盈不足術(shù)，中國(guó)古代解決盈虧類問(wèn)題的一種算術(shù)方法。成書于公元1世紀(jì)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，專辟一章名為“盈不足”。其中第一個(gè)問(wèn)題是：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”這是有關(guān)盈不足術(shù)的典型問(wèn)題，可用通用的數(shù)學(xué)符號(hào)表示如下：設(shè)每人出α1，盈（或不足）b1，每人出α2,盈（或不足）b2，其中在“盈”時(shí)，b1,b2>0,“不足”時(shí)，b1,b2<0。
《九章算術(shù)》
《九章算術(shù)》給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法，即平均每人應(yīng)出錢數(shù)x，人數(shù)p和物價(jià)q,可分別用下列公式計(jì)算：
在上述問(wèn)題中，由公式(2)(3)可得人數(shù)。盈不足術(shù)是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)杰出成就。用盈不足算法不僅能解決盈虧類問(wèn)題，而且能解決一些更復(fù)雜的問(wèn)題。
“雙設(shè)法”
在世紀(jì)一些阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家的著作中，也出現(xiàn)了盈不足術(shù)，并稱之為天秤座術(shù)或契丹算法。當(dāng)時(shí)阿拉伯人所說(shuō)的“契丹”,即指中國(guó)。在歐洲中世紀(jì)，為了解決這種類型的問(wèn)題，有時(shí)用到所謂“雙設(shè)法”,即通過(guò)兩次假設(shè)以求未知數(shù)的方法。這種方法的大意是：設(shè)α1和α2是x的兩個(gè)假設(shè)值，b1和b2是差值，這時(shí)有：
(4)-(5)，得
則
，得
所以
數(shù)學(xué)發(fā)展起來(lái)之前，雙設(shè)法是中世紀(jì)歐洲解決算術(shù)問(wèn)題的一種主要方法，并導(dǎo)致了正負(fù)號(hào)(+，-)的創(chuàng)用。當(dāng)時(shí)這種方法還有許多別的名稱，如 雙假位法或迭借術(shù)，增損術(shù)或盈術(shù)等。13世紀(jì)著名意大利數(shù)學(xué)家L.斐波那契在《算盤書》中說(shuō):“契丹法，阿拉伯名詞。拉丁譯文當(dāng)為迭借法，……亦可稱增損術(shù)。”明確指出了這種方法的淵源。因此，可以認(rèn)為，正是中國(guó)古代的盈不足術(shù)經(jīng)由阿拉伯傳入歐洲，在歐洲數(shù)學(xué)發(fā)展中起了重要的作用。明代之后，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)逐漸失傳，西方數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國(guó)。李之藻與利瑪竇共同編譯《同文算指》10卷(1613),載有雙設(shè)法，譯稱“迭借互征”。于是，誕生于中國(guó)的盈不足術(shù)，經(jīng)過(guò)一段漫長(zhǎng)而曲折的道路，又重新回到了中國(guó)。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)
在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，求解線性方程已無(wú)需用盈不足術(shù)。但為計(jì)算高次數(shù)字方程或函數(shù)方程的實(shí)根近似值，有時(shí)還要用到公式
,顯然此即公式(1)。在代數(shù)學(xué)和近似計(jì)算中，這種方法一般稱為弦截法或線性插值法。
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