一元一次方程是指只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式。一元一次方程只有一個(gè)根。常用ax+b＝0或ax＝b（a≠0）來(lái)表示。例如a＝1，b＝2，則方程為x+2＝0。
一元一次方程最早見于約公元前1600年的古埃及時(shí)期。公元820年左右，數(shù)學(xué)家花拉子米在《對(duì)消與還原》一書中提出了“合并同類項(xiàng)”、“移項(xiàng)”的一元一次方程思想。后代數(shù)學(xué)家例如婆什迦羅（Bhaskara）、斐波那契（Fibonacci）、程大位等等均用假設(shè)法來(lái)解方程。直到韋達(dá)將符號(hào)代數(shù)系統(tǒng)化，一元一次方程的解法擺脫了語(yǔ)言描述。1859年，中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭正式將這類等式譯為一元一次方程。一元一次方程屬于線性代數(shù)中的一次方程，形式有多種，例如字母方程、分式方程等等。其解法一般可以歸類為3種，一般方法、公式法和圖像法。
一元一次方程可以解決絕大多數(shù)的工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、分配問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、積分表問(wèn)題、電話計(jì)費(fèi)問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題。也可以解決化學(xué)物理中的公式計(jì)算，例如壓強(qiáng)公式、焦耳公式等等。
定義
基本條件
條件一：它是一個(gè)等式；
條件二：等式中只含有一個(gè)未知數(shù)；
條件三：等式中未知數(shù)的最高次數(shù)為1；
條件四：等式中未知數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)不能為0。
相關(guān)概念
線性函數(shù)
在初級(jí)代數(shù)與解析幾何中，線性函數(shù)是只擁有一個(gè)變量的一階多項(xiàng)式函數(shù)，又或者是常數(shù)函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，線性函數(shù)的圖象呈直線，例如。當(dāng)一次函數(shù)的值為0時(shí)，其對(duì)應(yīng)的的坐標(biāo)即為一元一次方程的解。
線性方程
線性方程也稱一次方程式。指未知數(shù)都是一次的方程。其一般的形式是。線性方程的本質(zhì)是等式兩邊乘以任何相同的非零數(shù)，方程的本質(zhì)都不受影響。一元一次方程就是以一般一元一次方程。
求解歷史
3000多年前的古埃及的珍貴文獻(xiàn)萊因德紙草書，相傳它是阿梅斯抄寫，其中有一個(gè)用象形文字書寫的方程題目:經(jīng)埃森洛克破譯，題意為:“有一堆，其三分之二，其一半，其七分之一及其全部，共為三十七.求一堆之?dāng)?shù)”。用現(xiàn)代的寫法可以表示為：。公元1世紀(jì)左右，中國(guó)《九章算術(shù)》提出負(fù)數(shù)和移項(xiàng)的概念，使方程實(shí)現(xiàn)了化簡(jiǎn)變形。9世紀(jì)時(shí)，阿拉伯數(shù)學(xué)家花拉子米在《對(duì)消與還原》中給出了解方程的簡(jiǎn)單可行的基本方法，即“還原”和“對(duì)消”。12世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《麗拉沃蒂》一書中用假設(shè)法（設(shè)未知數(shù)）來(lái)解決一類一元一次方程。由于所假設(shè)的數(shù)可以是任意正數(shù)，婆什迦羅稱上述方法為“任意數(shù)算法”。13世紀(jì)，中國(guó)的盈不足術(shù)傳入歐洲，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中利用單假設(shè)和雙假設(shè)法來(lái)解一元一次方程。16世紀(jì)時(shí)，韋達(dá)創(chuàng)立符號(hào)代數(shù)之后，提出了方程的移項(xiàng)與同除命題，也創(chuàng)立了這一概念，被尊稱為“現(xiàn)代畢達(dá)哥拉斯”。但是韋達(dá)沒(méi)有接受負(fù)數(shù)。18世紀(jì)時(shí)，數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在《代數(shù)基礎(chǔ)》中討論了各類一元一次方程的解法。1859年，中國(guó)數(shù)學(xué)兼翻譯家李善蘭在《代數(shù)學(xué)》中將此類線性方程翻譯為“一元一次方程”。
方程的性質(zhì)
基本性質(zhì)
圖像性質(zhì)
關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）可以通過(guò)一次函數(shù)f（x)＝ax+b來(lái)表示。一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的根就是它所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)f（x)＝ax+b函數(shù)值為0時(shí)，自變量x的值。即一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。例如當(dāng)a＝3，b＝3，則f（x）的圖像為下圖
線性函數(shù)的性質(zhì)
1.在y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）中，當(dāng)x增大m時(shí)，函數(shù)值y則增大km，反之，當(dāng)x減少m時(shí)，函數(shù)值y則減少 km。
2.當(dāng)x=0時(shí)，b為一次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，b)。
3.當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)。當(dāng)然正比例函數(shù)為特殊的一次函數(shù)。
在兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中：
當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b也相同時(shí)，則這兩個(gè)一次函數(shù)的圖像重合；
當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b不相同時(shí)，則這兩個(gè)一次函數(shù)的圖像平行；
當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b不相同時(shí)，則這兩個(gè)一次函數(shù)的圖像相交；
當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b相同時(shí)，則這兩個(gè)一次函數(shù)圖像交于y軸上的同一點(diǎn)（0，b）；
當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中的k互為負(fù)倒數(shù)時(shí)，則這兩個(gè)一次函數(shù)圖像互相垂直。
求根方法
運(yùn)算法則
1.方程的各項(xiàng)可以在改變符號(hào)以后，由方程的一邊移向另一邊。
2.方程的邊有相同的項(xiàng)時(shí)，可以相消。
3.方程的兩邊如有公約數(shù)，可以約去。
4.方程可以去掉分母內(nèi)不含有未知數(shù)的各分?jǐn)?shù)的分母。
一般方法
一般解方程順序
例如，取何值。
解：由題可知
（去分母）
（移項(xiàng)）
（并項(xiàng)）
（除于29系數(shù)化為1）
公式法
推導(dǎo)過(guò)程
（方程兩邊除于未知數(shù)的系數(shù)a）
（移項(xiàng)）
（整理）
舉例：
（移項(xiàng)）
（方程兩邊除于未知數(shù)的系數(shù)3）
（整理）
圖像法
關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）可以通過(guò)做出一次函數(shù)f（x)＝ax+b來(lái)解決。一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的根就是它所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)f（x)＝ax+b函數(shù)值為0時(shí)，自變量x的值。即一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
舉例：3x+3＝0，求x的值
設(shè)f（x)＝3x+3 必經(jīng)過(guò)（0，3），（-1，0）兩點(diǎn)。則f（x）圖表為
如圖得知當(dāng)f（x）＝0時(shí)，x＝-1
所以3x+3＝0 的解為x＝-1
衍生概念
字母方程
方程中的已知數(shù)用字母表示叫做字母方程
例如：y+y/a＝b
ay+y＝ab
（a+1）y＝ab
y＝（a+1）/ab
分式方程
含有分式，并且分式的分母中含有未知數(shù)的方程，叫做分式方程。解分式方程，應(yīng)得先將方程化成整式方程。用含有未知數(shù)的代數(shù)式去乘方程的兩邊，得出的解應(yīng)帶入原方程檢驗(yàn)，防止增根。（乘值等于0為增根現(xiàn)象，需舍掉）
例如：6/（x+2）-（x+2）/（x-2）+x2/（x2-4）＝0
去分式（用x2-4即（x+2）（x-2）乘方程的兩邊），
6（x-2）-（x+2）2+x2＝0，
去括號(hào)，6x-12-x2-4x-4+x2＝0，
2x＝16，
x＝8。
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x＝8時(shí)，x2-4＝64-4＝60≠0 。
∴x＝8 為方程的根。
應(yīng)用
在物理學(xué)中有很多的公式也是可以直接或者間接看作一元一次方程，例如密度公式 ρ ＝ ｍ/ Ｖ，比熱容的定義公式 ｃ ＝ Ｑ/ｍΔｔ等等。而在真正的物理問(wèn)題中，一個(gè)變量隨著一個(gè)變量變化的例子有很多。例如勻速直線運(yùn)動(dòng)的 ｓ ＝ ｖ·ｔ，路程隨著時(shí)間的變化而做均勻變化；一定彈性限度內(nèi)的彈簧，彈簧長(zhǎng)度隨著拉力的增大而不斷增加。如已知里程為100km，速度為50km/h，求到達(dá)目的地所需的時(shí)間?？稍O(shè)時(shí)間為t，t＝s/v＝100/50＝2h，即可得知所需時(shí)間為2h。
如在生產(chǎn)生活中，通過(guò)已知一定的液體密度和壓強(qiáng)，通過(guò)公式代入解方程并驗(yàn)證解的合理性（例如檢查計(jì)算過(guò)程是否準(zhǔn)確、解是否符合實(shí)際物理意義），進(jìn)而計(jì)算液體深度的問(wèn)題。計(jì)算大氣壓強(qiáng)約等于多高的水柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)，已知大氣壓約為100000帕斯卡，水的密度約等于1000千克每立方米，g約等于10米每二次方秒（10牛每千克），則可設(shè)水柱高度為h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大氣壓強(qiáng)約等于10米的水柱所產(chǎn)生的壓強(qiáng)。一元一次方程也可在數(shù)學(xué)定理的證明中發(fā)揮作用，如在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)證明“0.9的循環(huán)等于1”之類的問(wèn)題。
問(wèn)題示例
《雞兔同籠》
大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何?！?/p>
該問(wèn)題可用一元一次方程解決，解法如下：
解法：設(shè)雞有x只，兔有35-x只。
由題意得：
解得：x=23。
兔的數(shù)量 35-x=12。
答：雞有23只，兔有12只。
丟番圖問(wèn)題
希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上記載著：丟番圖長(zhǎng)眠于此，他的目標(biāo)多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了他生命的軌跡；上帝給予的垂髫時(shí)光占六分之一。又過(guò)了十二分之一，髯須漸漸長(zhǎng)出，再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后弄璋之喜，兒子誕生?？蓱z遲來(lái)的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過(guò)了四年，他也走完了人生的旅途。終于告別數(shù)學(xué)，離開了人世。
根據(jù)以上信息，算出：（1）丟番圖的壽命；（2）丟番圖開始當(dāng)爸爸時(shí)的年齡；（3）兒子死時(shí)丟番圖的年齡。
解法：設(shè)丟番圖的壽命x歲；
則
解的
丟番圖開始當(dāng)爸爸時(shí)的年齡：
兒子死時(shí)丟番圖的年齡：84-4＝80
盈不足的問(wèn)題
《九章算術(shù)》中所有的一元問(wèn)題都是通過(guò)算術(shù)方法求解的，其中最重要的方法就是“盈不足術(shù)” 。在盈不足章中有題為“今有共貨物，人出八，盈三。人出七，不足四。問(wèn)：人貨各幾何”假設(shè)有x人，貨物為8x-3。則8x-3＝7x+4。解得x＝7 貨物為53。
參考資料 >