冪集（Power Set）是原集合中所有子集構成的集族。設A是任意集合，由A的所有子集組成的集合，稱為集合A的冪集，記作2^A或P(A),即 P(A)={B|B?A}。
冪集的概念起源于集合論，它是集合論中的一個重要概念，用于描述集合的所有子集。19世紀初，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發表著作《無窮悖論》。1870年格奧爾格·康托爾應朋友海涅邀請開始研究函數的三角級數表示的唯一性問題。康托爾在1874年提出了集合的定義，在集合概念產生后，進一步定義了集合的子集、交集、并集、冪集等系列概念。
冪集被廣泛應用于概率論中，通過對冪集中的子集進行概率計算，可以得到不同事件發生的概率。利用“冪集”概念可以建立關于無窮集的數學理論。其用于建造監測水質預測模型，能夠有效融合專家知識與定量數據，并能在描述多種不確定性的同時，將傳統的辨識框架擴展到冪集，使其能夠很好地表達無知性從而提高水質預測精度。
定義
設是一個集合，的所有子集的全體所組成的集合叫做的冪集，并記作
或。
例如，若中，因的子集只有，故以為元素所組成的集合，即的冪集。若，則的子集有和本身，故。
若，則的子集有
故。
簡史
冪集的概念起源于集合論，它是集合論中的一個重要概念，用于描述集合的所有子集。集合的思想可以追溯到古希臘的原子論學派，他們把直線看成一些原子的排列。19世紀初，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在，建立了集合等價的概念，還注意到無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。1870年格奧爾格·康托爾應朋友海涅邀請開始研究函數的三角級數表示的唯一性問題。他在1871年至1872年的論文中逐步把三角級數展開的唯一性條件推廣到允許例外值成為無窮集的情況，把函數間斷點問題的研究過渡到對點集本身的研究，明確提出了點集、點集的導集、導集的導集等由實數構成的更復雜的集合。1873年12月7日，康托爾在給戴德金中的信中說，他已成功證明了實數集是不可數的。康托爾在1874年提出了集合的定義：“一個集合就是我們的直觀或我們的思想上那些確定的、能區分的對象（它們稱為集合的元素）匯集在一起，作為一個整體來考慮的結果。”這里用匯集來定義集合是同義語反復。之后人們認識到集合是一個原始的概念，不能用其他概念來定義，而只能加以描述或說明。在集合概念產生后，進一步定義了集合的子集、交集。并集、冪集等系列概念。
性質
性質一：，即是非空的。
性質二：，即是的元素。
性質三：如果有限集合有個元素，則其冪集有個元素。
性質四：康托爾定理，任一集合的基數，小于這一集合的冪集合的基數。
性質五:設是一個有限集，則里不同元素的個數叫做的基數，并記為。
相關推論
推論一
已知集合，則有
證明：，都有，而
所以有。
推論二
設，若。
證明:對的任一元素，因是的子集，即，即是的子集，于是由冪集的定義，。
應用
數學
冪集在概率論中有重要的應用。在概率論中，樣本空間是指一個隨機試驗的所有可能結果的集合，而樣本空間的冪集就是這個隨機試驗的所有可能事件的集合。通過對冪集中的子集進行概率計算，可以得到不同事件發生的概率。
利用“冪集”概念可以建立關于無窮集的數學理論。在格奧爾格·康托爾那里，一個集合的“冪集”就是其所有子集的集合。任何非空集合的冪集都比其本身大，這個結論對有窮集是顯然的，且對無窮集也成立。如果是一個無窮集，則的冪集的基數總是比本身的基數大。也就是說，任何集合都不能與其冪集之間建立一一對應。康托爾由冪集概念得出，存在無窮多的大小不同的無窮集，并引入“超窮數”去表示無窮集的基數。他將有窮數推廣到超窮數，這是對數系的一種新擴張，他還研究了超窮算術運算的可能性，并成功地將加法和乘法推廣到我們現在所謂的基數運算(但不能對超窮數做減法和除法運算)。
在集合加入代數運算，使集合成為一種代數結構，并考慮使之作成半群、群的主要內容。緊接著，映射和運算向冪集提升，然后借助這種思想，將一般的向量空間的冪集提升為一個新的半群、群，并使它能夠成為一個全新的線性空間。最后，將線性空間的冪集提升思想應用到群表示理論中，給出了由已知群表示派生出新的群表示的新方法 。
網絡技術與虛擬模型
Apriori 算法改進一直是數據挖掘的一個重要研究方向，近年來，許多學者相繼提出了基于向量積、布爾向量、最大頻繁項集等方法的改進算法。但是，面對海量數據時，這些算法就需要大量時間來掃描數據庫，不利于頻繁項集的快速尋找。目前將在云計算環境中，將Apriori 算法與MapReduce模型結合，對海量數據進行分布式并行處理，最終產生符合要求的頻繁項集，從而提高了數據挖掘效率。通過分析 Apriori 算法的不足，可以引入MapRe-duce 模型，改造了Map 和 Reduce 函數，結合冪集的二進制編碼方法，提出了云環境下基于二進制編碼的Apriori 改進算法，一定程度上提高了海量數據的頻繁項集挖掘效率，為關聯規則挖掘提供了新的研究方向。
由于目前水質預測中未考慮局部無知性這一問題，所以提出一種基于冪集置信規則庫(Belief rule base with power set，PBRB)的水質預測模型。該模型能夠有效融合專家知識與定量數據，并能在描述多種不確定性的同時，將傳統的辨識框架擴展到冪集，使其能夠很好地表達無知性從而提高水質預測精度。此外，利用協方差矩陣自適應進化策略(Covariance matrix adaptive evolution strategy，CMA-ES)算法可以對PBRB模型進行優化。
參考資料 >