勾股定理，又名商高定理、百牛定理、畢達哥拉斯定理（英文：Pythagoras theorem），適用領域包括數學、幾何學，應用學科為幾何學，是一個基本的幾何定理。勾股定理是指：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用表示斜邊，分別表示兩條直角邊，那么上面的關系可寫成。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的基本關系，只要確定直角三角形兩邊的長，就可以定量地確定直角三角形第三邊的長。
勾股定理最早的記錄可以追溯到古巴比倫文明時期，巴比倫人使用了一個與勾股定理等價的數值關系，但沒有給出數學證明。在中國最早將勾股定理系統化地表述的書籍是《周髀算經》。勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一，周朝周公時期，商高提出并證明了勾股定理。隨著時間的推移，古希臘的畢達哥拉斯學派開始研究勾股定理。他們提出了一個基于直角三角形的幾何證明，將勾股定理與數學聯系起來。古希臘的歐幾里得在其著作《幾何原本》中詳細討論了勾股定理，并給出了多個證明方法。波斯數學家尼什布爾（Nasir al-Din al-Tusi）在公元11世紀發現了一個更一般的勾股定理，即不僅限于直角三角形，任意三角形都適用。從公元16世紀開始，勾股定理逐漸引入歐洲。
勾股定理約有五百種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一，例如可利用梯形和三角形的面積公式證明、利用相似三角形的性質證明、趙爽弦圖、青朱出入圖、畢達哥拉斯證法、歐幾里得證法等。勾股定理成為了幾何學中的基本定理，在數學、建筑與工程、物理學以及數據分析與應用技術等領域均有廣泛的運用。
定理內容
勾股定理是指這樣一個命題：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用表示斜邊，分別表示兩條直角邊，那么上面的關系可寫成。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的基本關系，只要確定直角三角形兩邊的長，就可以定量地確定直角三角形第三邊的長;可用表達式表示為sqrt。如果從純幾何的角度來看，勾股定理又可以被敘述為：直角三角形兩條直角邊上正方形的面積的和，等于斜邊上的正方形的面積；勾股定理是余弦定理中夾角為90°的一個特例。。
勾股數
勾股數是指滿足的一組正整數,例如、、等。
歷史沿革
勾股定理最早的記錄可以追溯到古巴比倫文明時期，大約在公元前2000年左右。巴比倫人使用了一個與勾股定理等價的數值關系，但沒有給出數學證明。他們發現了一個特殊的數值關系：如果一個直角三角形的兩條短邊的長度分別為3和4，那么斜邊的長度將是5。這個數值關系被廣泛應用于土地測量和建筑工程中。然而，在中國最早將勾股定理系統化地表述的書籍是《周髀算經》和《九章算術》。這本書中記載了一些勾股數（滿足勾股定理的整數邊長組合），但并沒有給出勾股定理的證明。隨著時間的推移，古希臘的畢達哥拉斯學派開始研究勾股定理。畢達哥拉斯學派的創始人畢達哥拉斯被認為是勾股定理的發現者。他們提出了一個基于直角三角形的數學證明，將勾股定理與數學聯系起來。畢達哥拉斯學派的成員相信，數學是宇宙的基本原理，并將其與哲學和宗教相結合。這為后來的數學和幾何學的發展產生了深遠的影響。
古希臘的歐幾里得在其著作《幾何原本》中詳細討論了勾股定理，并給出了多個證明方法。歐幾里得的證明方法包括基于面積的證明、相似三角形的證明等，對勾股定理的研究起到了重要的推動作用。在印度，數學家布拉馬古普塔（Brahmagupta）在公元7世紀的著作《布拉馬法典》中提出了勾股定理的一個特殊情況，即勾股數。勾股數是指滿足勾股定理的整數解，即。布拉馬古普塔的研究對勾股定理的應用和推廣起到了重要的作用，為后來數學家的研究提供了重要的線索。波斯數學家尼什布爾（Nasir al-Din al-Tusi）在公元11世紀發現了一個更一般的勾股定理，即不僅限于直角三角形，任意三角形都適用。尼什布爾的研究在三角學的發展中起到了重要的推動作用，使勾股定理的應用范圍更加廣泛。從公元16世紀開始，勾股定理逐漸引入歐洲。勾股定理成為了幾何學中的基本定理，并在數學和科學研究中得到廣泛應用。
證明方法
利用梯形和三角形的面積公式
證明
如下圖所示，在triangle中，為直角，,,。延長至點，使得，過點作并截取,連接，，則四邊形是一個梯形，且cong,所以CAB，又因為CBA,所以angle,于是ABE,即triangle為直角三角形。,但是BDE，即,化簡得到。
利用相似三角形的性質
相似三角形
如果在triangle和中，,,;,則和稱為相似三角形。即若兩個三角形各角對應相等，對應邊成比例，則這兩個三角形稱為相似三角形，相似用符號sim表示。相似三角形具有如下性質：（1）相似三角形的對應角相等；（2）相似三角形的對應線段之比等于相似比；（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方。
證明
勾股定理的另一種證法，是通過相似三角形的性質得到的。如下圖所示，在直角Delta中，其中angle為直角，過點作于點，由于CDB和ADC都和相似，因此,,。
利用切割線定理證明
在直角中，，，，，以為圓心，為半徑畫圓，交圓于點，的延長線交圓于點。根據切割線定理，即從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，可得：，所以c-a,所以。
用反證法證明
在直角Delta中，設直角邊，，斜邊。過點作，垂足為點，如下圖所示。 假設，即 則由可知 或即或 在ADC和ACB中,因為angle，若，則。在和中 ，因為 ，所以若，則CDB，因為，所以ADC， 這與矛盾，所以假設不成立 ，所以。
趙爽弦圖
在《九章算術》里，古代中國數學家趙爽給出了如下的證明方法（經簡化）：
如所示圖像，外圍的大正方形的邊長為，它被劃分為長為和長為的兩部分。從圖中可以觀察到，線段、線段、線段和線段的長度都是，因此四邊形也是一個正方形。正方形內部的四個三角形是全等的直角三角形，它們的屬性和形狀都相同。
證明：可以采用不同的方法來計算外圍大正方形的面積。一種方法是將邊長相乘，即。另一種方法是將正方形的面積和四個全等的直角三角形的面積相加，即。這兩種方法都可以得出外圍大正方形的面積，即，化簡得。
青朱出入圖
如圖，在圖中，勾自乘形成小正方形（標記為朱色，即朱方），股自乘形成大正方形（標記為青色，即青方），兩個正方形對齊底邊排列。圖上顯示了兩個“青出”的直角三角形和一個“朱出”的直角三角形。如果以盈補虛，分割線內不動，線外則“各從其類”（將“朱出”移動到“朱入”的位置，并且將兩個“青出”的直角三角形分別移動到兩個“青入”的位置），就會形成一個新的大正方形，即弦的正方形（弦方），弦方開方即為弦長。在這個新的大正方形中，可以觀察到“青入”的直角三角形，其兩條直角邊分別與“朱方”的邊長和“青方”的邊長相等，而斜邊則與新大正方形的邊長相等。這證明了直角三角形中兩邊的平方和等于斜邊的平方，也就是勾股定理的原理。青朱出入圖包含了“勾廣三，股修四，徑隅五”的思想。
傳說中的畢達哥拉斯證法
畢達哥拉斯的證法已失傳，以下為傳說中的畢達哥拉斯證法：
如圖，左側正方形的面積與右側正方形的面積相等，它們的邊長都為。通過繪制輔助線，可以將左側的大正方形分成一個邊長為的小正方形、一個邊長為的小正方形，以及四個全等的直角三角形，這些三角形的直角邊分別為、，斜邊為。同樣地，右側的大正方形也可以分割為一個邊長為c的小正方形和四個全等的直角三角形，這些三角形的直角邊分別為、，斜邊為。這些分割和構造過程清楚地展示了勾股定理中直角三角形的構造和關系。
即，，
簡化得。
歐幾里得證法
如圖，在直角Delta中，BAC。四邊形、和均為正方形。通過證明和的面積之和等于的面積，就可以證明勾股定理。
證明：過A點作的垂線，并連接。
因為且在正方形中
所以BAC，即三點共線。
同理可知，三點也共線。
因為在正方形中，DBC，且在正方形中FBA
所以
因為，且
所以
又因為在正方形中，且在正方形中
所以Delta和是全等三角形，兩者面積相等。
因為，而四邊形
所以四邊形的面積是面積的兩倍
同樣地，的面積可以表示為 。而正方形的面積為，也就是說正方形 的面積是Delta面積的兩倍。
因此，可以得出四邊形的面積等于正方形的面積。
類似地，，，BCK，Delta
四邊形，，，BCK
因此，四邊形的面積等于正方形的面積。同時，正方形的面積又等于四邊形和四邊形的面積之和。綜上所述，可以得知正方形的面積等于正方形的面積和正方形的面積之和。
在直角Delta中，和是直角邊，是斜邊。因此，可以得出結論，以直角三角形的三條邊為邊長所建立的正方形，以斜邊為邊的正方形的面積等于以兩條直角邊為邊的正方形的面積之和。這就完成了對勾股定理的證明。
勾股定理的推廣
向邊上圖形的推廣
在直角三角形勾股弦上分別作任意相似多邊形，則弦上的多邊形的面積等于勾、股上兩多邊形的面積之和。
在任意三角形大邊上，向形內作平行四邊形，使它的另兩個頂點位于三角形外，再在三角形的另兩邊上，分別作平行四邊形，使與三角形兩邊分別平行的邊過大邊上平行四邊形的另兩頂點，則大邊上平行四邊形的面積等于另兩邊上平行四邊形面積的和。如下圖所示，triangle為任意三角形，是最大邊，四邊形,,分別為平行四邊形。分別過,則四邊形的面積等于四邊形與四邊形的面積之和。
高維的勾股定理
在直棱錐中，是具有三個直角的頂點，CDA的面積記為,則。此外，勾股定理還可以推廣至高維情形，即對 中超平面 的開區域 Omega, 它的測度的平方是它沿每一條坐標軸的投影的測度的平方和。
余弦定理
在一個三角形中，任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與其夾角余弦之積的兩倍。即,,。
證明1（勾股定理）：在triangle中，交或其延長線于點，則在Delta中，,當為銳角時，cos,c-AD,兩式子兩邊分別相加得到,化簡可得,當angle為鈍角和直角時同理可得。
勾股定理的逆定理
如果一個三角形兩邊的平方和等于作為最長邊的第三邊的平方，那么這個三角形為直角三角形，第三邊所對應的角為直角。
證明（反證法）：如下圖所示，在triangle中，。若，那么或者angle,若，,與已知條件矛盾，故不能小于。若，則,與已知條件矛盾，故不能大于，因此等于，為直角三角形。
例題
已知三邊的長為,求證為直角三角形。
證明：因為,,,因此，由勾股定理的逆定理可知為直角三角形。
應用領域
數學領域
勾股定理在數學領域具有十分廣泛的應用，在數學平面幾何可以用來證明許多結論。例如勾股定理可用于證明不等量關系，即在三角形中，大邊上的高小于小邊上的高。例如，已知在中，,分別是邊上的高，證明。
證明：因為,所以四點共圓，所以,而,所以,,即,;而sqrt,,所以，即。
建筑與工程
勾股定理可以用于測量和計算建筑物、橋梁等結構的長度、角度和距離等。例如在建筑工程測量中，勾股定理可用于建筑物的水平位移觀測。如下圖所示，在垂直于建筑物的軸線的方向上布設兩條相互垂直的基線與（基線的端點埋設永久性標志）。在建筑物上對應于基線方向的位置釘上標牌，并用經緯儀以正倒鏡取中法將、延長到標牌上，分別得、點，并鉆以小孔標志。若過一段時間后建筑物發生了水平位移（圖中虛線位置），則再將基線延長到標牌上時，必得到和點。量取與和與間的水平距離，即可獲得建筑物的縱、橫向位移。根據縱、橫向位移的大小，利用勾股定理便可求得建筑物的合位移。
此外，勾股定理在古代也被應用于水利工程的建設。編寫于公元前一世紀以前的《周髀算經》中記錄著商高與周公的一段對話，商高說道：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為勾，廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也?！鄙谈哒J為，這種數學方法是從圓到方再到矩，最終形成了勾股的概念。他指出，大禹在治理天下時，也使用了勾股定理的方法來進行水利工程的規劃和建設。這展示了古代中國人在工程領域中應用數學知識的智慧。
物理學
勾股定理在物理學中具有廣泛的應用，勾股定理可以用于計算物體的速度、加速度和力的分解等問題。例如在求取時間膨脹系數中就有勾股定理的運用。從圖速度圖中可以看出，車廂中A點發出的光線的速度為,火車的速度,由于火車的運動方向與光的方向相差90°，所以習慣地認為光速與火車速度的合成速度為sqrt。由于光速是不會改變的,只能是時間發生了膨脹效應。從圖的距離圖上可以看出：光在車廂內走的距離為，火車走的距離為，而光在空間中走過的距離為,由此得出，這說明光速并沒有變，而是光相對于地面上走的距離等于車上的走的距離。由圖,根據勾股定理：,,,sqrt，時間的膨脹系數為。
數據分析與應用技術
如下圖，在直角坐標系中，假設經測量已經得到兩點的坐標：,,那么根據勾股定理則可以得到兩點間的距離為,按照此公式計算的距離稱為歐式距離。歐式距離被廣泛應用于數據分析與應用技術中，例如，為了度量體系結構中的相似性，可采用相似度算法作為計算相似的依據，而相似度算法又包括針對離散值的算法和針對連續值的算法等，常用的相似度算法有歐式距離等。
計算機圖形學
在計算機圖形學中，勾股定理用于計算像素點之間的距離，常用于處理圖像渲染、動畫制作和視頻游戲開發。例如當在屏幕上移動或旋轉對象時，開發者需要計算對象的新位置，勾股定理可以幫助他們確定這些對象在二維空間中各點之間的精確距離，從而實現平滑且準確的圖形表現。
參考資料 >