圓周率（英文名稱為：Pi ），常用符號π來表示。圓周率的定義為：圓形的周長與直徑之比，公式為π=C/D，D為圓形的直徑；C為圓形的周長。π既是一個無理數也是一個超越數，并且他可以表示為無窮連分式的形式。
中國數學家劉徽是中國最早運用科學方法計算π值的人，約263年，他用割圓術得出π=3.14。此外，中國數學家祖沖之也求得圓周率3.1415926＜π＜3.1415927，他算出π的8位可靠數字，保持世界記錄九百多年。至1949年，英國數學家列維·史密斯和雷恩奇算出π的1121位，是人工算π的最高記錄。 1949年，人類第一次使用電子計算機計算π，至2024年，π值已計算到小數點后約105萬億位。
π是數學上的一個重要常數，與許多數學問題、數學公式有關，例如初等數學中的圓周長、圓面積、橢圓面積、球體積計算等，在數學的無窮、級數、積分的計算中也常常使用π，很多函數中也可以看到π的存在，如：柯西分布、伽瑪（gaussian）函數等。在數學之外的介子理論、交流電路等方面同樣引入π來進行計算推導。
定義
幾何定義
圓周率定義為圓形的周長與直徑之比，它也等于圓形之面積與半徑平方之比。
即：
為圓形的直徑；為圓形的周長。
積分定義
19世紀，奧古斯丁-路易·柯西、卡爾·魏爾施特拉斯給出了極限、收斂的精確定義，確立了以極限理論為基礎的數學分析體系，使微積分有了嚴格的理論基礎。英國數學家約翰·沃利斯對單位圓的研究，得到，這個式子表示的是一個單位圓的面積，后來，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉給出了通式：。
復數定義
復數，可以理解為一個實數和一個虛數復合而成的“復合數”，通常稱的表達式為復數，其中和為任意實數，為虛數單位。
由歐拉恒等式可知，是定義為一個單位長度在圓弧上旋轉半圈后得到的數，該數就是，所以。其中為自然對數的底數。
符號
圓周率符號為（英文名稱為：），取自希臘語“周圍—πúρωαπó”的第一個字母。1706年，威爾士數學家威廉·瓊斯（Wiliam Jones，1675—1749年）引入了符號代表圓周率。
簡史
實驗獲取階段
公元前950年前后，基督教《圣經》中最早記載了圓周率為“3”，巴比倫、印度、中國等也長期使用這個粗略而簡單實用的數值，約公元前250年，古巴比倫的一塊石碑上寫著，圓與它的內接正六邊形的周長之比為1：0.96，這意味著圓周率的值為3.125。中國的劉徽提出的“圓徑一而周三”曾廣泛流傳，《周髀算經》中，就記載有這一結論，木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣“周三徑一，方五斜七”，意思是說，直徑為1的圓，周長大約是3，邊長為5的正方形，對角線之長約為7。這正反映了早期人們對圓周率和這兩個無理數的粗略估計。東漢時期還明文規定圓周率取3為計算面積的標準，后人稱之為“古率”。
幾何算法階段
圓內接、外切多邊形
阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212年）是科學地研究圓周率這一常數的第一個人，開創了幾何計算的階段，真正使圓周率計算建立在科學的基礎上，他提出了一種能夠借助數學過程，把的值精確到任意精度的方法。由圖1知，圓周長大于內接正四邊形而小于外切正四邊形，因此＜＜，在他的一篇論文《圓的測定》之中，阿基米德第一次使用上、下界來確定的近似值，他用幾何方法證明了“圓周長與圓直徑之比小于而大于”到150年左右，希臘天文學家托勒密（Ptolemy，90—168年）得出3.1416，這是自阿基米德以來取得的巨大進步。
割圓術的應用
割圓術是中國數學家劉徽提出的，他是中國最早運用科學方法計算值的人，在263年前后，他就用此方法得出=3.14，后人稱之為“徽率”。割圓術僅用內接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德同時用內接和外切正多邊形的方法簡捷得多，割圓術中劉徽提供了一種精加工方法，通過計算圓內接正3072邊形的周長，得出圓周率π的近似值約為3.1416。此外，中國的另一位數學家祖沖之（429—500年）也求得圓周率3.1415926＜＜3.1415927，同時得到的兩個近似分數，即約率為，密率為，他算出的的8位可靠數字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年，被命名為“祖率”。
1150年，印度數學家婆什迦羅第二（1114—1185年） 則算出的近似值為 3.1416。約1424年，阿拉伯數學家卡西經過演算805306368個內接與外切正多邊形的周長，最終得到3.14159265358979325，這個值有17個有效數字，首次突破由祖沖之所創造的記錄。
分析算法階段
解析表達式的發現
1579年，法國數學家韋達（Francois Viete，1540—1630年）在《數學定律，應用于三角形》中，通過計算圓的正393216邊形，得出3.1415926535＜＜3.1415926537，同時他利用分析式和級數乘積來刻畫：
coscoscos
=
這個式子給科學家們指出了一個嶄新的計算的思路，這是分析法計算圓周率時代的第一個解析表達式。1621年，德國—荷蘭物理學家、數學家斯涅耳（Willebrod Snell，1580—1626年）對原來古典方法作出了一些三角上的改進，利用這一改進，只需算到邊形，就可得到34位值。1630年，羅馬數學家格林貝格（Peter Andreas Grünberg，1939—不詳）利用斯涅耳的方法得到40位值。
反正切函數表達式
在1706年英國數學家、天文學家梅欽發現了Machin公式：
actanarctan
arctan+-+，利用此公式計算得到了π的100位數值，具體為：3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679。
1734—1735年，在前人的基礎上，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707—1783年）得出著名的歐拉公式：
++++
到了1737年，歐拉利用反正切函數arctan，根據格雷戈里的展開式將右邊展開，得到了著名的歐拉級數：
1844年，德國漢堡的數學家斯特拉斯尼茨基和達什使用施瓦茲公式計算到小數點后200位。1949年，英國數學家列維·史密斯和雷恩奇算出的1121位，是人工算的最高記錄。
概率方法的使用
18世紀法國科學家蒲豐（Buffon，1707—1788年）創造的一種幾何與分析思想之外的方法求的值，即“投針求的概率論方法”。
將長為的勻質細針隨機地擲于畫了等距平行線族的平面上，相鄰兩平行線距離為，求針與平行線相交的概率。
解法：設為針中點到平行線的距離，則，設為針與平行線的夾角，則。
由圖（1）知，當且僅當sin，時，時針與平行線相交，于是所求概率：
，于是。1901年，意大利數學家拉澤里尼投針3408次，求得3.141592。
電子計算機的使用
1949年，人類第一次在美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室里用電子計算機算，包括約翰·馮·諾依曼在內，用ENIAC和梅欽公式計算值到2048位，突破了千位數。1959年，美國國際商業機器公司（IBM）制成第二代電子計算機—世界上的一臺晶體管電子計算IBM—7090。1961年，丹尼爾·尚克斯和雷恩奇用IBM—7090分別使用挪威斯托默公式：
arctanarctanarctan
和高斯公式：
arctanarctanarctan
將計算到小數點后100256位，達到110萬位高峰。
1985年，喬納森·波爾文和彼得·波爾文發表波爾文算法：
初值：，
重復計算：和，
最后得到，它四次收斂于圓周率。
初值：，，，
重復計算：，，，，
最后計算：=在日立制作所的超并行超級電腦系統日立—SR—8000—MPP下，凈耗時400多小時，算出12411億位值，這一成績刷新了2061億位的世界紀錄。
2020年，美國北阿拉巴馬慈善計算組織的創始人蒂莫西·穆利肯使用個人電腦，耗時303天，將圓周率的值計算到小數點后約50萬億位。2021年，瑞士格勞賓登州應用科學大學的研究人員宣布，他們借助研究所的一臺計算機，耗時108天，將值計算到小數點后約62.8萬億位，創下截止到2020年值計算的最精確紀錄。
幾何定義的推倒過程
的推導過程如下：
任意取一個直徑是的圓，作這個圓的內接正多邊形，作內接正邊形，并且把正邊形的邊長記做，周長記做。那么把這個正邊形的邊數加倍，且無限制地繼續加倍的過程，就得到一系列邊數遞增的圓內接正多邊形，這些正多邊形的周長組成一個無限數列：
（1）
設圓的周長為，因為三角形兩邊的長度的和大于第三邊的長度，所以內接正邊形的邊長小于內接正邊形的邊長的兩倍，就是，因此…所以有：
（2）
對于一切的，得到：
（3）
根據（1）式和（2）式可以推導出數列（2）遞增數列；另一方面，這個數列的每一項都小于一個常量，這時，數列（1）就有極限，當圓內接正多邊形的邊數無限增加的時候，內接正多邊形的周長就接近于一個確定的值，這個值叫做圓的周長：
（4）
這里為正多邊形的邊數，是它的周長，設圓的直徑是，它的周長是，圓內接正邊形的邊長、周長分別是、，如圖2，得到：
，因此，取極限后就得到：
這就說明了圓的周長和直徑的比值是一個常數。把這個常數記作就得到：
性質
也是一個常數，古希臘歐幾里得《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，中國古算書《周髀算經》（約公元前2世紀）中有“徑一而周三”的記載，也認為圓周率是常數。
無理性
是一個無理數，也就是說它是一個無限不循環小數。1767年，德國物理學家約翰·海恩里希·蘭伯特（Johann Heinrich Lambert，1728—1777年）率先證明了是一個無理數，根本找不到任何分數表達式。證明是無理數時，蘭伯特首先證明了將tan寫成連分式的展開形式，當是一個非零的正整數時，tan是一個無理數。 因為tan，這就意味著是一個無理數。
超越性
1882年，德國數學家費迪南德·馮·林德曼證明了是超越數，既不可能是任何整數多項式的根。當一個數可以被寫成含有理系數的多項式方程的根的形式時，不管這個數是實數還是復數，則這個數都可以被定義為代數數，否則，就是超越數。這就是說，如果存在非零的有理數使得方程成立，我們就說式中的是一個代數數。而當為一個超越數時，這個數就不是任何一個含非零的有理數系數的多項式方程的根。費迪南德·馮·林德曼就證明了圓周率就是這樣一個超越數。
的無理數證明，通俗易懂的是美國數學家尼云（Ivan Morton Niven 1915—1999年）在1947年給出的如下證法：
設，其中是互素的正整數，構造函數以及
計算可知
由于
因此，
對求直至階的偏導數，注意到和都是整數，可推得和也都是整數，由于時sin，因此
sin，這說明是一個正整數，但是時有sin，根據夾逼定理，當時，有
sinsin
這顯然與是一個正整數相矛盾，因此是無理數。
連分式
圓周率也可以用無限級數的嵌套分數的連分式形式來表示，表達式為：
即：
計算方法舉例
利用級數
冪級數在時，收斂于，即
=（）（1）
對此逐項積分得：
arctan（）（2）
，因右端級數當時收斂，故上式在時也成立，當時，由（2）得
（3）
此式又被稱為Π的萊布尼茨公式，是史上首條π的精確無窮級數公式。 然而，此式右端的交錯級數是條件收斂而非絕對收斂，若用其前項和作近似，產生的誤差將介于與之間，因此該級數的收斂速度是不能令人滿意的。
為了在計算時收斂速度快一些，可取較小的正數為，并代入（2）式，一般來說，的絕對值越小，該冪級數的收斂速度越快，而的絕對值越大，該級數的收斂速度越慢。如在（2）式的兩端令，得等式：
=（4）
（4）式中級數的收斂速度顯然要優于（3）式中級數的收斂速度，但是級數中含有的根式不易計算。17世紀后的許多著名數學家想到，將分成兩個或兩個以上小角度的和，每個小角度用反正切表示，這樣就可利用（2）式計算每個小角度進而算出。一般地，取tan為某個真分數，由
計算出
就可得到恒等式，例如：令tan，因
于是有：
arctanarctan
用類似的方法，還可進一步將上面的arctan分成兩個更小的角度之和。找到恒等式后，利用（2）式便可計算了，例如：由上面的等式可得：
這樣計算就更簡單，收斂速度也較（3）快。
利用正多邊形的面積
當圓的半徑為1時，其面積恰好為，因此必介于單位圓的內接正多邊形面積與外切正多邊形面積之間，因單位圓的內接正邊形面積為sin，外切正邊形面積為tan，故sintan，下面利用上式來求的近似值，為簡便起見，令（），則有sin＜＜tan，因此當用sin去近似時，誤差不超過tan-sin，記=sin，=tan，則有：
……，……，
=3.141592517 =3.141592722
=3.141592645 =3.141592658
=3.141592653 =3.141592653
……，……，
由此可見，隨的增大而增大，隨的增大而減小，且兩者越來越接近。
數學中的應用
是數學上的一個重要常數。隨著近代數學不斷深入的發展，逐步發現與許多數學問題、數學公式有關。
初等數學
在很多初等數學公式中出現，例如圓周長，為半徑；圓面積；橢圓面積；球體積等。
無窮
與 “無窮 ” 關系密切，其中的無窮表達式主要指無限連分式 （數 ）、無窮乘積、無窮級數、反正切式等。
無窮乘積表達式
1650年，英國數學家Waliss得到的無窮乘積表達式：
反正切式
的無窮級數非常之多，其中反正切展開式使用率較高。
在兩角和的正切公式tan=（tantan）/（tantan），中，令tan=a，tan=b，則arctan，arctan再取反正切得：arctanarctanarctan（1），設，，則（1）式為：
arctanarctanarctan（2），在（2）式中若令，則得
arctanarctan（3），若令，則得
arctanarctanarctan，再由（3）式得
2arctanarctan，如此遞推下去，可得許多的反正切式。
級數
級數的定義為：給個一個數列，將其各項依次相加，得到的表達式
稱為數項的級數或者無窮級數（簡稱為級數）。
傅里葉級數
大多數周期信號都可以用正弦和余弦級數的展開式來表示，一個周期信號函數的傅里葉級數可表示為：
（cossin）
cos
sin
式中：為信號基頻，單位為Hz；為周期信號的周期；和之間的關系可表示為，角頻率和之間的關系可表示為：
利用傅里葉級數，周期信號可以展開成無限多個正弦項和余弦項之和。
其它級數
（1）（Leibnig級數）
（2）（Fousies級數）
數據來源：
積分
概率積分
（Euler-Poisson積分）
Fejer積分
Fejer積分是指帶Fejer核的積分，這類積分在理論證明及工程應用上非常廣泛，許多重要定理的證明、習題的解答都能看到它們的作用。
柯西積分
若函數在簡單正向閉曲線所圍成的區域內解析，在區域的邊界上連續，是區域內任意一點，則：
函數
函數的定義為：設有兩個變量和和一個實數集的子集，若對于中的每個值，變量按照一定的法則有唯一一個確定的值與之對應，則稱變量是變量的函數，記作，其中數集稱為函數的定義域，相應的函數值的全體稱為函數的值域。
柯西分布
如果一個隨機變量的密度函數形如：
則稱該隨機變量為服從參數為的柯西分布。
伽瑪（高斯）函數
反常積分，在時，是收斂的，因此當取大于零的不同值時，它就有不同的值，所以它確定是一個的單值函數，這個函數叫做伽瑪函數，記作，或高斯函數，記作，即：
伽瑪函數在工程技術問題的研究中有廣泛的應用。
胡爾維茨zeta函數
的函數方程是的函數方程在為有理數時的一個特殊情形，如果和都是整數，，那么對所有的，則有：
cos
黎曼zeta函數
cos或者，等價地有：
sin。
其他應用
概率論
7世紀中葉，概率論在帕斯卡和皮耶·德·費瑪兩人間書信來往中開始得到發展。它形成一門學問是1812年皮埃爾-西蒙·拉普拉斯發表的解析概率論，距今約180年的歷史。把與概率聯系在一起，可以從小球命中圓、蒲豐氏問題（投針問題）著手。
小球命中圓
在邊長的正方形中有個直徑為的圓，投擲小球，問小球命中圓的概率是多少？其中命中正方形四周邊線或命中圓周都算是命中圓。
解：
正方形的面積是，正中圓的面積是。故小球命中圓的概率%，因為投球太容易，這樣提出問題不太適合，因為瞄準當中投，相當多的人是百發百中的，即概率應是100%，但為理論上即從數學上的考慮是或28.26%。
投針問題
法國的科學家蒲豐（1707—1788年）于1777年提出了這樣的一個問題，在畫有距離為的平行線的平面上，任意投一枚針，設針長為，試求針與任一條直線相交的概率。
設為針的中點到最近一條平行線的距離，顯然易知：，由幾何概率定義，它等于陰影區域的面積與矩形面積之比，即：
顯然，當二平行線距離與針長度相等時，針與直線相交叉的概率為，又設為投針次數；為相交次數，得：，由實驗結果就可得值的近似值。在歷史上也有很多人用“蒲氏原理”進行過試驗求出的不同的近似值。
介子理論
1935年，日本物理學家湯川秀樹提出介子理論，他認為：就像光子是和電磁場及電磁力聯系在一起的一樣，U—場也存在一個“量子”；湯川認為核力有一個—厘米的作用球，在—厘米處，核力突然下降，核力可以看成是一個核子發射出一個量子，另一個核子吸收同一個量子，根據不確定性原理，可以得出：，其中，，代入公式得到：
當取厘米時，可求出此量子的質量約為電子質量的200倍，因為中子和質子、質子和質子以及中子和中子之間的作用是相等的，所以，這種粒子可以以三種形式出現：中性、帶正電荷或負電荷，并且電荷大小等于質子的電荷。
交流電路
歐拉公式的幾何意義是：當一個向量在復平面上以勻角速度繞原點轉動時，矢量端點在實軸和虛軸上的投影分別作簡諧振動，在正弦交流電路中電流可以表示為sin，由歐拉公式cossin，把等式各項中的代換為，得：
cossin
在交流電路理論中用電流相量來代表相應的旋轉向量，把三角函數運算轉化為復數運算，從而簡化計算過程，設三相四線制供電系統中的線電流為：
sin，
sin，
sin，
對三個以相同角速度沿逆時針方向旋轉的向量，可以利用平行四邊形法則求出它們的合矢量，合矢量在坐標軸上的投影就代表合成的簡諧振動；求出三個電流的合向量后，中線上中合成的電流也就確定了：
電阻元件、電感元件和電容元件上電壓的合成結果可用同樣的方法得到。
國際圓周率日
2011年，國際數學聯盟正式宣布，將每年的3月14日設為國際圓周率日。2019年，聯合國教科文組織宣布3月14日為國際數學日。2020年3月，中國數學界以網絡科普講座的形式慶祝了第一個國際數學日。
相關事件
2021年，瑞士科學家利用超級計算機歷時108天，將圓周率計算出小數點后62.8萬億位數。
2022年，谷歌將圓周率計算到小數點后100萬億位，創下當時的世界紀錄。2023年4月，Solidigm公司追平這一紀錄。
2024年3月14日，總部位于加利福尼亞州的計算機存儲公司Solidigm發布聲明稱，該公司已將圓周率Pi（π）計算到小數點后約105萬億位，打破此前100萬億位的世界紀錄。本次計算歷時75天，利用了100萬GB數據，需要的計算能力與數十萬部智能手機相當。
參考資料 >
圓周率與國際數學日.宜昌市科學技術局.2023-11-10
新紀錄!這個數已精確到小數點后105萬億位.騰訊網.2024-03-16
歷史人物.保定地方志.2023-11-14