有限集合指只有有限個元素的集合。有限集合和集合一樣有子集、冪集等概念以及交、并、差、補等運算。對于有限集合，稱的元素個數為集合的基數（cardinal）或階（order）。
19世紀初期，數學界對數學分析的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發(fā)表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在，建立了集合等價的概念，還注意到無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）在1874年提出了集合的定義。從1878年開始，格奧爾格·康托爾把勢（基數）定義為等勢集合的共同屬性，并用表示自然數集的勢，用表示實數集的勢并提出了著名的連續(xù)統(tǒng)假設。
有限集合的運算具有交換律、結合律、分配律等性質。此外還有與有限集合相關定理，如任何有限集合都不與其真子集等勢。與有限集合相關的概念有無限集合、可數無限集合、可數集合、不可數集合等。
有限集合可用在數學、智能電網、計算機等領域，如有限集合經常用于描述隨機試驗的樣本空間，也可用于無損壓縮中符號有限集合的編碼。
定義
集合
集合（set）也稱集，是一個不加定義的原始概念。通俗地說，集合是將一些對象放在一起作為一個整體來考慮，組成集合的對象稱為這個集合的元素或簡稱元。若是集合的元素，則稱屬于，記為。若不是的元素，記為。當某一集合的元素為時，可寫作，稱集合由元素（對象）聚合而成。由所有具有某一性質的對象聚合而成的集合，通常記為或。
有限集合
定義1
只有有限個元素的集合叫有限集。
定義2
對于集合，當且僅當存在一個自然數，使得，稱A為有限集，否則（即不存在這樣的自然數）說是無窮集。
空集
空集指沒有任何元素的集合，記為。
子集
若，均有，則稱是的子集，包含，包含于，記為。若還有，則稱是的真子集，記為。
冪集
已知集合，的所有子集組成的集合稱為的冪集，記為或。
概念
等勢
對于集合、，當且僅當存在到上的一個雙射（一一對應時），說等勢于，記作。
基數
定義1
已知集合、，若存在雙射，則稱、是等勢的或有相同的基數。記作或或。
定義2
對于有限集合，稱的元素個數為集合的基數（cardinal）或階（order），記為，或。除此之外約定。對于無限集合，形式地記。
簡史
集合的思想可以追溯到古希臘的原子論學派，他們把直線看做一些原子的排列。19世紀初期，數學界對數學分析的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發(fā)表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在，建立了集合等價的概念，還注意到無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。
1870年格奧爾格·康托爾應朋友海涅邀請開始研究函數的三角級數表示的唯一性問題。他在1871年至1872年的論文中明確提出了點集、點集的導集、導集的導集等由實數構成的更復雜的集合。1873年12月7日，康托爾在給戴德金中的信中說，他已成功證明了實數集是不可數的。康托爾在1874年提出了集合的定義：“一個集合就是我們的直觀或我們的思想上那些確定的、能區(qū)分的對象（它們稱為集合的元素）匯集在一起，作為一個整體來考慮的結果。”這里用匯集來定義集合是同義語反復。之后人們認識到集合是一個原始的概念，不能用其他概念來定義，而只能加以描述或說明。在集合概念產生后，進一步定義了集合的子集、交集。并集、映射等系列概念。
從1878年開始，格奧爾格·康托爾把勢（基數）定義為等勢集合的共同屬性，并用表示自然數集的勢，用表示實數集的勢并提出了著名的連續(xù)統(tǒng)假設。1883年，他證明了康托爾定理：任何一個集合的勢都小于它的冪集的勢。從1883年起，康托爾研究有序集，利用良序概念建立序數理論，把數學歸納法推廣為更一般的超限歸納法。1895年，在康托爾發(fā)表的題為《關于超窮集合論的基礎》的論文中，給出了超限基數和超限序數的定義，引進了符號，并把它們按序型的大小排成序列，定義了基數和序數的加法、乘法和乘方運算，討論了各自的算術理論，即集合論的基數理論和序數理論。
集合的運算
交集、并集
已知集合、，定義交、并分別為
差集、補集
已知集合、，定義差集為
性質
在全集下，，集合的交、并、補具有如下性質：
（1）;（交換律）
（2）;（結合律）
（3）;（冪等律）
（4）;（吸收律）
（5）;（分配律）
（6）；（零律）
（7）;（幺律）
（8）;（補律）
（9）（逆律）
（10）；（De Morgan律）
相關定理
（1）如果是一個有限集合，那么也是有限集合。
（2）如果是一個有限集合，也是一個有限集合，那么 也是有限集合。
（3）如果是一個有限集合，而且它的每一個元素也是有限集合，那么是有限集合。
（4）如果是一個有限集合，，那么是一個有限集合。
（5）如果是一個有限集合，是定義在上的一個函數，那么也是有限的。
（6）如果和是兩個非空有限集合，那么也是有限集合。
（7）如果和是兩個非空有限集合，那么也是有限集合。
（9）任何有限集合都不與其真子集等勢。
相關概念
無限集合
若集合不是有限的，稱集合是無限的或者無窮的。
可數無限集合
若集合與自然數集等勢，稱集合是可數無限集合。
可數集合
若集合是有限的或是可數無限的，稱集合是可數的。
不可數集合
若集合既非有限也非無窮可數，稱集合是不可數的。
應用
數學
概率論與統(tǒng)計學
在概率論和統(tǒng)計學中，有限集合經常用于描述隨機試驗的樣本空間。例如，一枚硬幣的正反面可以用一個有限集合來表示，擲子的結果可以用一個有限集合來表示。有限集合的概念在描述隨機事件的可能結果和概率分布時較為有用。
離散數學
在離散數學中，有限集合的概念被廣泛應用于集合論、圖論、組合數學等領域。例如，在組合數學中，有限集合的排列和組合問題是經典的研究對象，它們與排列組合、概率等問題密切相關。
智能電網
有限集合可應用于智能電網領域。隨著智能電網、分布式發(fā)電技術及高壓直流輸電技術的迅速發(fā)展，三相電壓型并網逆變器(GC—VSI)得到廣泛應用 ，其控制技術也成為研究熱點。針對三相電壓型并網逆變器(GC—VSI)，為了消除系統(tǒng)控制延時對控制性能的影響 ，一種基于有限集合的功率預測優(yōu)化控制策略誕生，該策略提出了兩步預測的方法進行補償。實驗結果表明，此方法能減小逆變器功率波動，降低并網電流的總諧波畸變率(THD)，具有快速的動態(tài)性能，同時對電感參數的變化具有較強魯棒性。
計算機
有限集合可應用于數據壓縮中。數據壓縮是表示層要實現(xiàn)的一項重要服務。數據壓縮的方法可以分為有損壓縮和無損壓縮。無損壓縮包括符號有限集合編碼及替換，依賴于符號使用的相對頻度，以及符號出現(xiàn)的上下文的編碼3類。在實際應用中，報文是從有限集合中引用的。絕大多數內容是由英文短語組成的，都可以用編碼來表示。例如，成品庫里的物品名稱目錄，一般而言，名稱平均長度為10個字符，占80個比特。如果對庫內的物品進行編號，用編號代替物品名稱便可以大大壓縮物品名稱所占的比特數，如有1萬件物品，用14位二進制編碼就能夠表示它們14 位要比80位大大地壓縮了。另一方面，在本地終端事先存放好物品目錄表，線路上就可以只傳送二進制編碼壓縮后的信息，到達目的終端后，再根據目錄表把具體物品名稱替換出來就可以了。
參考資料 >