自然對數(shù)是對數(shù)（拉丁文：對數(shù)）的特殊底數(shù)形式，通常以常數(shù)為底數(shù)的對數(shù)稱為自然對數(shù)（natural logarithm），并把以e為底，N（N>0)的對數(shù)記為
1554年，德國數(shù)學家施蒂費爾（英文：M.Stifel）在《整數(shù)的算術》中指出幾何級數(shù)與算術級數(shù)各項的對應關系。后來，英國數(shù)學家納皮爾（英文：J.Napier）在研究的過程中發(fā)明了對數(shù)，創(chuàng)造“對數(shù)”術語（即“比的數(shù)”），并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數(shù)規(guī)律的描述》，給出了對數(shù)的相關定義和性質。隨著對數(shù)的廣泛流傳，英國數(shù)學家奧特雷德（英文W.Oughtred）發(fā)明了以常數(shù)為底的自然對數(shù)。而在對數(shù)發(fā)明的那個時期，并沒有明確的指數(shù)概念，一直到1727年，瑞士數(shù)學家歐拉（英文：Euler）在一篇未發(fā)表的手稿中才引入了作為自然對數(shù)的底，并在1770年出版的一部著作中對自然對數(shù)給出了明確的定義。
自然對數(shù)函數(shù)是底數(shù)為的對數(shù)函數(shù)，它是基本初等函數(shù)的一種，具有單調性、連續(xù)性等基本特性。利用分析學基礎知識，可對其進行求導函數(shù)、求積分、求級數(shù)等運算。該函數(shù)也有特殊的幾何意義。同時，自然對數(shù)函數(shù)也廣泛地應用于統(tǒng)計學、生物學、熱力學等實際問題解決中。
定義
對數(shù)
一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。通常，以為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)（common logarithm），并把記為
自然對數(shù)
在科技、經(jīng)濟以及社會生活中經(jīng)常使用以常數(shù)為底數(shù)的對數(shù)，稱為自然對數(shù)（natural 對數(shù)），并把記為
運算性質
根據(jù)對數(shù)的定義和對數(shù)的運算性質，如果，那么可以得出自然對數(shù)的運算性質：
發(fā)展歷史
對數(shù)
1554年，德國數(shù)學家施蒂費爾在《整數(shù)的算術》中指出幾何級數(shù)與算術級數(shù)各項的對應關系，并指出前一級數(shù)中兩數(shù)相乘（或除）的積（或商）的指數(shù)為后一級數(shù)中對應兩數(shù)之和（或差）。這給予了英國數(shù)學家約翰·納皮爾研究對數(shù)很大的啟示。納皮爾用盡一生來研究對數(shù)，于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數(shù)規(guī)律的描述》，給出了對數(shù)的相關定義和性質以及應用，并創(chuàng)造“對數(shù)”術語。在這本書中，納皮爾借助運動學，用幾何術語闡述了對數(shù)方法。
如圖，假定兩點以相同的初速度運動，點沿直線作勻速運動，；點沿線段(長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離。令與同時分別從出發(fā)，那么，定義為的對數(shù)。
數(shù)e的由來
在1690年，著名數(shù)學家戈特弗里德·萊布尼茨（英文：Leibniz）在寫給克里斯蒂安·惠更斯（英文：Huygens）的信中，數(shù)作為一個數(shù)學常數(shù)第一次被正式提出，把它記為。后來，數(shù)學家萊昂哈德·歐拉對常數(shù)作了深入研究，改記為常數(shù)，并在1748年出版的書《無窮小分析引論》中，把數(shù)定義為極限，并證明了
，他取了上述公式的20項進行計算，給出了數(shù)的前18位：
數(shù)的發(fā)現(xiàn)與廣泛使用，在數(shù)學的發(fā)展中起了重要作用。以為底的指數(shù)函數(shù)及以為底的對數(shù)函數(shù)成為了基本初等函數(shù)。
自然對數(shù)
英國數(shù)學家威廉·奧特雷德是以常數(shù)為底的自然對數(shù)的發(fā)明者。但在對數(shù)發(fā)明的那個時期還沒有明確的指數(shù)概念，一直到十八世紀，瑞士數(shù)學家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)的互逆關系。1727年，歐拉在一篇未發(fā)表的手稿中引入了作為自然對數(shù)的底，后來在1770年出版的一部著作中，首先使用次方來定義。歐拉指出，“對數(shù)源出于指數(shù)?！比欢鴮?shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這成為數(shù)學史上的珍聞。
自然對數(shù)函數(shù)
基本定義
一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)（logarithmic function），其中是自變量，定義域是當以常數(shù)為底時，函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，記為，并稱函數(shù)為的自然對數(shù)，其中是自變量，定義域是，值域是全體實數(shù)。
基本性質
反函數(shù)
設函數(shù)的定義城為，值城為。一般地，如果在上不僅單值而且單調，即與一一對應，那么可以把看作自變量，看作因變量，得到的新函數(shù)稱為的反函數(shù)。
根據(jù)自然對數(shù)的定義，已知可解得，那么自然對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為
導函數(shù)
函數(shù)極限的定義：函數(shù)在點的某個去心鄰域內有定義，即存在
如果存在實數(shù)，那么對于任意給定的，都可以找到一個正數(shù)，使得當時，都有成立。則稱當趨于時，函數(shù)在點以為極限，記為，或者。如果不存在具有上述性質的實數(shù)，則稱函數(shù)在點的極限不存在或沒有極限。
導函數(shù)的定義：設函數(shù)在點的某鄰域內有定義，當自變量在點有一增量時，函數(shù)相應地有增量，若當時，增量比的極限，即
存在，就稱該極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為
或
即，這時，也稱函數(shù)在點可導或導數(shù)存在。
自然對數(shù)函數(shù)的導函數(shù)：
對于對數(shù)函數(shù) ，給自變量以增量，則
，令，則有
當時，顯然有，從而
由于
那么有，即（自然對數(shù)的求導法則）
積分
因此，自然對數(shù)函數(shù)的不定積分可通過分部積分法計算得到：
定積分的定義：設函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)，用分點，把區(qū)間分成等分，則每個小區(qū)間的長度為
任取，作和
則存在常數(shù)，使得，稱函數(shù)在上可積。
是函數(shù)在區(qū)間上的定積分（definite 積分）。
根據(jù)定積分的定義，可得牛頓-萊布尼茨公式：
設函數(shù)在上連續(xù)，并且，則，也可寫成
于是，自然對數(shù)函數(shù)的定積分可表示為：
級數(shù)展開
泰勒級數(shù)的定義：若函數(shù)在點具有任意階偏導數(shù)
則冪級數(shù)，
稱為函數(shù)在處的泰勒級數(shù)。
自然對數(shù)的冪級數(shù)展開式
例如：將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。
因為
且
上式兩邊積分可得
幾何意義
面積表示
如圖，在笛卡兒坐標系中，曲線之下軸之上，直線和之間的面積，
當時，記作，并約定=
推論1
推論2
分析：任取一個正數(shù)，把全平面沿軸方向作一個均勻的、比例系數(shù)為的“壓縮"（當時實際上是"擴張"），又沿軸方向作比例系數(shù)為的“擴張"（當時實際上是“壓縮”）。
這樣，一個坐標為的點，變成了坐標為的點。由于，所以曲線的點仍變到此曲線上。在這種變換下，任一個兩邊與軸平行的矩形仍變成這樣的矩形，而且面積不變。設是這樣一個矩形，且
原來矩形的面積是，變換之后，矩形的面積是
，沒有變化。這是因為矩形的長縮小為原來的幾分之一，寬就增大到原來的幾倍。
利用無限細分、求和、取極限的面積計算原理可知，曲線之下的每塊面積在
的變換中不變。這時，點變?yōu)椋c變?yōu)椋優(yōu)?/p>
，故
對任意，有
至此，可以引入自然對數(shù)
相關證明
證明：由基本性質，取，則當時有
同乘可得
同取指數(shù)函數(shù)的值可得
令，左右兩邊的極限都是
由夾逼準則可得
證明完畢。
相關概念
自然對數(shù)的底e
常數(shù)是一個無理數(shù)，同時也是一個超越數(shù)，即不滿足有理數(shù)域上任何代數(shù)方程的數(shù)稱為超越數(shù)。在1737年數(shù)學家歐拉證明了不是有理數(shù)，后來在1873年法國數(shù)學家埃爾米特（Hermite C）應用微積分的方法，巧妙地證明了是一個超越數(shù)。
相關推廣
復分析中的自然對數(shù)
集合中的數(shù)，即形如的數(shù)叫做復數(shù)（complex number），
其中叫做虛數(shù)單位（imaginary unit），全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集（set of com-plex numbers）。復數(shù)通常用字母表示，即，這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式（algebraic form of complex number）。對于復數(shù)，都有，其中的與分別叫做復數(shù)的實部（real part）與虛部（imaginary part）。
對于任意，令
則稱如此定義的函數(shù)，為復指數(shù)函數(shù)。
復對數(shù)為復分析中復指數(shù)函數(shù)的“反函數(shù)”，記作
為導出其計算公式，設，則由得比較等式兩邊得
復對數(shù)不能定義在整個復平面上，并且它是多值函數(shù)。當取不同值時，可得它的不同的單值分支，并且每兩個單值分支都相差的整數(shù)倍。通常只討論所對應的單值分支，當時，稱為的主值。
對應于的輻角主值的對數(shù)值，稱為復數(shù)的對數(shù)的主值，記作。它是單值函數(shù)，即
從而有
式中，是正實數(shù)的對數(shù)，當時，，這說明主值對數(shù)是正實數(shù)對數(shù)在復數(shù)域內的推廣。
對應于每一個固定的，可以得到一個單值函數(shù)，稱為的一個分支。
例如，固定整數(shù)為時，對應的單值分支可表示為
反雙曲函數(shù)與自然對數(shù)
那么反雙曲函數(shù)可通過自然對數(shù)表示出來，表達式：
相關應用
統(tǒng)計學
在統(tǒng)計學上，常用參數(shù)來描述總體的特征，但總體參數(shù)常屬未知，而要進行參數(shù)估計，也就是用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)（包括其估計誤差）。對數(shù)似然函數(shù)可用于極大似然法來估計總體參數(shù)的點估計分析。
例如：設一個含量為的隨機樣本取自點二項分布的總體為
求參數(shù)的極大似然估計量。
解：由已知可得似然函數(shù)及其自然對數(shù)為
求上式的導數(shù)，并使之等于零，可得
解得，的極大似然估計量為
若總體的陽性率為，當試驗結果為陽性時，；為陰性時，
如果在次試驗中有次為陽性，則，于是。即的估計量為樣本率
生物學
在生物學上，自然對數(shù)可應用于測定草地生物學產(chǎn)量的植物體凋落物量的計算。草地的生物學產(chǎn)量是指單位面積的草地，在一定時間內積累的地上、地下或全群落（地上+地下）的凈初級產(chǎn)量，也稱為凈初級生產(chǎn)力。凋落物量的測定凋落物是死亡并脫落到地面的植物體重量。測定凋落物量有專門的收集器，將其在到達地面前截留并保存下來，在樣方中直接收集凋落物?？紤]凋落物在草地上放置過久因分解而造成的損失（在濕熱條件下這種損失很大），因此需要測定凋落物的平均消失率以校正凋落物量。
凋落物平均消失率的測定計算公式：
式中：是時袋中凋落物的干重；分別是間隔期的開始日期和結束日期；是自然對數(shù)。
熱力學
一個不受外界影響的孤立系統(tǒng)，內部自動發(fā)生的過程總是向著使該系統(tǒng)的熱力學概率增加的方向進行，可用熱力學概率來判定過程進行的方向。但熱力學概率是宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)數(shù)目，在計算上很麻煩，為此，引入與熱力學概率等價的宏觀量一一，單位是。
把熱力學概率取自然對數(shù)，再乘以玻爾茲曼常數(shù)，定義為熵，用表示。即 ，稱為玻爾茲曼熵公式。
熵是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)，反映系統(tǒng)狀態(tài)趨于平衡態(tài)的程度。系統(tǒng)越接近平衡態(tài)，所包含的微觀狀態(tài)數(shù)越多，熱力學概率越大，熵也越大。當系統(tǒng)狀態(tài)改變時，熵也會隨之而變。在不可逆膨脹過程，通常系統(tǒng)在變化過程中對外做功少于從外界吸收的熱量，內能就會增加，溫度會升高，分子的無規(guī)則運動加劇，從微觀來看就是系統(tǒng)混亂程度增加，熵會增大，所以熵變與系統(tǒng)的吸熱和升溫有直接的關系。
參考資料 >