無理數（Irrational number）是實數中不能表示為整數或分數的數。若將無理數寫成小數形式，則小數點后將有無限位且沒有循環節，故也稱為無限不循環小數。如在計算2的算術平方根時，開方的過程可以無限繼續下去，得到的小數1.41421···就不是無限循環小數。
無理數最早是由畢達哥拉斯學派成員希伯斯發現的。他當正五邊形的邊長為1時，對角線既不是整數也不是分數，于是斷言正五邊形的對角線和邊長的比，是人們還沒有認識的新數。希伯索斯的這一發現，動搖了畢達哥拉斯學派的基礎，引起了數學界的一度混亂，出現了數學史上“第一次危機”，即“無理數危機”。1872年，德國數學家null從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，“無理數危機”得以結束。
無理數可以用反證法、級數及多項式相關定理證明。無理數集具有稠密性。與無理數相關的概念有無限簡單連分數和超越數。常見的無理數包括黃金分割比例、圓周率與自然對數的底數，它們在建筑、物理、概率論等領域得到廣泛應用。無理數也是數軸的重要組成部分，也可以運用到在具有幾何形狀物體及運動著的物體的軌跡的計算方面；在機械設計中，為了確定一個有關的量，僅用整數和有理數往往還是不夠的，而必須用到近似的無理數。
定義
有理數
凡是可用表示（、是整數，）的數稱為有理數。它可以用有限小數或無限循環小數表示，即任何一個有理數，都可以改用小數表示出來：
例如，，或者。
反過來，任何一個有限小數（包括小數部分為0的整數）或者無限循環小數，也都可以把它化成的形式。
例如，；；。
無理數
無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進制下的無限不循環小數，例如圓周率π、√2等。
人們把這種無限不循環小數或者不能用分數進行表示的數叫做無理數。
例如：是一個無理數。除此之外，像、、、等也都是無理數。圓周率是無理數。它是圓的周長與直徑的比值，其值約為 3.1415926。
但是開方得到的數并不都是無理數，因為有些數是開方開得盡的數，例如 ，，等等，這些數都是有理數。而無理數并不都是從開方得到的，例如上面所說的圓周率π。所以開方開不盡的數都是無理數，而無理數就不一定都是開方開不盡的數。
簡史
畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前580-前500年），古希臘哲學家和數學家，他認為：“任何兩條線段之比，都可以用兩個整數的比來表示?！眱蓚€整數的比實際上包括了整數和分數。因此，畢達哥拉斯認為，世界上只存在整數和分數，除此以外，沒有別的什么數了?？墒遣痪镁统霈F了一個問題，當一個正方形的邊長是1的時候，他們不知道對角線的長m是整數還是分數。根據勾股定理，畢達哥拉斯和他的門徒一直找不出這個數。
畢達哥拉斯學派有個成員叫希伯斯（Hippasus），對正方形對角線問題也很感興趣，并花費了很多時間去鉆研這個問題。畢達哥拉斯研究的是正方形的對角線和邊長的比，而希伯索斯發現當正方形的邊長為1時，對角線既不是整數也不是分數，于是他斷言正方形的對角線和邊長的比，是人們還沒有認識的新數。
希伯索斯從幾何上發現無理數的存在，動搖了畢達哥拉斯學派的基礎，引起了數學界的一度混亂，出現了數學史上“第一次危機”，即“無理數危機”。畢達哥拉斯下令封鎖希伯斯的發現，最后希伯索斯被畢達哥拉斯門徒扔進了大海。
隨后相當長的一段歷史時期，人們只能認識經驗所及的自然數以及由它所衍生的有理數。15世紀列奧納多·達·芬奇（Leonardo da vinci）把人們還沒認識但理應存在的數稱為“無可理喻的數”。17世紀天文學家約翰尼斯·開普勒（Keper J）把這些數稱為“不可名狀的數”。到了18世紀，為了構建微積分的理論基礎，人們開始重視無理數的研究。
由無理數引發的數學危機一直延續到了19世紀的下半葉，1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數：非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并且不會循環。戴德金把實數理論建立在了嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，持續了兩千多年的數學史上第一次危機也得以結束。
1891年，阿道夫·胡爾維茨（J.Hurwitz）利用法理（Farey）數列，而不是利用連分數，證明了他的關于無理數的有理逼近的定理。1903年，波萊爾（E.Borel）指出，無理數的連分數的每三個相鄰的漸近分數中，至少有一個滿足胡爾維茨定理中的條件。1851年，約瑟夫·劉維爾（J.Liouville）構造了第一批可以給出證明的超越數。1873年，埃爾米特（C.Hermite）證明了數的超越性，隨后1882年，馮·林德曼（F.Lindemann）則證明了數的超越性。
證明
反證法
例如，求證是無理數（2不是完全平方數，且不存在大于1的平方因數）。
證明：用反證法證明，假設是有理數，因此存在兩個整數和使（，b互質），把等式兩邊分別取平方得到：
所以，
因為是偶數（2是素因子），所以必須也是偶數。是偶數意味著它可以被2整除，即仍然是一個整數。
假設，即，將上面等式代入，得到：
所以，
同理用之前證明為偶數的方法證明也是偶數。從上面等式中可以看出是某個數的兩倍，所以它是一個偶數，即也是一個偶數。
綜上，都為偶數，其與互質相矛盾，所以原假設不成立，即不能被寫成分數形式，因此它是一個無理數。
用級數證明
例如，若，則數e是無理數。
證明：首先將證明是無理數，的級數是交錯級數，它各項的絕對值逐步地減小，在這樣的交錯級數中，到第n項為止所形成的誤差與忽略掉的第一項同號，而誤差的絕對值小于忽略掉的第一項的絕對值，于是，如果，則有不等式
，
由此對任何整數可得
，
現在永遠是整數。如果是有理數，則可以取到充分大的使得也是整數。這時由上述不等式可知這兩個整數的差將是介于0和1/2之間的數，而這是不可能的，這說明不可能是有理數，從而不可能是有理數。
用多項式相關定理證明
整系數多項式有理數根定理
整系數多項式有理數根定理為：設方程
的每一個系數都是整數，并且，這種方程稱作整數系方程。如果它有有理數根（其中為互質的整數），那么和滿足：
利用定理證明無理數
例如，證明是無理數。
證明：令，去掉根號，并整理得：
這是一個整數系方程，是它的一個根。
根據整系數多項式有理數根定理，這方程的有理根只可能是±1，±23，經檢驗它們都不滿足方程，說明方程沒有有理根，即是無理數。
性質
任何兩個不相等的無理數之間總存在一個無理數。若是兩個不相等的無理數，不妨設，則仍是無理數，且。這種性質稱為無理數的稠密性。
無理數的有理逼近
通常計算一個無理數（以為例），通過開方可得到一串近似值1，1.4，1.41，1.414，1.4142···，其精確度越來越高，，即近似值與（的精確值）之間的誤差越來越小，這就是用一串有理數來逼近無理數的過程。
設是一個實數，考慮所有分母為（正整數）的有理數，那么必位于兩個分母為的有理數之間，即存在整數，使得。
取是兩個端點，中離最近的一個，那么這個數與的距離不會超過兩端點間距離的一半，于是得到：
定理1（狄利克雷逼近定理）
設是一個實數，是任意給定的實數，那么存在整數滿足：
證明：先設是整數，將等分為個子區間：
由抽屜原理（將n+1個物品放入n個抽屜，則至少有一個抽屜中的物品數不少于兩個），個實數中至少有兩個落在同一個子區間中，這兩個數可能是和，其中且互異；也可能是和，其中。因為，所以存在整數及整數，使得
（是子區間的長）
不妨認為，令即得和。若不是整數，同理可證。
定理2
實數是無理數，當且僅當不等式成立時，有無窮多對（互質）整數解。
定理3（實數無理性的判別準則）
實數是無理數，當且僅當對于每個，可找到整數和，滿足不等式。
證明：如果是無理數，那么由定理2可知，存在無窮多個分數，嚴格單調上升，且滿足（），有
對于每個給定的，可取，使得，由得
因此，滿足。
推論1
設是一個實數，如果存在常數和實數，以及無窮有理數列，滿足：
那么是無理數。
推論2
設是一個實數，如果存在無窮多對整數，使得當時，，而且，那么是無理數。
證明：設是有理數，d是它的分母，那么當時，是非零整數，但同時，這不可能。
相關概念
無限簡單連分數
定義
分數（是整數，是正整數），稱為有限簡單連分數，簡稱有限連分數，常記為，若，則稱之為無限簡單連分數。
與無理數的關系
定理：任意無理數都可表示成無限簡單連分數。
證明：設是無理數，則由，可得：
從而，，且，，其中是的漸進分數。
下證，由于
所以，，即，
又，所以任意無理數都可表示成無限簡單連分數。
超越數
定義
無理數可以進一步分為代數數和超越數。超越數定義：不是代數數的數，稱為超越數。
定理1:：超越數是存在的。
證明：用表示所有的次數為系數絕對值不超過的整數系多項式的零點的集合，用表示所有代數數的集合，則
。
由于每個是有限集合，所以是一個可數集合。但是，全體復數的集合是不可數集合，因此，超越數是存在的。
一些無理數也是超越數
無理數集中，有些數也是超越數，但是需滿足這樣的條件：設是實無理數，若存在常數，有理數列，以及遞增的實數列，使得：
對于所有的成立，則是超越數。
對于所有的成立，但是由于，當充分大時，這與矛盾，所以不能是代數數，證畢。
應用
數學領域
無理數是數軸的重要組成部分：坐標幾何或解析幾何的基礎都是數軸的建立，數軸上除了所有的有理數點外，還有空隙，這些空隙需要無理數填滿。
無理數可以運用到在具有幾何形狀物體及運動著的物體的軌跡的計算方面：隨著人類科技活動的深入，特別是天文觀測手段提高之后，大量科學數據需要更為精確、合理的分析與計算。
機械設計領域
在機械設計中，為了確定一個有關的量，僅用整數和有理數往往還是不夠的，而必須用到近似的無理數。無理數必須用無限不循環小數來精確表示，但在實際計算中，是用有限個有效數字近似表示的。例如2的平方根可以用無限不循環小數1.414213···精確表示，而在應用中則用有限個數字表示，如1.414。另外一個例子：梁的計算撓度通常是一個無理數，常用有限個有效數字近似表示，如0.0376in。然而，如果某一個規定的量用某個確定的數字表示，例如尺寸2.3875in，那么就現實情況看可以認為這是一個已經近似了的無理數。
建筑領域
黃金分割比例定義
黃金分割的比例是一個無理數，?通常用希臘字母φ來表示，大約等于1.618。
設一個符合黃金分割的長方形，它的長度是x，寬度是y。如果用剪刀從中剪掉一個邊長為y 的正方形（即圖中灰色的部分），剩下的長方形長寬之比依然會符合黃金分割。同時還可以繼續剪掉一個正方形（圖中黑色的部分），剩下的長方形（圖中白色的部分）長寬之比還是會符合黃金分割。即如果這樣不斷地剪下去，剩余部分的長寬比都是符合黃金分割的。
黃金分割比例應用
在建筑設計中，建筑師把黃金分割比例奉為重要的形式美法則。如哥特式城堡建筑就采用了黃金分割比例。巴黎圣母院外立面外接黃金分割比例的矩形，矩形中的主體正方形包含了外立面的主要部分，而豎向黃金分割矩形則含有兩個塔樓。輔助線就是兩條在天窗上方交叉的對角線，它們貫穿了建筑外立面帶有裝飾變化的主要結構的額對角。
物理領域
在物理計算中，圓周率()作為物理常數運用到物理計算中，如物理單位平面角秒的換算：
概率論
自然對數的底數e在概率論中的應用：根據概率論原理，正態分布曲線的數學表達式為：
參考資料 >
無理數.術語在線.2023-12-05