有零解（即無解）。
證明方法
平面向量證法
∵ ，（平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小）
∴。
又∵
∴（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）
再拆開，得
同理可證其他，而下面的 就是將 C移到左邊表示一下。
平面幾何證法
在任意中，
做，交BC于D，
∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a，
則有根據(jù)勾股定理可得：
三角恒等變換
二倍角公式
三倍角公式
半角公式
冪簡約公式
和差化積公式
萬能公式
其他
用其它三角函數(shù)來表示余弦
兩個角的和及差的余弦
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
倒數(shù)關(guān)系：
商的關(guān)系：
和的關(guān)系：
平方關(guān)系：
參考資料 >