代數數是代數與數論中的重要概念，指任何整系數多項式的復根。所有代數數的集合構成一個域，稱為代數數域，記作{\displaystyle {\mathcal {A}}}或{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}，是復數域{\displaystyle \mathbb {C} }的子域。不是代數數的數稱為超越數，例如圓周率 π、自然對數的底數 e。代數數的集合是可數的，而實數和復數的集合是不可數集，因此幾乎所有的實數和復數都是超越數。
基本內容
數學術語代數數
英語：algebraic number
注意：該內容涉及高等數學知識。
滿足形如的某整系數代數方程的復數。其中首項（最高次項）系數為1的整系數代數方程的根則叫做“代數整數”。例如是一個實代數數，它滿足方程。再如全體有理數及3、等都是代數數。每個有理數（m，n為整數，n≠0）都是代數數，因為它滿足方程 。可見代數數集包含了有理數集。然而，代數數集并不包含全部實數。代數數集是一個可數集，即所有代數數能與全體自然數建立一一對應，而實數集是不可數的無窮集，因此，一定存在不是代數數的實數。現已證明 π和e這些無理數不是代數數。不是代數數的數稱為超越數。由此可見，就實數集而言，實數既可按有理數和無理數分為兩類，又可按實代數數和實超越數分為兩類。實代數數集是有理數集的自然擴充。
代數數在有理數下的“+”、“-”、“x”、“÷”運算中是封閉的，因此構成一個域，稱為代數數域。注意：代數數在平方和開方的運算中不是封閉的，例如{\displaystyle 2^{\sqrt{2}}}即2的根號2次方不是代數數，它是一個超越數。以代數數作為系數的有限次多項式的根也是代數數。當a為一個非零代數數時，{\displaystyle e^{a}}都是超越數。當a為一個大于0且不等于1的代數數時，ln a是超越數。代數數不一定是實數，實數也不一定是代數數。代數數的集合是可數的，而在復平面上，代數數集合的勒貝格測度為零。在此意義上，可以說“幾乎所有”的復數都不是代數數。給定一個代數數z，在所有以{\displaystyle z}為根的有理系數多項式中，存在唯一的一個首一多項式，其次數小于等于任何其他以{\displaystyle z}為根的多項式。這個多項式稱為極小多項式。如果極小多項式的次數為{\displaystyle n}，則稱該代數數為{\displaystyle n}次代數數。一次的代數數就是有理數。所有的代數數都是可計算數，因此是可定義數。
由根式定義的數
任何可以從整數或有理數通過有限次四則運算和正整數次開方運算得到的數都是代數數。反之則不成立：有些代數數不能用這種方法得出，這些代數數是次數為5次或超過5次的多項式的根。這是伽羅瓦理論的結果（參見五次方程和阿貝爾－魯菲尼定理）。一個例子是{\displaystyle x^{5}-x-1=0\,}的唯一實根（大約為{\displaystyle 1.167303978261418684256\,}）。
參考資料 >