實數，是有理數和無理數的總稱，前者如0、?4、817；后者如、等。實數可以直觀地看作小數（有限或無限的），它們能把數軸“填滿”。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全域，實數的全體稱為實數集或實數域，記為。實數和虛數共同構成復數。
實數可用于測量連續一維量（例如距離、持續時間或溫度）。連續意味著值對可以有任意小的差異。每個實數幾乎都可以通過無限十進制展開來唯一地表示。
古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；而有理數集存在“縫隙”這一事實，由此引發了第一次數學危機。從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，并把它和有理數平等地看作數；后來有虛數概念的引入，為加以區別而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，盡管虛數已經出現并廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀末的戴德金、格奧爾格·康托爾等人對實數進行了嚴格處理。實數具有序性、絕對性、完備性、阿基米德性質。
實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數。實數是微積分的基礎，可以運用到數學、生活、物理和計算機領域。
定義
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正實數、負實數和零三類。有理數可以分成整數和分數，而整數可以分為正整數、零和負整數。分數可以分為正分數和負分數，常見的有理數有整數、分數、有限小數、無限循環小數，如2001，，3.12，0.313313等。無理數可以分為正無理數和負無理數，常見的無理數有、、。實數集合通常用字母或表示。而表示維實數空間。實數是不可數的。實數是實分析的核心研究對象。即實數集中的任意一個實數與數軸上的點是一一對應的。此外，實數可以用通過收斂于一個唯一實數的十進制或二進制展開如{3，3.1，3.14，3.141，3.1415…}所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。
實數的公理化定義
所謂實數，其全體構成“實數空間”，是具有下列性質的任一集合：
1）是一個域，即中的元素可以作四則運算。也就是說，首先有加法和乘法，并且滿足
中有一個元素“0”，對一切有；又有一個元素“1”，對一切有
對中每一個元素，相應有一個元素(記為)使得。如果 則又相應有一個元素(記為)使得。設，則減法就是如果，則除法就是這樣在中就有了全部四則運算。
2）是一個“序域”，即除滿足1）外，分為三個互不相交的部分，第一個部分記做，其中的元素叫做“正數”。第二個部分只有一個元素“0”。第三個部分是，其中的元素叫做“負數”。但要求滿足調節 （2）
如此，便可在中定義大小次序：如果，則說。特別，若，則；反之亦然，有了正、負數以后，于是就可以定義“絕對值”：
對一切，我們有。事實上，如果， 則由所滿足的條件(2)式，如果則同樣由(2)式，。特別，記叫做“自然數”，它們全體記為。
3）是一個“阿基米德序域”。意思是說除滿足條件1）和2）以外，還滿足 （3）
這個條件的作用在于。如果，則可證明一定存在“有理數”（，為正數，）使。就是說，任意兩個“實數”之間均有有理數。
4) 有連續性，就是說，除了滿足1)、2)、3)以外，還要求連續性命題成立。一般要求有完備性，即 Cauchy 數列收斂。由于等價性，自然其余的連續性命題也都成立。
以上四條叫做實數公理，實數是由這四條公理定義的，實數的一切性質，都可以從這四條公理推導出來，這四條公理可以綜合為實數公理，即“實數空間”是一個完備的Archimedes序域。
簡史
人類最先只知道自然數，由于減法使人類認識了負整數，又由除法認識了有理數。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，無法完全精確地表示這條對角線的長度，但畢達哥拉斯本身并不承認無理數的存在。這徹底地打擊了他們的數學理念；而有理數集存在“縫隙”這一事實，由此引發了第一次數學危機，最后由開方與不可公度問題發現了無理數。
到了17世紀，人們開始脫離其幾何原型抽象地認識實數，實數在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家格奧爾格·康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。19世紀中葉，人們發現對實數，特別是無理數的認識仍模糊不清，這促使一批數學家關注于處理無理數的問題。因此在將近半個世紀的時間里，他們建立了多種形式上不同，而實質上等價的嚴格的實數理論，各種形式的構造性實數理論，都是首先從有理數出發去定義無理數。即：數軸上有理點之間的所有空隙(無理點)，都可以由有理數經過一定的方式來確定。然后證明這樣定義的實數（原有的有理數和新定義的無理數）具有人們原來熟知的實數所應有的一切性質，特別是連續性。
這些形式上不同的實數理論也就因確定空隙的方法不同而互相區分，它們主要有：戴德金(Dedekind，J.wR）用有理數的分割的方法；格奧爾格·康托爾用有理數的基本列的方法；卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass，K（T.W）用無窮(非循環)十進小數的方法，以及用端點為有理點的閉區間套和有界單調有理數列的方法。站在現代數學的立場來看，上述各種方法都是從假定實數具有某種特性出發的，而這些特性在實數范圍內都是等價的，因而用這些方法定義出的實數都是完全相同的。此外，還有一種與上述構造法完全不同的定義實數的方法，那就是戴維·希爾伯特（Hilbert,D于1899 年提出的公理化方法）。他將實數應有的些基本性質列為一個公理系統，然后將滿足這個公理系統的對象定義為實數，基于這些公理的實數理論與上述基于構造法的也互相等價。
概念
正數
在表示拒用相反意義的量的多少時，其中一種量可以用原來學過的除0以外的自然數和分數來表示，現在其為正整數和正分數，統稱為正數。為了進一步強調他們是正數，還可以在除0以外的數的前面加上一個“”號（讀作“正號”），如
負數
負數是一種實數，指正數的相反數。在除0以外的自然數和分數的前面加上一個“”號（讀作“負號”），如。此外，還規定“0”既不是正數，也不是負數。
復數
的數被稱為復數，其中表示實數集合稱為虛數單位，稱實數，分別為復數的實部和虛部，常記為。
當實部時，稱為純虛數；當虛部時，就是實數。因此，全體實數是復數的一部分，復數是實數的推廣，。
有理數
整數的擴充、整數、分數統稱為有理數；或將分數成為有理數，其中為整數，；或將整數、有限小數、無限循環小數統稱為有理數。由有理數的定義知，任何有理數都可以寫為有限小數或無限循環小數的形式。
無理數
無理數是一種特殊的實數，無限不循環小數為無理數，由于無理數不能表示成兩個整數比的形式，故又稱非比數。
數軸
數軸，亦稱數直線。數學的基本概念之一，指規定了原點、方向和長度單位的直線。實數與數軸上的點一一對應，并用點能夠表示它對應的實數。
代數數
代數數，一種特殊方程的根，若數滿足一個有理系數代數方程。
則稱為一個代數數，若此方程的系數都是正數，則稱為代數整數。若所滿足的最低次的代數方程的次數是，則稱為次代數數，稱為的次數。
超越數
一種特殊的實數，不是代數數的實數，即不存在任何非零整系數多項式，使是方程的根。如圓周率和自然對數的底都是超越數。
性質
四則運算性質
任意兩個實數的和、差、積或商（除數不為0）仍是實數，且有下列性質（表示任意；表示存在）：
加減法性質
對，均有，且有
加法交換律：
加法結合律：對，有
是特殊實數，對
對，存在唯一的，使
減法是加法的逆運算，可用性質來定義：。如此，減法便可歸結為加法。
乘除法性質
對，有，且有
乘法交換律：
乘法結合律：
是特殊實數，對，有
對，存在唯一的，使
除法是乘法的逆運算，可用性質來定義：，除法便可歸結為乘法。
乘法對加法的分配律
乘法對加法運算還有以下性質：
對有
在一個集合上，如能定義類似于實數的加法和乘法的兩種運算及其逆運算，且具有上述的所有運算性質時，就稱這個集合為“域”，因此實數集合也稱為實數城。此外，有理數和復數也都是數域。
有序性
以表示任意；表示存在，對，以下三種情況：必有一個且只有一個成立。
其中不等式有以下性質：
自反性：即與等價
傳遞性：若，，則
對，若，則
對任意正實數，若，有
實數的稠密性：即若且，則使
絕對值
絕對值的定義。以表示任意；表示存在，對，有。的絕對值表示點與原點間的距離。
絕對值的主要性質：，等號當且僅當時成立；對有；
距離公理：對，表示與兩點間的距離，具有三個最基本的性質：
(a)對稱性；
(b)非負性，且等號當且僅當成立；
(c)三角不等式 對，成立不等式
以上三個性質是描述距離的本質的性質，叫距離公理。如果在某個集合之中，對于其中任意的兩個元素 、，可以定義一個非負的實數與之對應，且具有距離公理的三個性質，那么這個集合的元素便可稱作為點，就表示點 與間的距離，而這個集合也就被稱作距離空間。實數集就是一個距離空間。
完備性
作為度量空間或一致空間，實數集合是一個完備空間，它有以下性質：所有實數的柯西序列都有一個實數極限。實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。
實數和有理數的本質區別在于實數具有完備性，而有理數不具備完備性。實數的完備性是指它有連續的結構，即實數與數軸上的點可以建立一一對應的關系。而有理數則不然，像就不是有理數，而數軸上總有與對應的點，這個點不能與任何有理數相對應。如用有理數和數軸上的點作對應關系，數軸上將有許多不能和有理數相對應的“空隙點”。如果將有理數擴充為實數，則可以證明。實數與數軸上的點有一一對應的關系。這就說明實數結構就如數軸一樣，由它的點連續布滿，這就是完備性。
實數系的完備性(completeness of real numbersystem )指實數系對極限運算封閉，也指對實數使用由有理數構造實數的方法不能再得到新的數，它是區分有理數系與實數系的關鍵性質。
阿基米德性質
阿基米德性質(Archimedean property) 是實數系的重要性質之一，指對任意正數及實數 ，存在正整數，使，在幾何上這意味著，無論多長的線段，都能用有限條不管多短的等長線段覆蓋；也就是無論采用多短的線段作單位，都能在有限次內把無論多長的線段量完。這個性質是阿基米德(Archimedes)在其著作《論球與圓柱體》中明確提出的。
阿基米德性質還有幾種等價形式：
1.對任意實數，存在正整數
2.對任意正數，存在正整數，使
3.若實數滿足以下條件：對任意正整數有，則
4.正整數集無上界。
拓撲性質
實數集構成一個度量空間，和間的距離定為絕對值。作為一個全序集，它也具有序拓撲。實數的拓撲性質為：
令為一實數。的鄰域是實數集中一個包括一段含有的線段的子集。
是可分空間。在中處處稠密。
的開集是開區間的聯集。
的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。
每個中的有界序列都有收斂子序列。
是連通且單連通的。
中的連通子集是線段、射線與本身。由此性質可迅速導出中間值定理。
高級性質
實數集是不可數的，也就是說，實數的個數嚴格多于自然數的個數（盡管兩者都是無窮大）。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數集的勢為，即自然數集的冪集的勢。
由于實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數，絕大多數實數是超越數。實數集的子集中，不存在其勢嚴格大于自然數集的勢且嚴格小于實數集的勢的集合，這就是連續統假設。事實上這假設不能被證明是否正確，這是由于它和集合論的公理不相關。
所有非負實數的平方根屬于，但這對負數不成立。這表明上的序是由其代數結構確定的。而且，所有奇數次多項式至少有一個根屬于R。這兩個性質使成為實封閉域的最主要的實例。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。
實數集擁有一個規范的測度，即勒貝格測度。
Lö；wenheim-Skolem定理說明，存在一個實數集的可數稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題；超實數的集合遠遠大于，但也同樣滿足和R一樣的一階邏輯命題。滿足和一樣的一階邏輯命題的有序域稱為的非標準模型。這就是非標準分析的研究內容，在非標準模型中證明一階邏輯命題（可能比在中證明要簡單一些），從而確定這些命題在中也成立。
應用
數學領域
測量連續的量
實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列(可以是循環的，也可以是非循環的)。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點后n位，n為正整數）。
非線性方程
實數的四則運算法則可以用來求解一次方程，以方程為例，其中是實變量的非線性實單值函數。滿足方程的實數，即使成立的實數稱為非線性方程的解。
集合論
實數通常使用集合論的恩斯特·策梅洛弗蘭克爾公理化來形式化，但一些數學家使用數學的其他邏輯基礎來研究實數。特別是，實數也在逆向數學和構造性數學中進行研究；在集合論，特別是描述性集合論中，貝爾空間被用作實數的替代，因為實數具有一些拓撲特性（連通性），這在技術上帶來了不便。貝爾空間的元素被稱為“實數”。
生活領域
例：已知第一個立方體紙盒的棱長是7，第二個正方體紙盒的體積要比第一個紙盒的體積大169，試求第二個正方體紙盒的棱長。
解：由第一個正方體紙盒的棱長是7，可知其體積為343；由第二個正方體紙盒的體積要比第一個紙盒的體積大169，可知第二個紙盒的體積為512而可求出第二個正方體紙盒的棱長。
因為是512的立方根，所以所以第二個正方體紙盒的棱長為8。
物理領域
在物理科學中，大多數物理常數（例如萬有引力常數）和物理變量（例如位置、質量、速度和電荷）都是使用實數建模的。事實上，經典力學、電磁學、量子力學、廣義相對論和標準模型等基本物理理論都是使用基于實數的數學結構（通常是光滑流形或希爾伯特空間）來描述的，盡管使用物理量得出的實際測量在準確度和精密度上比較有限。
計算機領域
在計算機中，無法對任意實數進行運算，因為有限計算機無法直接存儲無限多個數字或其他無限表示。它們通常也不對任意可定義的實數進行運算，通常使用稱為浮點數的有限精度近似值。
參考資料 >
real number.Oxford Reference.2024-02-18
Computing numerically with functions instead of numbers" (PDF)..Mathematics in Computer Science.2024-02-18