勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛應用于實分析，特別是用于定義勒貝格積分。可以賦予一個體積的集合被稱為勒貝格可測；亨利·勒貝格可測集A的體積或者說測度記作λ(A)。一個值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。
歷史
勒貝格在1901年描述勒他的測度，隨后在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發(fā)表的。
例子
1.如果A是一個區(qū)間，那么其勒貝格測度是區(qū)間長度。開區(qū)間 的長度與閉區(qū)間一樣，因為兩集合的差是零測集。
2. 如果A是區(qū)間 和 的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積。
3.康托爾集是一個 勒貝格測度為零的不可數(shù)集的例子。
性質
上的勒貝格測度有如下的性質：
1. 如果A是區(qū)間 的勒內·笛卡爾積，那么A是亨利·勒貝格可測的，并且 其中 表示區(qū)間I的長度。
2. 如果A是有限個或可數(shù)個兩兩互不相交的勒貝格可測集的并，那么A也是勒貝格可測的，并且λ(A) 就是這些可測集的測度的和（或無窮級數(shù)的和）。
3. 如果A勒貝格可測的，那么它的補集（相對于 R）也是可測的。
4. 對于每個勒貝格可測集A，。
5. 如果A與B是勒貝格可測的，且A是B的子集，那么。 (由 2, 3 及 4可得。)
6. 可數(shù)多個是亨利·勒貝格可測集的交或者并仍然是勒貝格可測的。 (由2，3 可得)。
7. 如果A是一個開集或閉集，且是 R(甚至Borel集，見度量空間，待補)的子集，那么A是勒貝格可測的。
8. 如果A是一個勒貝格可測集，并有(零測集)，則A的任何一個子集也是零測集。
9. 如果A是勒貝格可測的，x是 R中的一個元素，A關于x的平移（定義為）也是勒貝格可測的，并且測度等于A.
10. 如果A是亨利·勒貝格可測的， ，則 關于 的擴張（定義為）也是勒貝格可測的，其測度為。
11. 更廣泛地說，設T是一個線性變換，A是一個 R的勒貝格可測子集，則T(A)也是勒貝格可測的，其測度為。
12. 如果A是R的勒貝格可測子集，f是一個A到R上的連續(xù)單射函數(shù)，則f(A)也是勒貝格可測的。
簡要地說，的亨利·勒貝格可測子集組成一個含所有區(qū)間及其勒內·笛卡爾積的σ代數(shù)，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足 的測度。
勒貝格測度是 σ-有限測度。
零測集
的子集是零測集，如果對于每一個，它都可以用可數(shù)個n個區(qū)間的乘積來覆蓋，其總體積最多為ε。所有可數(shù)集都是零測集。
如果 的子集的費利克斯·豪斯多夫維數(shù)小于n，那么它就是關于n維勒貝格測度的零測集。在這里，豪斯多夫維數(shù)是相對于 上的歐幾里得度量（或任何與其等價的利普希茨度量）。另一方面，一個集合可能拓撲維數(shù)小于n，但具有正的n維勒貝格測度。一個例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數(shù)為0，但1維勒貝格測度為正數(shù)。
為了證明某個給定的集合A是亨利·勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個“較好”的集合B，與A只相差一個零測集，然后證明B可以用開集或閉集的可數(shù)交集和并集生成。
勒貝格測度的結構
勒貝格測度的現(xiàn)代結構，基于外測度，是卡拉特奧多里發(fā)明的。
固定，中的 盒子是形如 的集合，其中。這個盒子的體積 定義為
對于任何 的子集A，我們可以定義它的外測度：
是可數(shù)個盒子的集合，它的并集覆蓋了。然后定義集合A為亨利·勒貝格可測的，如果對于所有集合，都有：
這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數(shù)。勒貝格測度定義為對于任何勒貝格可測的集合A。
根據(jù)維塔利定理，存在實數(shù) 的一個勒貝格不可測的子集。如果A是 的任何測度為正數(shù)的子集，那么A便有勒貝格不可測的子集。
與其他測度的關系
在所定義的集合上，博雷爾測度與勒貝格測度是一致的；然而，仍然有更多亨利·勒貝格可測的集合不是埃米爾·博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。
哈爾測度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的 是一個局部緊群）。
豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數(shù)）是勒貝格測度的一個推廣，對于測量 的維數(shù)比n低的子集是很有用的，例如內的曲線或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數(shù)的概念混淆。
可以證明，在無窮維空間不存在勒貝格測度的類似物。
參考資料 >