《九章算術》，是中國古代重要的數學典籍，被后世人稱為“算經之首”。其約成書于公元一世紀左右，作者已不可考，但一般認為是經歷代各家的增補修訂，而逐漸發展完備成為現今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。三國時期魏元帝景元四年（263年），劉徽為該書作注，對其數學理論體系進行了系統完善。該書共分為九章，一共列舉了246個與社會生活息息相關的數學問題，并給出了解題的思路和答案，包括各種平面和立體圖形的面體積計算、谷物糧食和土木工程的比例分配、分數的四則運算以及方程組和勾股定理等內容，不僅總結了先秦時代的數學成就，還對后來中國古代的數學以及世界數學的發展做出重要貢獻。《九章算術》不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題。《方程》章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。書中提出的負數概念、聯立一次方程解法等成就比印度早800年，比歐洲早1000余年。《九章算術》的版本眾多，而且較為冗雜，原作有插圖，今傳本已只剩下正文。以現代郭書春的匯校本為比較流行、較為清晰的版本。
成書背景
社會背景
中國古代數學自從誕生就與傳統的農業社會聯系在一起，由于中國的傳統民族文化較為重視實用，所以古代的數學具有厚重的實用主義傾向，注重將技藝服務于社會生活，古代人將其視為生活經驗的總結，也是某些人的謀生手段。比如在人類的數學知識積累過程中，由于計數物件、商業買賣、天文觀測和土木工程的需要，產生了自然數、記數法、算術、代數和幾何的知識，后期隨著工農業和自然科學的發展，古代人逐漸積累有關的經驗知識。基于這樣的社會文化，《九章算術》始終處于技術的層面，也是追求服務社會，重視數學知識在社會實踐中的運用，遵守匠人技藝的用進廢退的原則。《九章算術》中的“九章”最早來源于西周初年周公教授貴族子弟的“九數”，這是一種基于整數四則運算的十進位制記數方法。但是由于西周實行“學在官府”的制度，學術的傳播范圍狹窄。到了春秋戰國時代，出現百家爭鳴的文化繁榮景象，社會結構發生根本性變化，數學知識得到了廣泛的傳播，“九數”算法傳統也在社會思想解放的潮流中，逐漸形成了一個復雜多元的數學知識系統，而先秦的《九章算術》就是這種數學知識系統一脈相承的載體。它在秦末農民起義的戰火中損毀，張蒼、耿壽昌收集遺文殘簡，進行刪補重編，并用當時的語言進行過改造，但它應始終代表著西周“九數”傳統的算法式數學在后代的發展。
個人背景
西漢時的張蒼和耿壽昌是《九章算術》整理編纂過程中的重要參與者，張蒼是西漢初年的丞相，善于計算，精通律歷，掌管各郡國的財政統計工作；耿壽昌也是西漢時期的數學家、理財家、天文學家，漢宣帝時為大司農，《九章算術》大約也是在他們二人手上成書的。在秦朝以前已有算書流傳，但是因為秦始皇推行暴政焚燒百家典籍，西漢的計相張蒼和大司農耿壽昌等以實用為宗旨，本著培養行政官吏和教習官家子弟的目的，整理舊書并刪補校訂。張蒼主要負責收集整理先秦的遺存和刪減不必要的內容，耿壽昌負責增加補充新的例題和算法。
內容
《九章算術》一共分成九章，從方田、玉蜀黍屬、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九個方面講述古代數學的知識，并提出相應的例題和解決辦法，包括圖形面積、比例分配、勾股定理、一元一次方程等知識，展示出古代先民的數學智慧。
特色
數形結合
數形結合思想是中國古代數學領域常用的思想，是由基本原始概念所構成的解題思路，這種思想就是從《九章算術》開始的，具體的表現就是在解決應用問題時用算數方法和繪制圖形相輔相成，比如卷一《方田》和卷五《商功》章中提到的各種平面圖形的求面積和立體圖形的求體積問題，基本上都用算數的方法，在具體的草圖中研究觀察各種數字之間的關系，最后確定具體結果。同時也配合使用更加直觀的圖形來解釋算數方法，如上述的兩章中描述了“開方術”“開立方術”等數形結合的方法，為以圖形作解釋打下基礎。
重視實際
《九章算術》的作者和后世的注釋者都沒有在原文直接表述自己的數學觀念，但是從其中的選題、分類以及體系結構可以看出，全書的核心是數學適用于社會生活生產的實用性，任何事物都可以用數字來研究，與數字產生聯系。這就是“萬物皆數”的數學觀，也是《九章算術》重視實用功能的主要原因。《九章算術》的內容密切結合當時的社會生活的實際需要，如《方田》《粟米》《商功》《均輸》等章名就旗幟鮮明地標出了實用的目的，其內容也基本上與章名相符合，書中所涉及的具體問題，如田畝測量、工程建設、交通運輸、稅收商業等，幾乎包含了當時社會生產和生活的各個領域，盈不足、方程、勾股三章，則分別研究了一些常用的數學模型及其用法。
統計思想
《九章算術》的統計思想包括統計分組、線性回歸分析、隨機抽樣和數量關系。首先，《九章算術》中的統計分組思想是根據研究的目的和客觀現象的內在特點，按某個或幾個標志把被研究的總體劃分為若干個性質不同的組，在《九章算術》中多次出現這種分組方法。在卷八《方程》章中，開頭明確地將禾劃分為上中下三等，該章中也還出現“武馬、中馬、下馬”，“白禾、青禾、黃禾、黑禾”，“令、吏、從者”等類似的分組方法。其次，《九章算術》具有初步的回歸分析概念和方法，就是對具有相關關系的變量之間數量變化的一般關系進行測定，確定一個合適的回歸方程，據以進行估計或預測的統計方法。《九章算術》雖然沒有明確提出線性回歸的概念，但其中的部分問題及解法，已經包含了非常完整的線性回歸的模型和計算方法。第三，《九章算術》中已經出現抽樣推斷的方法，具體表現就是隨機從總體中抽取樣本，根據樣本的信息科學估計與推斷總體的情況，這是現代統計研究中解決實際應用和學術邏輯的重要分析方法之一。《九章算術》中使用的從旁布點間接估算難測數據的方法就含有抽樣推斷的思想。最后，《九章算術》提出了“率”這一重要概念，在書中相當多的解題思路中，都有相關的應用，像粟米、均輸、盈不足、方程、勾股等章題目的算法，大都是以“率”作為理論基礎的。而“率”眾多的應用，表明數量關系的研究在《九章算術》中占有相當重要的地位，而這些應用都與現代統計學的概念息息相關。
分類體例
《九章算術》在篇章結構方面比較突出的特色就是內容編排的體例蘊涵分類思想。《九章算術》的內容編排體例是：“題”“答”“術”，先“題”后“術”，或者先“術”后“題和答”。題就是解決社會實際的應用問題，答就是題目的具體答案，術就是解題的方法步驟和原理公式，書中的每個問題都由題目、答案和衍術這三部分組成。即使九章所有問題的這三部分前后順序并不是完全一樣，但從總體的結構安排上來看，《九章算術》“題、答、術”的結構安排體現了作者的推類思想和分類編排的思想；其次，《九章算術》的“九章”題名的排列順序也遵循了一定的規律，充分體現了作者從易到難的分類思想，究其九數或九章之詞意，承沿由直觀到抽象、由易到難的分類排列。
《九章算術》可以說開啟了“術”作為中國數學古籍的先河，從常規意義上講，術就是從若干同類應用問題中提煉出來的普遍方法，連同該類問題的首問，共同組成一個常規的數學體系。《九章算術》的數學命題包含于算法之中，是由具體問題導入或歸納出來的，即先舉出某一社會生活領域中的問題，從中歸納出某一類問題的一般解法就是術，整理所有術得出解決該領域問題的一般方法，這就是一章的結構。
價值
史料價值
《九章算術》經過西漢時期張蒼、耿壽昌以及三國劉徽注釋之后，保留了大量的兩漢社會生活史料，為后世歷史學者研究兩漢時期的社會經濟發展提供了豐富的參考價值。比如在《九章算術》卷三《衰分》和卷六《均輸》章中關于各種手工業勞動每日工作量的具體記載，可以看出漢代社會的生產力水平；還有卷五《商功》章里的一些算題，反映出官府工程中勞動分工和生產數量的情況等等；像卷一《方田》、卷三《衰分》和卷六《均輸》等章提到的測量計算土地面積和按畝征收田租，向人民課取賦稅的各種制度，以及郡縣分派搖役的方法，通過算題的內容表現了封建國家與編戶農民之間的剝削關系，反映出漢代社會的經濟基礎；在卷二《粟米》、卷三《衰分》、卷六《均輸》、卷七《盈不足》和卷八《方程》等章里，保留了大量貨幣經濟和商品價格的記載，還有實物交易中各種谷物、糧食加工制品的兌換比例，以及車輛的運載能力和車馬日行里程等等，可以看出漢代的商業交通狀況。除此之外，《九章算術》二百多個算題中有三十多個涉及到了當時的動物牲畜、布料手工、金銀器具和糧食產物等相關信息，給我們展示了漢代的物價水平，保存了漢代邊郡和內陸州郡的物價水平資料，填補了目前關于漢代物價資料的缺陷，具有豐富的社會經濟史料價值。
教育價值
《九章算術》對于今天中小學的數學教育具有重要的參考價值和借鑒意義，主要體現在教學題目的選擇、老師的教學精神和培養學生的能力素養三個方面。首先在教學或考試題目的選擇上，《九章算術》本身就有246道算題，從社會生活等諸多方面取材，新穎獨特，現代數學課本當中的很多題目或是題材都是《九章算術》原書題目的現代語言翻譯版。比如關于幾何圖形的面積公式、分數運算法則，內容涉及約分、分數的加減乘除法、比較分數大小、分數平均等。劉徽注釋完善之后的《九章算術》利用“析理以辭，解體用圖”和出入相補思想將幾何與代數結合起來，不僅解決了很多實際數學難題，還體現了數形結合的統一美。
其次，《九章算術》還可以激發老師在數學教育中的創新精神，減少對于教材的照本宣科，充分發揮創造性，促使老師根據不同學生的認知水平和接受能力施以不同的方法，在教學理念和具體方式上突破常規，培養學生的創新意識和能力，實現教學向創造性方向轉變。因為劉徽對《九章算術》的注釋并不是簡單的解釋，而是改正書中錯誤的內容，并創造性地證明了很多算題，如他第一個將極限思想引入了數學證明，并運用這種思想成功地證明了“割圓術”“弧田術”“開方術”“陽馬術"等等，老師在數學教學中應該學習劉徽的創新精神。
最后，對于學生能力和素養的提升方面，《九章算術》的價值非常重要。其豐富的題材內容，包括圖形面積和立體體積的計算、分數的四則運算法則、方程的列與解、正負數的概念與運算等涵蓋了中小學數學知識的大部分內容，有利于拓展學生數學知識面，比如三角形面積計算公式的推導；其體系結構中隱藏暗含的從具體到抽象的方法，即通過觀察、分析、歸納概括，總結出抽象的結論，并用一定數量的實際問題來輔助理解，有利于學生更好地掌握數學思想方法；其偉大的數學成就和深厚的數學知識不僅可以激發他們對數學的興趣，其中折射出的人文精神和社會文化內涵也能讓學生感受到我國古代在數學上取得了巨大的成就，有利于弘揚中華優秀文化，增強民族自豪感和自信心，從而推動培養學生正確的價值觀和卓越的愛國情懷。
2020年4月，《九章算術》被列入《教育部基礎教育課程教材發展中心 中小學生閱讀指導目錄（2020年版）》。同年12月，中國成功研制量子計算原型機"九章"，其命名正是源于這部古代數學典籍。
影響
中國
《九章算術》成書流傳之后，對于中國傳統數學知識架構和體系的形成產生了深刻的影響，這種影響一直持續到了清朝中葉。成為后世數學家學習和研究數學的啟蒙書籍。東漢安帝元初二年（公元115年），太史令張衡曾經致力于研究《九章算術》，并試圖對卷四《少廣》中的24題進行修改。三國曹魏景元四年（公元263年），著名的數學家劉徽為其作注，在注釋中不斷引出新的數學概念和算法，使其更加完善，并推動了中國古代數學的發展。魏晉以后至十六世紀以前，在《九章算術》的影響下，中國數學學科取得了一系列突破性的成果，涌現出一批杰出的數學家和多部數學名著，比如《孫子算經》、張邱建的《張邱建算經》、祖沖之的《綴術》、唐朝王孝通的《緝古算經》，這些著作在體例、內容、思想、方法等方面繼承了《九章算術》的特點，并在《九章算術》的基礎上取得了新的突破。唐代朝廷將《九章算術》定為教科書寫進國家法律明文中。宋神宗元豐七年（公元1084年），朝廷刊刻官方的《九章算術》，因此《九章算術》成為世界上最早的印刷本數學書，同時北宋朝廷將《九章算術》明文定為主要的數學教科書，作為傳授數學知識之用。除此之外，南北朝的甄鸞、唐朝的李淳風、劉孝孫、宋朝的楊輝、清朝的李潢、現代的錢寶琮、郭書春等人也曾經致力于注釋、解讀、增補或校注《九章算術》的內容。
國際
《九章算術》不但影響了我國古代數學的發展，而且也引起世界各國學者專家的重視，推動了世界數學的發展。尤其是對中國的周邊國家影響更加深遠，促使這些國家的數學事業進一步發展，比如朝鮮、日本、印度以及許多阿拉伯國家。其中在隋唐時期《九章算術》已傳入朝鮮、日本等東亞國家。從隋朝開始，中國和日本就在數學方面有學術上的溝通，日本政府將包括《九章算術》在內的十幾本中國數學古籍選為數學教材；在天寶時，朝鮮學習中國的教育體系，創建自己的學校，專門開設講授中國數學的課程，和日本一樣將《九章算術》等中國數學著作選為主要教科書；除此之外，印度將《九章算術》最后一章“勾股”中的第6題“葭生中央問題”演變成了“蓮花問題”，還被印度作家改編成了流傳甚廣的趣味詩歌；阿拉伯國家的數學著作中也或多或少地體現了《九章算術》的內容，間接促進了阿拉伯國家的數學發展。在近現代的歐洲《九章算術》先后被譯成俄、英、法、德等國家的語言并廣泛傳播。
評價
正面評價
《九章算術》是中國古代重要的數學典籍，被后世人譽為“算經之首”，代表西漢之前的中國古代數學研究成果，集先秦時代和秦朝的數學知識之大成，標志中國古典數學體系的正式建立。《九章算術》不僅使數學成為我國古代科學中較發達的基礎學科之一，而且也為此后我國數學領先于世界一千四五百年奠定了堅實的基礎。該書深刻影響了后世幾千年的數學學科發展，成為東亞各民族教授和學習數學的主要藍本，在數學史上的地位可以和古希臘的數學家歐幾里得所著的《幾何原本》相提并論。
負面評價
但是《九章算術》由于成書年代較早，受當時的社會條件約束，只看重其中算法的實用性，而忽視了嚴密的科學邏輯體系建設，忽略抽象的學術概念，沒有能建立起精確的數學符號體系，致使其在學科中孤立發展，沒有上升到精神文化的高度，存在天然的缺陷。
刊本注本
劉徽注本
三國曹魏景元四年（公元263年），曹魏數學家劉徽為《九章算術》作注，后世成為《九章算術注》。該書在糾錯的基礎上全面論證了原書中的解法公式，奠定了我國古代數學的理論基礎，尤其是他在數學證明中引入極限與無窮小分割思想，在古代世界數學的發展產生了深遠影響。劉徽身處魏晉，受當時名士辯難析理的社會風氣影響，在注解的時候講求“析理以辭”，同時他也受到了當時傳統的儒家、道家、墨家的經典書籍以及東漢王充《論衡》的影響，并從中汲取大量的素材和邏輯思想，用在數學研究和注解上。他的無窮小分割和極限思想受墨家、道家的影響尤為突出，他駁正開立圓術的推理方式與《論衡》一致。
劉徽秉持實事求是的態度研究數學，在《九章算術》命題的注釋過程中嚴密推理、認真論證，在盡力完善《九章算術》的基礎上提升自己的學術水平，并且劉徽突破前人桎[zhì]梏，勇于在數學研究中開拓創新，同時在卷一《方田》章的圓田術和卷五《商功》章的陽馬術等注釋中，劉徽提出了獨到的數學見解，強調論證過程簡單直接和數學結論的延伸與推廣，對前人的學術成果進行了批判性繼承，取得了豐厚的成果。劉徽對《九章算術》中的所有數學概念都做了解釋或邏輯定義，在解釋和定義中，他非常注意數學推理的邏輯性，充分考慮各問題之間的邏輯關系。在“勾股”章的注釋中，明確指出：這一章之所以一開頭就提出了勾股定理，是因為“將以施于諸率，故先具此術，以見其源也”。劉徽用這一精彩的論述，從“邏輯”角度注釋了勾股定理出現在“勾股”章開頭的必要性。劉徽認為有些問題不能只限于感性認識，必須在感性認識的基礎上提升到理性認識的層面，并在理性認識的基礎上形成數學理論。因而，他從邏輯嚴謹性出發，對于那些能從邏輯上證明的法則都進行了論證。
劉徽在《九章算術注》當中所提出的具體數學理論包括，“凡數相與者謂之率”這一率的定義，指出率具有“乘以散之，約以聚之，齊同以通之”三種等量變換；一陽馬與一鱉糯合成一塹堵的體積之比恒為二比一的劉徽原理與多面體體積理論；計算立體圖形體積問題的截面積原理，以及發展完備的出入相補原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性；將極限狀態的邊數為無窮的正多邊形分割成無窮多個以圓心為頂點、以每邊為底的小等腰三角形，求它們的面積之和，證明了圓面積公式；指出了《九章算術》開立圓術的錯誤及正確解決它的途徑，劉徽形成了一個“約而能周、通而不默”的渾然一體的數學理論體系。
劉徽的主要思想貢獻是“極限”“重差”及“類”的思想，奠定了微積分理論的基礎。極限思想是劉徽“割圓術”的引申，并由此推導出圓周率的數值，這便實現了割圓術在極限思想下的運用。劉徽在《九章算術》中便提出了一種測量太陽高度的方法，被當時的數學家稱之為“重差”，劉徽在其對《九章算術》的注釋中提到很多問題的證明都以‘類’的概念為基礎，其證明過程及方法以‘合類’為主，這也說明劉徽在當時對“類”的思想有著深刻的理解及不同的發展與創新。
其他版本
在魏晉南北朝至天寶中葉，社會上流傳著幾個各有不同的劉徽、李淳風等注釋的《九章算術》手抄本，李籍根據這些不同的手抄本創作出《九章算術音義》；南宋數學家楊輝根據李籍提到的幾個“另本”整理出一版的《九章算術》；南宋還有一種鮑刻本。中國國家圖書館藏有南宋本《九章算術》。明朝根據李籍《九章算術音義》整理出來《永樂大典》本；清代戴震從《永樂大典》中輯錄的《九章算術》加以校勘，然而他的校勘本漏洞百出，衍脫文現象嚴重；清代屈曾發的刻本和孔繼涵的刻微波本在后世最為流行，但是修辭加工過多，造成《九章算術》版本的極大混亂；清代官方以戴震輯錄校勘本為底本抄寫了《四庫全書》本和《武英殿聚珍版叢書》本，同樣錯訛極多；之后李演校勘過《九章算術》，錢寶琮以微波榭本為工作底本重新校勘；清朝末年福建省影雕根據李演的校改修補過聚珍版，廣東廣雅書局的聚珍版又根據福建聚珍版翻刻，雖然兩者流傳范圍廣，但是容易出現混亂。自戴震以來二百余年，《九章算術》的版本一直混亂。《九章算術》必須重校，而且戴震以后的任何版本都不宜作重校本的底本。1983年，白尚恕以錢寶琮的校本為底本創作出《九章算術注釋》，并在科學出版社出版，對普及《九章算術》的知識起了一定的作用，但注釋中錯誤甚多，質量不如錢校本。
郭書春匯校本
《九章算術》經過長時間的流傳和刊印，各種版本參差不齊，內容龐雜錯亂。從二十世紀八十年代開始的二十多年間，中國科學院自然科學史研究所的郭書春先生就致力于校勘《九章算術》，郭書春先生先是收集了二十多種從宋代到現代的可見《九章算術》版本，詳細對比研究，利用圖表和論文說明不同版本之間的關系脈絡，方便日后的校勘工作。1990年郭書春先生出版了《匯校九章算術》一書，該書總共出校勘記1700余條，包括近300條戴震、李潢、錢寶琮等人的校勘和自己的1400余條校勘。2004年郭先生又出版了《匯校本》的增補版，在原來的基礎上增加了180余條校勘記。郭先生秉持著對前人批判性繼承的精神，大膽假設小心求證，系統整理戴震的校勘。郭先生根據南宋鮑刻本糾正了戴震的諸多失誤之處，從而使《匯校本》最大限度地恢復了《九章算術》原貌，其校勘成果令學術界較為滿意。吳文俊先生在序言中認為郭書春先生完成了這一艱巨的歷史性任務，李學勤先生稱《匯校本》為《九章算術》的最佳版本。
參考資料 >
關于《中小學生閱讀指導目錄(2020年版)》七問七答.石家莊市藁城區政府官網.2023-12-16