劉徽（約225年—約295年），魏國淄鄉（今山東鄒平縣）人，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一。
劉徽自幼聰穎，博覽群書，于魏陳留郡王（曹奐）景元四年（263年）為《九章算術》作注，并自撰自注《重差》一卷。他致力數學研究，終生未仕，于西晉初年逝世。北宋大觀三年（1109年），被封為淄鄉男。
劉徽完善了中國古代數學理論體系；創建了“割圓術”，算出，創立“劉徽定理”，為至少二十多個數學概念給出明確的定義，成為數學專門術語，為后世長期承襲，直至沿用至今，有些還遠傳日本。他撰有《九章算術注》《重差》（又稱《海島算經》）和《九章重差圖》一卷。他的數學成就影響中國后世數學的發展。日本數學史家三上義夫和藪內清稱劉徽為古今東西“數學界的一大偉人”。吳文俊把劉徽與歐幾里得、阿基米德等相提并論。后人為紀念劉徽，把3.14稱為“徽率”。2021年5月，IAU批準中國在嫦娥五號探測器降落地點附近月球地貌的命名，劉徽為八個地貌地名之一。
人物生平
早年經歷
三國魏晉時期，劉徽出生在魏國淄鄉（今山東鄒平縣）境內一平民家庭，具體生卒年月不詳。劉徽自幼聰穎，在很小的時候就表現出驚人的數學天賦，自幼博覽群書，融會貫通，把《九章算術》當做主要讀物。
注《九章算術》，撰《重差》
劉徽成年后，對《九章算術》進行深入研究，發現《九章算術》只有術文、算題和答案，卻沒有任何數學定義和推導、證明。此外，《九章算術》也有少數不準確的算法長期未得到糾正。加上當時社會上盛行“辯難之風”，齊魯一帶學術氛圍濃厚，數學發達。泰山周圍的劉洪、鄭玄、徐岳、王粲等都是著名數學家，對《九章算術》深有研究。劉徽在這樣的環境中不懈地鉆研和積累，廣泛收集前人和同代人研究《九章算術》的資料，形成了自己的獨特見解。于魏陳留郡王（曹奐）景元四年（263年），劉徽開始為《九章算術》作注。
同時，劉徽認為《九章算術》和漢代數學家張蒼對于“海島算經術”均發明不夠，于是他另撰《重差》一卷，加上注解，附在《九章算術》的《勾股》章之下，作為《九章算術注》第十卷。于西晉關羽時，劉徽完成《九章算術注》十卷注。
終身研究數學
劉徽致力數學研究，終生未仕，后半生曾活動于河南省，在洛陽市進行過立表測影，被稱為“布衣數學家”，于晉朝初年逝世。北宋大觀三年（1109年），劉徽被封為淄鄉男。
主要思想
極限思想
劉徽受春秋戰國時代的名家和墨家的極限思想影響，提出的無限可分，而又存在最終的極限的觀念：“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！?/p>
他將圓周作為內接正多邊形邊數無限增大的極限，證明了《九章算術》所給出的面積公式；在弧田術中，將極限思想用于計算弓形面積；在商功章“陽馬術”注中，他把陽馬和鱉腝為塹堵，通過用中截面的分割，使每次從陽馬和鱉腝中取出部分體積之比保持2：1，證明了劉徽體積原理；在“開方術”注中，對于開方不盡的數值，劉徽提出“求其微數”，以十進分數逼近無理根。
唯物主義思想
劉徽在《九章算術·少廣》章開立圓術注里算出球體積是球徑立方的十六分之九，指出東漢張衡受著“陰陽奇偶之說”的束縛，“不顧疏密”，以致把球體積算成是球徑立方的八分之五，錯誤是非常明顯的，體現了他那種實事求是的唯物主義。
邏輯推理思維
劉徽是中國最早以演繹邏輯為主要方法論證數學命題的人。他在《九章算術注》中，對《九章算術》的公式、解法的證明，都做了相當嚴謹的邏輯證明。其推理既有歸納又有演繹。
他主張“析理以辭，解體用圖”，利用圖形分析這個邏輯推理的重要輔助工具，把邏輯推理與直觀分析結合起來。以綜合法為主證明方法，即從命題的條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證的結論。同時運用一些分析法、反駁法等。
思辨思想
劉徽對數學的思辨性有深刻的認識，重視和強調數學理論的研究，在注重實用的中國傳統數學基礎上開辟了理論化研究的道路。他反對不理解數學原理生搬硬套公式的做法。他認為應該把數學理論理解透徹，在這個基礎上靈活地運用數學方法。
劉徽認為各種數學對象，雖形式多樣，但它們之間有著密切的聯系。掌握了某些典型的例題解法后，“觸類而長之”，同性質的問題俱可迎刃而解。因之，他特別注重對數學理論的抽象概括和提煉，竭力引進數學中最基本的概念與原理。他首先改變《九章算術》中數學名詞“約定俗成”的慣例，對許多重要的數學概念都給出了明確的定義。例如率、正、負數，“方程”，冪等古代數學用語都作了界定。
出入相補思想
劉徽將圖形的有限可分性概括為出人相補原理，并把它作為最重要的普遍原理應用全部幾何理論。 他將趙爽的《勾股方圓圖注》中處理幾何問題的方法，進一步概括為“出入相補，各從其類”的普遍原理，并推廣應用于求積與勾股等有關公式與定理的證明。他用“令顛倒相補，各以類合”的方法證明了勾股容圓公式，并證明了整數勾股弦的一般公式。在面積計算方面，他用“以盈補虛”的方法，分別證明了圭田、邪田、箕田等直線形的面積公式。
主要成就
完善數學理論體系
《九章算術》涉及的數學理論門類繁多，但使人難以了解其各種算法的數學原理及其內在的邏輯聯系。劉徽的注釋一面闡述每個具體算法的理論依據，一面提示各種算法之間的內在聯系，其運用的數學知識實際上已經形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、并以數學證明為其聯系紐帶的嚴謹、完整的理論體系。
數系理論
《九章算術》中使用的數有自然數、分數和正負數。但“開方術”說：“若開之不盡者為不可開，當以面命之?！奔丛袛迪狄褵o法表出方根之數，則只有引進新數，把正方形的“邊”，即它的長度即是方根。劉徽發明“求微數法”，創造了十進分數來無限逼近無理根。以十進分數無限逼近無理數，完成了實數系統。
籌式演算理論
在算法理論方面，劉徽建立了從比率到“方程”的一系列籌式演算的統一理論。他用數的同類和異類來解釋分數與正負數的加減運算。這樣，數的相加、相減被統一地看作是同類籌的相并、相消，并且它們相應的運算法則已經蘊涵于分數和正負數的定義之中了。
他從比率概念所規定的遍乘、通約、齊同三種基本演算出發，建立《九章算術》中籌式演算的一般基礎?！傲兴ァ迸c“返衰”是由多項組成的一組率；“盈”是兩組率的復合；“方程”則由多行率所組成。于是，以率的基本運算為“綱紀”，實現了籌式演算的模式化與程序化。
勾股與測量理論
劉徽逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，提出勾股“不失本率原理”，在實質上建立了相似勾股形的理論，既不涉及角的度量與性質，又避免了平行理論的麻煩，為勾股測量術奠定了理論基礎，比歐幾里得幾何學中的一般相似三角形理論簡明。同時，劉徽通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論，并將勾股形的不失本率原理與比率算法結合起來，推演變化，構成勾股測量方法與原理，使中國古代測望之學達到“重差術”水平。
幾何學的求積理論
劉徽在直線形的面積理論方面，將長方形面積等于長、寬之積當做一條公理來使用；以“出入相補原理”處理平面直邊多邊形求積問題；以提出了“牟合方蓋”理論解決球體積計算，將球體積的計算向前推進了一大步；用極限方法建立了“陽馬居二，鱉腝居一”的原理，建立劉徽體積原理，奠定了中國數學多面體求積理論的基礎。他在求積理論方面的成就，使中算家接近了微積分的大門。
十進分數理論
在《九章算術·少廣》章開方術注中，劉徽認為在開平方或開立方不盡時，原來那種用分數來表示奇零部分的方法并不十分準確，他主張繼續開方下去，以十進分數表示平方根或立方根的近似值來。即以十進分數逼近無理根。這是求圓周率精確近似值的先決條件，同時也開了十進小數先河。這種方法和我們現在用開方求無理根的十進小數近似值的方法完全相同。阿拉伯著名數學家阿爾·卡西(al-kashi)在十五世紀才應用十進分數表示2x的值；在歐洲，直至十六世紀才由魯道夫（C.Rodolff）和斯提文（S.Stevin，1548-1620年）提出十進小數的方法。
數學創作
“割圓術”和圓周率
在劉徽之前，人們一般使用“周三徑一”來進行有關圓的計算，劉徽創建“割圓術”，從圓內接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數，一直計算到內接正192邊形的面積。由此得出。這個值的求比古希臘阿基米德的方法更為簡便。劉徽又求出更精確的近似值超過了阿基米德環形山。這是當時世界上最精確的圓周率值。奠定了中國在這個領域領先西方千余年的基礎。
同時，“割圓術”把極限的概念運用于解決實際的數學問題之中，為計算圓周率和圓面積，建立了嚴密的方法，是世界數學史上一項重大的成就，影響中國后世數學的發展。如南北朝時期著名數學家祖沖之及其兒子祖暅運用劉徽發明的割圓術，計算圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，得出3.1415926<<3.1415927，在當時世界數學的發展中處于遙遙領先的地位。
附：《九章算術》提出的圓面積公式，用現今的符號寫出就是：
其中S、L、r分別是圓面積、周長、半徑?！毒耪滤阈g》還提出了陽馬（直角四棱錐）和鱉腝(nào）（各面皆為勾股形的四面體）的體積公式：
其中Vy、Vb、a、b、h分別是陽馬、鱉腝的體積和寬、長、高。
創立了“劉徽定理”
劉徽借助對截面積原理即現在高中數學課本中的“祖暅(gèng）原理”，設計了“牟合方蓋”，即正方體的兩個軸互相垂直的內切圓柱體的貫交部分，指出“牟合方蓋”和球的體積之比為4:π，正確解決球體積的問題。這種算法稱之為“劉徽定理”。他用到的“祖氏原理”，是后來西方所稱的卡瓦列里（B.Cavalieri，1598-1647年）公理，比劉徽晚了1300多年，比祖暅晚了1000多年。劉徽利用極限思想和無窮小分割方法證明了這個原理，并將錐亭之類即多面體分割成有限個長方體、塹堵、陽馬、鱉腝，求其體積之和，解決體積問題，從而將多面體理論建立在無窮小分割基礎之上。
定義“率”“方程”“正負數”等
劉徽在“審辨名分”的原則指導下，對一系列數學概念下了明確的定義。據初步統計，劉徽在他的注文中至少對二十多個數學概念直接給出了明確的定義，所下定義的這些數學概念，除少數是劉徽所創立的，如“冪”等外，絕大多數是《九章算術》原來使用而沒有定義的。他注釋各種數學現象的字詞，成為數學專門術語，為后世長期承襲，直至沿用至今，有些還遠傳東瀛，一般用語如類(種類）、故（原因）、推（推導）等；空間形式用語如、隅、冪、牟合方蓋等；數量關系用語如全（整數）、分（分數）、率等。
“率”是《九章算術》中使用最多的概念之一。劉徽把它定義為“數相與者”，并指出：“凡所謂率者，細則俱細，粗則俱粗，兩數相推而已”（卷三）。這里的“相與”即“相關”的意思，意謂“率”即是數與數之間所存在的“細則俱細，粗則俱粗”的比例關系。劉徽給出率的定義后，利用率的性質證明今有術的公式，論證分數運算、盈不足術與方程組解法的原理。他在率的概念和今有術的基礎上，還提出一些新的結果，如合比定理和方程新術。
《九章算術》原術只給出這組率中的一個解，把方程組和不定方程組混為一談。劉微給方程以嚴格的定義后，指出《九章算術》方程章第13題是一個不定方程問題，其解應是一組率。在中國數學史上，劉徽是第一個提出來不定方程問題的人。
劉徽關于正負數的概念和定義，在世界數學史上是處于遙遙領先的地位。
改進方程的解法
《九章算術》中解線性方程組用“直除”法。劉徽提出以“互乘相消”來代替“直除”法，以簡化計算。他對齊同術給出了明確的定義和定理，而且推廣到許多方面，使它在分數比較、“方程”等解法上有了應用。同時他還提出具比率算法色彩的“方程新術”：“令左右行相減先去下實(常量項)，又轉去物位(未知量項)，求其一行二物正負相借者易其相當之率。又令二物與他行互相去取，轉其二物相借之數即皆相當之率也。各據二物相當之率對易其數，即各當之率也。”企圖將“方程”諸術納入比率算法，從而建立統一的籌式演算理論的思想。
主要著作
劉徽撰有《九章算術注》《重差》（又稱《海島算經》）和《九章重差圖》一卷。唐代初年，《九章重差圖》已失傳。現在傳本《九章算術注》和《海島算經》。
《九章算術注》
《九章算術注》是劉徽的數學工作、數學成就以及蘊涵其中的科學思想，集中的體現。它以為《九章算術》作注解的形式，一方面對《九章算術》的數學概念、具體方法和正確結論作了系統、全面、詳盡的定義、論述和證明，由此形成了數學理論體系，奠定了中國古典數學理論的基礎；另一方面則通過對《九章算術》有關內容的闡述，提出了許多新的見解、方法、思想、理論。如用“割圓術”來計算圓周率的做法包含著極限思想；正確算出圓內接正192邊形的面積，得到圓周率的近似值為157/50（=3.14），并計算出圓內接正3072邊形的面積，從而又得到的近似值為3927/1250（=3.1416）；運用了“齊同術”“今有術”“圖驗法”“棋驗法”等各種計算方法。
唐王孝通《緝古算經》是商功章、勾股章及其《九章算術注》的發展，特別是第3題工限分配直接運用雁術中的齊同思想；北宋賈憲增乘方法可以視為開方術及其《九章算術注》的必然延續，南宋秦九韶《數學九章》糯谷釀造算題是《九章算術注》重今有術的具體推廣和應用；金李冶《測圓海鏡》數以百計的命題是勾股章容方、圓問題的深入和擴大等。在寬平時代（889年-897年），《九章算術注》就已經傳播到日本。后又出現英譯本、法文本等。英國、美國、蘇聯、朝鮮、馬來西亞等國家以及香港特別行政區、臺灣等地區都有不少學者發表了關于劉徽及其《九章算術注》的研究成果。
《重差》（又名《海島算經》）
《重差》是劉徽自撰自注的一卷數學書，原本放在《九章算術注》后，為該書第十卷。大約在南北朝后期，第十卷單行。因為其第一問為測望一海島的高遠，故名《海島算經》。書中設計了用重差術測望山高、海廣、谷深、邑方等九個問題，使用了重表、累矩、連索三種基本測望方法。重表法源于測望日高。中國古代沒有三角，重差術可以起三角的作用。唐李淳風編纂[zuǎn]《算經十書》時，《海島算經》與《九章算術》并列為其中的兩部，是中國古代關于測量數學的重要著作。在唐朝，《海島算經》作為當時官立算學（培養天文、數學人才的學校）的重要教材。
據考證，《海島算經》中的望海島問的原型是泰山，并測得其高度為1792.14米。這是歷史上第一次用科學方法測望泰山的高度。劉徽還運用“類推衍化”的方法，設計了使用三次測望、四次測望等更復雜的測望問題，對于十分“幽遐詭伏”的地形，也能設計出測量的具體方案。
附：望海島題
設島高PQ，立兩支等高的表AE、CH，與海島在同一平面上。自前表AE后退至F，使F、E、P三點共線；又從后表CH后退至G，使G、H、P三點共線。設表高AE、CH為h，FA=a，CG=b，兩表間距AC為l，海島高PQ為y，前表距海島AQ為x，則
海島高y=＋h
前表去海島x=
劉徽使用的表AE、CH高3丈，兩表相距AC為1000步，測得AF為123步，CG為127步。算出島高4里55步，合1792.14米。
人物評價
日本數學史家三上義夫和藪內清稱劉徽為古今東西“數學界的一大偉人”。
唐初王孝通著《緝古算經》，他在序文中盛贊劉徽“思極毫芒”，“一時獨步”。
清朝學者阮元《疇人傳》說：“江都焦里堂謂劉徽注《九章》，與許叔重《說文解字》同有功于六藝，是豈尊崇之過當乎！”把劉徽比作漢代著《說文解字》的一代大師許慎。
中國古代數學史家李迪在《科學家論方法》一書中對劉徽數學成就的概括，他認為：劉徽在當時已有的各個數學領域幾乎都做出了重大貢獻。
中國古代數學史家吳文俊說：“從對數學貢獻的角度來衡量，劉徽應該與歐幾里得、阿基米德等相提并論。”
人物爭議
籍貫
山東鄒平籍人
今人據《宋史·禮志》記載，北宋末，算學祀典中劉徽被封為淄鄉男?！巴瑫r與劉徽受封的56人中封號與本人里貫的關系：史藉有里貫的47人中，其中41人封號與里貫相同。其他6人或按其郡望，或按其生前活動地區，或按其生前封號晉爵，與其藉貫不同?！庇指鶕敃r山東省屬魏國，山東省內有臨淄區、淄川等地臨近渤海，而劉徽著有測望海島的《海島算經》，可認為劉徽可能是山東省臨淄、淄川一帶人。李迪據此初步斷定劉徽是山東人淄川一帶的人。郭書春根據《宋史·禮志》記載，結合“淄鄉不是劉姓郡望，也不會是劉徽生前封號，因此只能是其籍貫或其活動地區?！薄坝指鶕?a href="/hebeideji/7189968660415397888.html">漢書》《元豐九域志》《金史》《山東通志》等史籍“淄鄉在今山東省鄒平縣境”，推定劉徽籍貫是淄鄉（今屬山東省鄒平縣）。
不可考說
嚴敦杰根據《宋史·禮志》中關于北宋末年算學祀典的記載推測，于1940年發表文章認為劉徽系淄川人。但1981年，他又發表文章表示還是定不可考為好。
生活年代
三國時魏國人
關于劉徽的生平，為唐李淳風撰寫的資料，且均是幾個字談到他注《九章》的工作。如《晉書·律歷志》《九章·商功》《隋書·律歷志》其中劉徽的話均見于今傳本《九章算術》注文。由這一記載只可知劉徽是三國時魏國人，于公元263年注《九章》，生活于263年前后。其余不可考。
魏晉時人
《隋書·律歷志》稱：“魏陳留王景元四年劉徽注九章。”《晉書·律歷志》也有相同的記載。又據劉徽注原序中“徽幼習九章，長再詳覽?！蓖茢鄬懽r已年事較長?？晒烙媱⒒丈?a href="/hebeideji/7191278431733465145.html">東漢末年或三國魏初。另，《九章算術·方田章·圓田術》和《商功章·圓困術》劉徽注中都說到“晉武庫中有漢時王莽所作銅”，以此可推斷劉徽注一直撰寫至晉朝初年。咸熙二年魏亡，265年為西晉泰始元年。可以認為，劉徽大概是魏晉時人。
現今所見有關劉徽生平事跡的記載多出自李淳風。李淳風等奉敕注釋“十部算經”時是作過一番考證的。王孝通也記載了：“魏人劉徽注《九章算術》?！钡麄兌紱]有說明景元四年是劉徽開始或者完成《九章算術》注釋的年代，抑或是他注釋其中商功章的時間。263年前后，劉徽注釋《九章算術》。265年司馬炎篡魏稱帝。因此，推斷劉徽為魏晉期間人是合理的。嚴敦杰《劉徽簡傳》則作了進一步的論斷：劉徽是曹魏、晉朝間人。劉徽應生于東漢末年或三國魏初。景元四年次年魏即亡，再次年為西晉泰始元年（265年)。故劉徽當在西晉生活一段時間。郭書春從劉徽受玄學名士的思想影響較大，有許多語句相類，推斷劉徽的生年大約與嵇康、王弼相近，或稍晚一些，就是說，約生于公元3世紀20年代后期至公元240年之間。
仕宦考證
根據《九章注序》云：“徽幼習《九章》，長再詳覽?！贝蠖鄶等送茰y劉徽自幼長期潛心研習《九章算術》，從事數學創作，終生未仕，生前沒有顯赫的社會地位，所以名不見經傳。劉徽是一位“布衣數學家”。有人根據《晉書·職官志》推斷劉徽曾任過魏儀同之職，同時著有《魯史欹器圖說》一卷。
《九章算術注》成書時間研究
劉徽于魏陳留王景元四年（263年）注《九章算術》無可疑。據《晉書》《隋書》的《律歷志》和唐初王孝通《緝古算經序》，肯定劉徽注《九章算術》是在北魏?，F存最早的《九章算術》刊本南宋鮑澣之刊本每卷前還保留有“魏劉徽注”字樣。但《九章算術注》的注文中又兩次出現有“晉武庫中有漢時王莽所作銅斛”。又清武英殿聚珍本《九章算術》題“晉劉徽注”。據此推測，劉徽也有可能由魏入晉，并在后來對《九章算術注》做了一點補充和修訂的工作。但也有人認為“晉武庫中有漢時王莽所作銅斛”一段，系后來祖沖之或李淳風所注混入。
數學成果爭議
圓周率=3.1416這個數值究竟是劉徽所得出，還是以后祖沖之的成果，目前數學史界尚無定論。這一問題牽涉到《九章算術》的注文中，這一段究竟是劉徽所寫還是祖沖之所寫。李迪認為：劉徽“得到了圓周率3.14（）而沒有繼續往下求；”梅榮照則以為=3.1416當屬劉徽。
后世紀念
70年代美國出版的《科學家傳記辭典》（Dictionaryof Scientific Biography）列有“劉徽—三世紀中國數學家”專條，由科技史家何丙郁執筆。1991年6月，北京市舉行了“《九章算術》暨劉徽學術思想國際研討會議”。
后人為紀念劉徽，把3.14稱為“徽率”。
2021年5月24日，國際天文學聯合會（IAU）批準了中國提議在嫦娥五號探測器降落地點附近的8個月球地貌之一，以劉徽命名的申請。
2002年，中國發行劉徽紀念郵票。
延伸閱讀
《九章算術》
《九章算術》是中國流傳最古老的數學專著之一，也是中國古代重要的數學典籍，被后世人稱為“算經之首”。原書作者不詳，但一般認為是西漢時期作為數學名家且身居高位的張蒼和耿壽昌主持修訂先秦流傳下來的《算術》并整理編纂成書。該書共分為九章（方田、粟米、衰分、商功、均輸等章），用問題集的形式一共列舉了246個與社會生活息息相關的數學問題，并給出了解題的思路和答案，包括各種平面和立體圖形的面體積計算、谷物糧食和土木工程的比例分配、分數的四則運算以及方程組和勾股定理等內容，不僅總結了先秦時代的數學成就，還對后來中國古代的數學以及世界數學的發展做出重要貢獻?！?a href="/hebeideji/7191400601702973477.html">九章算術》的版本眾多，而且較為冗雜，以現代郭書春的匯校本為比較流行、較為清晰的版本。
參考資料 >
月球表面新增8個中國地名，快來看看都叫啥?.百家號.2024-12-01
阮元.中國大百科全書.2024-01-12
月球表面新增8個中國地名：徐光啟、沈括等被用來命名.今日頭條.2021-05-28