不確定性原理（Uncertainty principle），又稱“測不準原理”“不確定關系”“海森堡不確定性原理”等，是量子力學的一個基本原理，由物理學家海森堡（Heisenberg）于1927年提出。該原理主要指在確定微觀粒子位置與動量時，位置的測量越精確，動量的測量就越不精確，反之亦然。起初，海森伯格在論文中得出了不確定性原理的粗略計算公式，后續由厄爾·黑塞·肯納德（Earle Hesse Kennard）與赫爾曼·韋爾（Hermann Klaus Hugo Weyl）于1928年提出了其確切的公式即（）。
不確定性原理與觀察者效應時常會被混淆。觀察者效應是指對于系統的測量不可避免地會影響到該系統。為了解釋量子不確定性，海森伯格的表述所用的則是量子層級的觀察者效應，測量不是只有實驗觀察者參與的過程，而是經典物體與量子物體之間的相互作用，實際上的不確定性原理說的就是不確定性是粒子的內在屬性，不管你測不測量，它的位置和動量都不可能同時確定。類似的不確定性關系式也存在于能量和時間、角動量和角度等物理量之間。
在實際應用中，海森堡不確定性原理也可以用于檢驗發生于超導系統或量子光學系統的“數字－相位不確定性原理”。此外，對于不確定性原理的相關研究可以用來發展引力波干涉儀所需要的低噪聲科技，它在量子精密測量、量子通信等量子信息處理中也起到關鍵的作用。
概述
針對在原子和亞原子粒子的微觀尺度上，海森伯格提出了不確定性原理（也稱測不準原理，1927年），其是指在一個量子力學系統中，一個運動粒子的位置和它的動量不可被同時確定，位置的不確定性和動量的不確定性是不可避免的，它們的乘積不小于（為普朗克常數），即（）。在數學上，在波動力學中，位置和動量之間的不確定性關系之所以出現，是因為希爾伯特空間中兩個相應的正交基中的波函數表達式是彼此的傅里葉變換（即位置和動量是共軛變量）。非零函數及其傅里葉變換不能同時進行峰位定位。在矩陣力學中，任何一對表示可觀察的非交換自伴隨算子都受到類似的不確定性限制。可觀察對象的特征狀態表示特定測量值（特征值）的波函數狀態。即：位置的測量越精確，動量的測量就越不精確，反之亦然。在最極端的情況下，一個變量的絕對精度將導致另一個變量的絕對不精確。此外，不確定原理還涉及很多深刻的哲學問題，用海森伯格自己的話說：“在因果律的陳述中，即“若確切地知道現在，就能預見未來”，所得出的并不是結論，而是前提。我們不能知道現在的所有細節，是一種原則性的事情。”這一論述揭示了不確定性原理不僅是微觀世界的物理規律，更從根本上挑戰了經典力學中“確定性因果律”的哲學預設，將人類對自然規律的認知推向了更深刻的層面。
發展歷史
舊量子論到現代量子力學過渡
1925年7月，海森堡在論文《運動與機械關系的量子理論重新詮釋》（Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations）里表述了矩陣力學（后來用希爾伯特空間上的算子來表示）。從此舊量子論漸趨式微，現代量子力學的時代正式開啟。矩陣力學大膽地假設，經典的運動概念不適用于量子層級，束縛在原子內部的電子并不具有明確定義的軌道，而是運動于模糊不清、無法觀察到的軌道，其對于時間的傅立葉變換只涉及到因量子躍遷而產生的可以被觀察到的電磁輻射的離散頻率。
該研究始于1922年，當時海森堡德國哥廷根市參加尼爾斯·玻爾（Niels Bohr）的夏季講座。在那里，他否認了克萊默關于氫原子的二次斯塔克效應的論文結果。海森伯格堅稱這個結果因為依賴于經典的散射計算，是不可能正確的。直到1925年，海森堡意識到將經典運動學應用于不可觀測的原子尺度量仍然會給出錯誤的答案。他開始相信，通往成功的量子力學的道路中需要拒絕任何不可觀測的量，并創建一種“只發生可觀測量之間的關系”的物理學。海森堡從實驗得到的原子譜線分裂的量子數出發，發現了量子數的不對易性，引入矩陣運算實現量子化過程并依據哈密頓方程創建矩陣力學。
7月9日，海森堡將他完成的論文寄給沃爾夫岡·泡利審閱，謹慎的提出了自己關于矩陣力學的觀點。隨后該工作迅速得到認可，馬克斯·玻恩和其學生喬丹于1925年9月發表了論文，闡述了海森堡的數學運算原來就是他在學生時代學到的矩陣微積分。另外，在分別表示位置與動量的兩個無限矩陣之間存在著一種很特別的關系──正則對易關系，以方程式表示為：。保羅·狄拉克于1925年11月發表了論文，專注于泊松括號表達式。這些論文擴展了海森堡的矩陣力學，以更好的數學形式表達了基本量子力學關系：。
不確定性原理提出
1926年，提出了量子力學的第二種形式一波。同年夏，薛定諤又證明矩陣力學和波動力學的數學等價性。在波動力學中，體系的狀態用薛定諤方程的解——波函數來描述。
1925-1927年，海森堡對矩陣力學進行機理上的解釋分析，在分析的過程中借助物質波的模型和結論提出不確定原理，再設計實驗對不確定原理進行實驗驗證，最后發現根據不確定原理可以導出量子數的不對易性，從而指明不確定原理應該假設為一條自然定律，并以此作為量子論對經典概念進行批判的出發點。最后，在《論量子理論運動學與力學的物理內涵》論文中給出該原理的原本啟發式論述。在海森堡的不確定原理中，光的能量以小塊的方式走過來，測量過程本身將不可避免地給我們要測量的物體造成一個顯著的擾動。因此，在一個量子力學系統中，一個運動粒子的位置和它的動量不可被同時確定。
其中，1926年，提出了量子力學的第二種形式一波。同年夏，薛定諤又證明矩陣力學和波動力學的數學等價性。在波動力學中，體系的狀態用薛定諤方程的解——波函數來描述。
不確定性原理其本質還是波粒二象性，不確定原理的推導利用了路易·德布羅意公式，而德布羅意公式也來自波粒二象性。因此，不確定原理和德布羅意波都可以認為是物體的波粒二象性的不同反映，它們從不同側面對波粒二象性進行了闡釋。
不確定性原理擴展
1927年，厄爾·肯納德首先證明了現代不等式，其中，是位置標準差，是動量標準差，是約化普朗克常數。1929年，霍華德·羅伯森推導出基于對易關系的不確定關系式。2003年名古屋大學的小澤正直將傳統海森伯格不等式得出的測量極限與位置和動量本身具有的量子漲落加以區分，推導出擴展版不等式（）。同年多倫多大學的羅澤馬團隊在美國《物理評論通訊》上發表了“弱測量技術”相關內容，對不確定性原理進行了質疑與討論。9年后，小澤不等式通過維也納工科大學長谷川花司的實驗得到驗證，已經被廣為接受。
數學闡述
不確定原理（uncertainty principle），或稱不確定關系（uncertainty relation）測不準原理、測不準關系，可以由沃納·卡爾·海森堡的矩陣力學形式以及埃爾溫·薛定諤的波動力學形式進行解釋，二者在數學表示上只有形式不同，但表達含義相同，揭示了微觀粒子運動的基本規律，是微觀粒子波粒二象性的形象而定量的描述。
矩陣力學
位置和動量的不確定關系式
在經典力學中粒子（質點）的運動狀態是用位置坐標和動量來描述的而且這兩個量都可以同時準確地予以測定，這就是牛頓力學的確定性。因此，可以說同時準確地測定粒子（質點）在任意時刻的坐標和動量是經典力學以保持有效的關鍵。然而，對于具有二象性的微觀粒子來說，不能同時確定坐標和動量，而只能說出其可能性或者概率。此外，位置和動量的不確定關系也可以表述為順序測量不確定性原理、聯合測量不確定性原理以及制備不確定性原理，其中順序測量不確定性原理指不可能在測量位置時完全不攪擾動量，反之亦然；聯合測量不確定性原理指不可能對于位置與動量做聯合測量，即同步地測量位置與動量，只能做近似聯合測量；制備不確定性原理指不可能制備出量子態具有明確位置與明確動量的量子系統。
具體以電子通過單縫衍射為例。設有一束電子沿軸射向屏軸射向屏的狹縫。于是，在照相底片上，可以觀察到如圖所示的射圖樣。仍用坐標和動量來描述電子的運動狀態，人射電子方向無動量電子從縫的何處通過是不確定的，只知是在寬為的縫中通過。顯然，電子在軸上的坐標的不確定范圍是。在同一瞬時，由于衍射的緣故，電子動量的大小雖未變化，但動量的方向有了改變。由圖可以看到，如果只考慮一級（）衍射圖，則電子被限制在一級最小的銜射角范國內，有。
根據動量的分解，可知電子在方向上動量分量的大小將被限制在的范圍內，即電子動量沿軸方向的分量的不確定范圍是，即，考慮到衍射次極大還要大一些，即，因此一般地有。換言之，測量粒子位置的精度越高（越小）測量粒子動量的精確度就越低（越大）。而加大縫寬，減弱衍射，使粒子穿過狹縫而不偏離單射方向的同時，必然放棄了粒子位置的確定性。存在兩種極端情況：如果粒子的位置完全確定（），那么粒子動量分量的數值就完全不確定（）；如果粒子動量分量完全確定（），那么粒子位置的坐標就完全不確定（）。這個關系不是對測量粒子位置和粒子動量分量的精確度加以約束，而是在同時測量兩者時對乘積施加限制。
能量和時間的不確定關系式
微觀粒子的行為在能量與時間上也體現出不確定關系。考慮對一個運動粒子能量進行測量所需的時間為，粒子的能量與動量的關系是，那么能量的不確定度與動量不確定度滿足，而時間粒子可能的位移正是這段時間粒子位置的不確定度，由，得。
波動力學表示
由于微觀粒子的波粒二象性，經典粒子運動狀態已不能用位置和動量來準確地描述，于是用波函數來描述波的行為，因此，馬克斯·玻恩（Born）對此提出物質波的統計性解釋，認為大量粒子在空間何處出現的空間分布卻服從一定的統計規律，將粒子的波動性和粒子性聯系起來。
德布羅意波代表的是一列無窮長的平面波，它有確定的能量和動量，但分布于全空間，即以它為波函數所描述的粒子處于空間坐標完全不確定的狀態。按經典力學的眼光看來，這當然是很難理解的。如果你對用這種方式描述粒子不喜歡的話，我們可以把它換成有限長的波列。把無限長的波列壓縮成有限長的波列，在波函數上乘一個在有限長范圍內不為0的包絡函數。這種包絡函數可以有不同形式，如方壘型、指數型、高斯型等，但它們有個共性，即做傅里葉分析后，頻譜寬度和波列長度的乘積都是一個數量級為1的常數。高斯型的函數有些優點，一是它的傅里葉變換式也是高斯函數，二是能夠作嚴格的微積分運算。因此，在gaussian型波包中來討論不確定度關系。
高斯型的波函數可寫成（1），式中歸一化因子，時間振蕩因子在這里無關緊要，略去不寫。將上式作傅里葉分解。按德布羅意關系，粒子的動量與波矢的關系為，故傅里葉變換也可用來表達：（2），其中（3）。其中，（2）式的物理意義是：有限長的波列（1）式可看作是波長為、振幅為的一系列單色波的疊加，所以它又叫做波包（wavepacket），計算給出和的方差：，于是我們得到。上式也就是沃納·卡爾·海森堡不確定度關系式。它在量子力學里具有普遍的意義。
其實，（1）式中的波函數與（2）式中的描述同一量子態的概率幅，只不過絕對值的平方給出粒子的概率按坐標的分布，而絕對值的平方則給出粒子的概率按動量的分布。二者屬于不同的表象（representation），前者是波函數的表象。在經典統計物理學中人們給出同時按兩者分布的分布函數[如玻耳茲曼-麥克斯韋分布]，在量子力學中這是不可能的，因為存在海森伯格不確定度關系，和不可能同時精確給出。
相關討論
不確定性原理的提出，更是引發了更多著名事件，例如阿爾伯特·愛因斯坦和奧格·玻爾在索爾維會議上的論戰、“薛定諤的貓”、EPR佯謬、暗戳戳拉偏架支持愛因斯坦的貝爾不等式、以及貝爾不等式被證實不成立。2022年的諾貝爾物理學獎頒給了三位實驗推翻貝爾不等式的科學家，就是這一系列的余波。
玻爾、愛因斯坦大討論
圍繞不確定性原理是否成立等量子力學的基本問題，愛因斯坦和以尼爾斯·玻爾為首的哥本哈根學派進行了激烈的辯論。在辯論中，不確定性原理經受住了考驗在1927年10月的第五屆索爾維會議上爾海森等人提出了波數的統計解釋一一不確定性原理和互補原理，系統地提出了量子力學的物理詮釋，并認為量子力學的理論是完備的。在1930年10月的第六屆索爾維會議上，愛因斯坦提出一個精心設計的被稱為“愛因斯坦光子箱”的理想實驗，他想以此來證明能量和時間的不確定度不滿足不確定性原理。愛因斯坦設想，此光子箱中充滿了輻射在上裝有一個用時鐘控制的快門，在箱子的快門打開發出一個光子的前后，可以分別測量箱子的質量。在此實驗中，釋放光子過程的時間間隔可以用時鐘機構精確測定，光子的能量可以通過測量箱子的質量而測得。因此，可以使時間和能量的不確定度的乘積趨于任意小的值，不確定性原理不再成立。
經過一夜的緊張思考，玻爾終于找出了愛因斯坦論證中的癥結所在他忘記了自己所創立的廣義相對論的位移效應。在第二天的發言中，玻爾利用廣義相對論證明了在稱量箱子質量的過程中，箱子在引力場中的位移會干擾控制光子發射的時鐘裝置的速率，從而導致一個誤差。他還定量地證明了此實驗中能量和時間的不確定度仍然滿足不確定性原理。從此，愛因斯坦承認了海森堡不確定性原理，承認了量子力學的理論在邏輯上是自洽的。
EPR樣謬
1935年，愛因斯坦、鮑里斯·波多爾斯基、納森·羅森共同發表了EPR佯謬，分析兩個相隔很遠粒子的量子糾纏現象。愛因斯坦發覺，測量其中一個粒子A，會同時改變另外一個粒子B的概率分布，但是，狹義相對論不允許信息的傳播速度超過光速，測量一個粒子A，不應該瞬時影響另外一個粒子B。這個佯謬促使奧格·玻爾對不確定性原理的認知做出很大的改變，他推斷不確定性并不是因直接測量動作而產生。從這思想實驗，愛因斯坦獲得寓意深遠的結論。他相信一種“自然基礎假定”：對于物理實在的完備描述必須能夠用定域數據來預測實驗結果，因此，這描述所蘊含的信息超過了不確定性原理（量子力學）的允許范圍，這意味著或許在完備描述里存在了一些定域隱變量，而當今量子力學里并不存在這些定域隱變量，他因此推斷量子力學并不完備。
1964年，約翰·斯圖爾特·貝爾對阿爾伯特·愛因斯坦的假定提出質疑。他認為可以嚴格檢驗這假定，因為，這假定意味著幾個不同實驗所測量獲得的概率必須滿足某種理論不等式。依照貝爾的提示，實驗者做了很多關于這佯謬的實驗，獲得的結果確認了量子力學的預測，因此似乎排除了定域隱變量的假定。但這不是故事的最后結局。雖然，仍可假定“非定域隱變量”給出了量子力學的預測。事實上，戴維·玻姆就提出了這么一種表述。對于大多數物理學家而言，這并不是一種令人滿意的詮釋。他們認為量子力學是正確的。因為經典直覺不能對應于物理實在，EPR佯謬只是一個佯謬。EPR佯謬的意義與到底采用哪一種詮釋有關。哥本哈根詮釋主張，測量這動作造成了瞬時的波函數坍縮。但是，這并不是瞬時的因果效應。測量這動作只涉及到對于物理系統的定量描述，并沒有涉及到整個物理系統。多世界詮釋主張，測量動作只會影響被測量粒子的量子態，因此定域性相互作用嚴格地被遵守。采用多世界詮釋，可以對貝爾提出的質疑給予解釋。
波普爾批評
卡爾·波普爾是以做為一位邏輯學者與形而上學實在論者所持有的態度來研究不確定性問題。他認為不應該將不確定性關系應用于單獨粒子，而是應該應用于粒子系綜，即很多以同樣方法制備出來的粒子。根據這種統計詮釋，實驗者可以精心設計測量運作，使得測量運作能夠滿足任意準確度，又不違反量子理論。
1934年，波普爾發表論文《評論不確定性關系》（《Critique of the Uncertainty Relations》），同年又發表著作《科學發現的邏輯》（《The Logic of Scientific Discovery》），其中，他給出統計詮釋的論點。1982年，在著作《量子理論與物理學分歧》里，他將自己的理論更加推進，他寫明：“無可置疑地，從量子理論的統計公式可以推導出海森伯格的公式。但是，很多量子理論者慣常性地錯誤詮釋了這些公式，他們認為這些公式可以詮釋為決定測量精確度的某種上限。”波普爾提出了一個證偽不確定性關系的實驗，但在與卡爾·馮·魏茨澤克、海森堡、阿爾伯特·愛因斯坦會談后，他又將初始版本收回。這實驗可能影響了后來EPR思想實驗的表述。1999年，波普爾實驗的一個版本成功付諸實現。
反駁實證
維也納科技大學（Vienna University of Technology）的長谷川司（Yuji Hasegawa）準教授與名古屋大學的小澤正直（Masanao Ozawa）教授等學者于2012年1月15日發表反駁海森堡不確定性原理的實證結果。他們用兩臺儀器分別測量中子的自旋角度并計算后，得到了比海森堡不確定性原理所示誤差更小的測量結果，此即證明海森堡不確定性原理所主張的測量極限是錯誤的。
信息熵不確定性原理
信息是一個近代的概念，也稱香農。1948年克勞德·香農（Shannan）在創立信息論時，找到的量來量度信源的不確定性，它的最初含義是隨機變量的不確定性度量。這個量與熱力學和統計力學中的熵數學形式和物理意義都相近，所以也稱為熵。對于給定狀態向量|ψ?的位置和動量分布，可以定義為：（1），（2），可以推出（3）。這種熵不確定性原理對海森堡——肯納德關系進行了改進，可以證明（獨立于量子理論）對于任何概率密度函數有，將其應用到不等式（3）可以得到，由此可以看出熵不確定關系中隱含著海森堡不確定性原理。
應用
不確定關系除了在理論上具有重大意義之外，還有廣泛的實際用途，特別是常常用來定性地估計體系的基本特征。在微觀世界，一些物理量的不確定量常常與這些物理量自身相當，根據這個特點，還可以利用不確定關系來估算一些物理量。例如，檢驗發生于超導系統或量子光學系統的“數字—相位不確定性原理”。對于不確定性原理的相關研究可以用來發展引力波干涉儀所需要的低噪聲科技，它在量子精密測量、量子通信等量子信息處理中也起到關鍵的作用。
此外，不確定性原理也可以應用于實驗測量粒子的位置和動量關系，在量子系統的探測器中，粒子束流由外場構成的源產生，然后被發送到實驗區，在探測器中這些粒子被一個事例一個事例地記錄下來。真實的粒子束流總是在空間和時間上有限地延展和持續，把一段波（波列或波包）視為一個長度有限的、周期確定的脈沖，利用能夠切斷波的尾巴的種特制快門，諧波分析可以給出該信號的頻譜，顯示像持續時間和頻率、空間尺度和動量這樣的一些互補量，從而得到相應的計算關系式。
參考資料 >
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One Thing Is Certain: Heisenberg's Uncertainty Principle Is Not Dead.SCI AM.2023-11-30
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發展量子通信為何要上天？.新華網.2023-12-02
Uncertainty Relations.American?Institute?of?Physics.2023-08-11
Niels Bohr's times : in physics, philosophy, and polity.INTERNET ARCHIVE.2023-11-22
Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen.ads.2023-11-22
沒了它，你連手機都玩不了.科普中國.2023-12-01
Are you certain, Mr. Heisenberg?.TU WIEN.2023-11-29