集合論（英文：set theory）是基礎性的數學分支。是研究一般集合的大小、結構及集合之間的關系、運算，討論集合的計數、排序的方法以及建立各種無窮集的理論。
與集合論有關的很多概念是早已有的，但集合論的正式創立卻是起因于對無窮集討論的數學內部需要。集合的思想可以追溯至古希臘的原子論學派，在中世紀，已有人注意到如果從兩個同心圓的中心出發作射線，那么這些射線就在兩個圓周上的點之間建立了一一對應，然而兩圓周的長度是不相等的。19世紀初期，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾（波爾扎諾）肯定實無窮的存在，并提出了集合等價的概念。1874年，格奧爾格·康托爾（Cantor）提出集合的定義，自此集合論這個新的數學學科誕生。后又經康托爾的不斷研究，逐漸定義基數和序數的加法、乘法及乘方運算，討論了各自的算術理論，即集合論的基數理論和序數理論。至此，康托爾完成了集合論的基本內容。之后，又因為集合論本身存在的悖論，促進了集合論公理系統的出現。集合論在所謂的現代數學的發展中起過不小的作用，事實上，可以說是現代數學的各個分支的基礎。
集合論的重要概念有集合、序數、基數、映射等。且它的基本概念已滲透到數學的所有領域，例如群、環、拓撲空間等。集合論的知識在金融學，醫學、地質學、信息技術等領域都有廣泛使用，例如應用集合方法討論查新中的科技要素新穎性分布情況，可以明確報告的對比分析和結論表述的重點，提高報告的邏輯性和可讀性。
歷史沿革
與集合理論有關的很多概念是早已有的，但集合論的正式創立卻是起因于對無窮集討論的數學內部需要。集合論的發展經歷了兩個較明顯的階段：一般將主要在集合論公理出現以前，由格奧爾格·康托爾等數學家建立的集合論的基本理論稱為古典集合論或康托爾集合論；而對于現代從集合論公理出發，主要研究集合論的基礎問題的有關內容，則稱為公理集合論或樸素集合論。
早期研究
早在集合論創立之前兩千多年，數學家和哲學家們就已經接觸到了大量有關無窮的問題，古希臘的學者最先注意并考察了它們。他們把直線看成一些原子的排列。在中世紀，已有人注意到如果從兩個同心圓的中心出發作射線，那么這些射線就在兩個圓周上的點之間建立了一一對應，然而兩圓周的長度是不相等的。到了16世紀，伽利略·伽利萊（Galileo Galilei）發現正整數可以同正整數的平方構成一一對應。當時無窮集合的這一性質被看成與“整體大于部分”這一公理相悖，后被稱為伽利略悖論。
正式誕生
19世紀初期，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。此時期，在傅里葉（Fourier）、伯恩哈德·黎曼（Riemann）等人的研究中，已出現由具有某些共同性質的點或函數構成的集合，但這種思想并未得到進一步發展。直到1851年，波爾查諾在其著作《無窮悖論》中，肯定了實無窮的存在，并提出了集合等價的概念。此外，波爾查諾還注意到無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。1870年海涅（1821－1881）證明：當f（x）連續，且它的三角級數展開式一致收斂時，展開式是唯一的。1870年，康托爾開始研究函數的三角級數表示的惟一性問題，他用兩年的時間將三角級數展開的惟一性條件推廣到允許例外值成為無窮集的情況。康托爾把函數間斷點問題的研究過渡到對點集本身的研究，首先定義了點集的極限點，然后明確提出了點集的導集、導集的導集等有關重要概念（或由實數構成的復雜集合）。1873年12月7日，康托爾寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的，也就是不能同正整數的“集體”一一對應起來，這一天應該看成是集合論的誕生日。
1874年，康托爾發表論文《論所有實代數數Z的一個性質》，在此論文中，康托爾提出了對角線方法。同年，康托爾提出集合的定義：“一個集合就是我們的直觀或我們的思想上那些確定的、能區分的對象（它們稱為集合的元素）匯集在一起，作為一個整體來考慮的結果。”此后，學界認識到集合是一個原始的概念，而不能用其他概念來定義，而只能加以描述或說明。這標志著集合首次成了明確獨立的數學研究對象，集合論這個新的數學學科從此誕生。
后續發展
自集合的概念出現后，可以進一步定義集合的子集、冪集、交集、并集、笛卡兒積、關系、映射等一系列概念。并由此發展了集合的各種理論。格奧爾格·康托爾除了提出集合的定義外，還成功使用一一對應的方法來比較無窮集合的大小。揭示了無窮集合與有窮集合本質的區別：部分可以等價于全體，他斷言無窮集合也是客觀上的實體。1878年開始，康托爾把勢（基數）定義為等勢集合的共同屬性，并給出了自然數集的勢的符號以及實數集的勢的符號。同時，康托爾提出了連續統假設。1883年，康托爾證明了康托爾定理，即任何一個集合的勢都小于它的冪集的勢，這揭示了“無窮”有無窮多個不同的層次。從1883年起，格奧爾格·康托爾研究有序集，利用良序概念建立序數理論，把數學歸納法推廣為更一般的超限歸納法。1895年和1897年，康托爾發表題為《關于超窮集合論的基礎》的論文，給出了超限基數和超限序數的定義，引進了符號，并把它們按序型的大小排列成序列，定義了基數和序數的加法、乘法及乘方運算，討論了各自的算術理論，即集合論的基數理論和序數理論。至此，康托爾完成了集合論的基本內容。
矛盾出現
在集合論逐漸發展時，集合論內部接連出現了矛盾，例如1897年的布拉利·福爾蒂悖論，1899年的康托爾悖論以及1902年的羅素悖論。經過研究發現產生悖論的原因首先在于集合的概念過于一般，把無論“多么大的總體”都當作集合必將導致種種矛盾；其次，使用一些含糊的自然語言從而導致概念不確切也是引起矛盾的原因之一。因此，必須用公理化方法對集合的概念予以合理的限制，并且要有一套簡明、確切的形式語言來表達這些公理。這些悖論給集合論帶來的困難，促進了數學家用公理化方法和數理邏輯工具去重建集合論。
集合論公理化
1908年，數學恩斯特·策梅洛（Zermelo,E.F.F.）給出了第一個公理系統，后經過米里馬諾夫（Mirimanov,D.）、弗倫克爾（Fraenkel,A.A.）的補充，最后經約翰·馮·諾依曼（von Neumann,J.）將這些公理形式化，得到現今通用的策梅洛-弗蘭克爾公理系統，簡稱ZF系統。該系統可以導出格奧爾格·康托爾集合論里幾乎所有結果，并排除已知的悖論。另外，還有兩個集合論公理系統：1925年至1940年形成的馮·諾伊曼-貝爾奈斯-哥德爾系統與1955提出的凱萊-莫爾斯系統。目前普遍采用的是ZFC系統，即在ZF系統中添加選擇公理。20世紀以來，集合論得到了進一步發展。它以古典集合論中遺留的兩個主要問題連續統假設（CH）和選擇公理（AC）作為主要研究對象，并且獲得了突破性的進展。1940年，庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）證明了選擇公理和連續統假設相對于ZF系統的相容性。1963年，沃爾特·科恩（Cohen,P.J.）用他發明的力迫法證明了選擇公理和連續統假設相對于ZF系統的獨立性。上述連續統假設的不可判定性意味著可以同時并存兩種集合論（CH的和CH不成立的），恰如歐氏幾何與非歐幾里得幾何那樣。這是由于形式系統方法有局限性所導致的。集合論在所謂的現代數學的發展中起過不小的作用，事實上，可以說是現代數學的各個分支的基礎。
作用及影響
集合論在數學中占有獨特的地位。因其他學科對集合論的相容性，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。按現代數學觀點，數學各分支的研究對象，或者本身是具有某些特定結構的集合，如群、環、拓撲空間；或者是可以通過集合來定義的東西，如自然數、實數、函數。伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell,B.A.W.）和阿爾弗雷德·懷特黑德（Whitehead,A.N.）在《數學原理》一書中，從邏輯演算出發，結合集合論的選擇公理和無窮公理，便把當時的數學嚴格地推導了出來。因此，可以把整個數學看做是集合論加邏輯。若不計邏輯，則數學（不計范疇論）就歸結于集合論，數學的一致性就歸結于集合論的一致性。現代數學的所有分支幾乎都按集合論的觀點加以描述和改造。
基本概念
集合及其運算
集合
集合（set）是集合論的主要研究對象，是一個不加定義的原始概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言；一般地，具有某種屬性或按照某一法則進行研究的事物或對象的全體稱為集合，構成集合的事物或對象稱為集合的元素或簡稱元，集合通常簡稱為集。
通常用大寫拉丁字母表示集合，用小寫拉丁字母表示集合中的元素。若是集合的元素，則稱屬于記為若不是集合的元素，記為如果一個集合是由無限多個元素組成，則稱是無限集。若是由有限多個元素組成，則稱是有限集。不包含任何元素的集合稱為空集，記為常見的集合除空集外，還有全集、子集、補集、正則集、冪集等。
類
類（class）是指具有某一性質（或條件）的對象的全體。通常可表示為即可用概括原則確定的集體。從數學角度出發，類可分為兩種：一種是集合；另一種不是集合，稱為固有類或真類。集合的全體、序數的全體等都是固有類。
集族
集族是以集合為元素的集合稱為集族。例如，集的冪集是一個集族。都是冪集。取為標號集，到集族的一一對應（雙射）為則集族可記為當為線性序集
時，集族稱為集列。
集合的運算
集合的運算是指集合的交、并、差、補等運算的統稱，是由已知集合構造新集合的一種規則。設為一個冪集，映射
為集族的一元運算，映射為集族的二元運算。對于全集的冪集合常討論的運算有補運算、交運算、并運算、減運算、對稱差、叉運算。通過這些運算可以得出集合的并集、交集、差集、叉集等。
關系與函數
關系，常指二元關系，任一序偶的集合稱為一個二元關系。中任一序偶可記為稱對象與為有關系不在中的任一序偶可記為
兩個關系有可能同時成立，或表示關系的兩個集合的交不空。若對關系與存在則稱與是相容的。反之，若不存在即對任何與不能同真，則稱關系與是不相容的。例如，直線的平行關系與垂直關系是不相容的，而直線的相交關系與垂直關系是相容的。從集合運算的角度看，關系和相容，即
等價關系是指集合上自反的、對稱的與傳遞的二元關系。例如，數的相等關系、三角形的相似關系與全等關系、集合的對等關系等都是相應集合（族）上的等價關系。集合上等價關系所應滿足的三個條件是獨立的。
商集關系
商集是指由集合和該集合上的等價關系導出的集合。設是集合上的等價關系，則由所有確定的等價類組成的集合稱為關于的商集。記為即利用選擇公理，在的每個元素稱為等價類的代表，而稱為商集的代表集。
對應關系
如果集合是集合與的直積的子集則三元組稱為集合到集合的對應，稱為對應的始集（或前域），稱為的終集（或后域），是的圖像。
勒內·笛卡爾乘積
集合的笛卡兒乘積亦稱集合的直積，是指一種特殊的集合。由集合的元素與集合的元素作成的所有序偶組成的集合稱為與的笛卡兒乘積或與直積，記為可用符號表述為：
映射
設和是兩個抽象的集合，如果對中的每一個元素,在某個法則的作用下，總有中的唯一一個和這個對應，我們就稱是到的映射，記作當及是實數集或復數集時，映射就是通常的函數，因此映射實際上就是一種對應關系。
集合的映射象
集合的映射象是指一個特定的集合，將映射限制在某一子集上時，該映射的陪域。給定映射設集合
稱為集合在映射下的全象集，簡稱的象。
集合的映射逆象
集合的映射逆象是指一個特定的集合，對于的映射，的子集元素的原象集合。給定映射設
集合稱為集合在映射下的全逆象，簡稱逆象，記為
序數與基數
序數
序數是日常使用的第一、第二等表示次序的數的推廣，其概念是建立在良序關系概念之上的。序數被格奧爾格·康托爾定義為良序集的序型，而良序集的序型作為從的結構屬性抽象出來的結果，是所有與集同構的一切良序集的共同特征，即
但并不完善，后經過約翰·馮·諾依曼的修正，將序數定義為滿足下述條件的良序集對于一切這里稱為良序關系中由生成的初始段。集稱為歸納集，如果以及只要就有的一切歸納子集之交是自然數集。它是最小的歸納集。是良序的，且對任何都有所以是序數，記為自然數集的每個元素都是序數，稱為有限序數。其他序數稱為超窮序數，是最小的超窮序數。
基數
基數亦稱勢，是集合中所含元素個數的一種表征，是日常用以表示事物多少的數（即自然數）的概念的推廣和發展。格奧爾格·康托爾認為基數是一切與有等勢關系的集都具有的共同特征，是對的元素進行屬性及次序雙重抽象之后的結果。此外，康托爾還提出了連續統假設，即實數集與它的每個不可數子集等勢。同時，康托爾證明了康托爾定理，即任何集合的基數小于它的冪集合的基數。約翰·馮·諾依曼將基數的定義進行了完善，他建議用一個特殊的與等勢的集，即所有與等勢的序數中最小的一個作為的基數，定義如下：若是一序數，對于任何序數若則這樣的序數稱為初始序數或基數。根據選擇公理，可以證明對于任何集合使的基數是惟一存在的，這個稱為集合的基數。
兩個集合與具有相同基數，當且僅當所有基數組成的類記為card.每個自然數都是初始序數，所以自然數都是基數。以自然數為基數的集合稱為有限集，否則稱為無限集。
集合論的悖論
悖論是集合論的一類自相矛盾的命題，即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定成立。反之，如果承認這個命題的否定成立，又可推出這個命題自身成立。1900年前后，在集合論中發現了三個著名的悖論：布拉利·福爾蒂悖論、康托爾悖論、羅素悖論。
布拉利·福爾蒂悖論
布拉利·福爾蒂悖論亦稱最大序數悖論，是集合論歷史上的第一個悖論。設為一切序數組成的集合，即
可以看出按自然數大小順序成一良序關系，故由中有一序數必比中任一序數都大。但由定義知，也出現在中，從而將有而這是矛盾的。1897年，布拉利·福爾蒂在意大利巴洛摩數學會上提出了上述悖論。
康托爾悖論
康托爾悖論是康托爾于1899年發現的集合論悖論。設是一切集合組成的集合，考慮的勢因任何集合都是的子集，固不存在其勢大于的集合，但由康托爾定理可知，的冪集的勢大于這存在矛盾。
羅素悖論
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素悖論是羅素于1902年發現的一個集合論吧悖論。設即為一切不屬于自身的集合所組成的集合。在經典集合論中這樣的是合法的。問：是否屬于若由的定義推出若由的定義推出
羅素認為這也是矛盾的。
集合論公理系統
集合論本身含有矛盾的事實引發了第三次數學危機，這使得人們對數學推理的正確性和結論的真理性產生了懷疑，這些悖論給集合論帶來的困難，促進了數學家用公理化方法和數理邏輯工具去重建集合論。1908年，數學家恩斯特·策梅洛給出了第一個公理系統，后經過米里馬諾夫、弗倫克爾的補充，最后經約翰·馮·諾依曼將這些公理形式化，得到現今通用的策梅洛-弗蘭克爾公理系統，簡稱ZF系統。此外，馮·諾伊曼于1925年提出了另外一個系統，后經貝爾奈斯和哥德爾的修改，形成了GB系統。
ZF系統
ZF系統是康托爾集合論方法的形式化處理。它的原始概念是集合和屬于關系。這一系統包括九條公理：外延公理、空集公理、配對公理、并集公理、冪集公理、無窮公理、分離公理、替換公理、正則公理。在ZF系統中添加選擇公理而得到的系統稱為ZFC系統，該系統是數學中使用最廣泛的系統。
GB系統
GB系統有集合與類兩個基本概念。用小寫英文字母作為集合變元，用大寫英文字母作為類變元。此外，與分別表示是一類與是一集合。這個公理系統的特點是沒有公理模式，因此它是一有窮公理系統。并且它規定真類不能作為類的元素，從而避免了以往的悖論。該系統的公理有五組，如下表：
相關概念
組合集合論
組合集合論亦稱無窮組合論，是公理集合論的重要分支之一。它主要研究無窮集合的各種組合性質，最初的研究來源于有窮組合論中各種組合性質在無窮集合上的推廣，如基數的運算、枚舉原則、分離性理論、分劃演算以及對無窮樹的研究等。隨著公理集合論的發展，特別是可構造性理論、力迫法的產生，組合集合論也產生了自身特有的問題，如大基數的組合性質、組合原則等均是組合集合論的研究內容。
基數理論
研究基數的各種運算，共尾數、正規基數、奇異基數的性質、基數的閉無界子集、駐集的性質等，這些理論是組合集合論研究的基礎。
組合原則
組合集合論中，把某些具有重要意義且與ZF(C)系統相容的組合論命題稱為組合原則。組合原則一方面為解決許多重要的數學問題，如蘇斯林假設、庫雷巴假設等以及為拓撲學中的重要問題提供了一種有力工具，另一方面也促進了可構造性理論、大基數理論、力迫法的發展。
描述集合論
描述集合論是集合論的一種形式和方法。描述集合論處理可用一些簡單方法描述的實數集合，即有簡單拓撲結構的或可用簡單方法定義的集合。因為有些問題對任意實數集難于回答，但對有簡單描述的集合問題變得容易得多。
大基數公理
大基數公理是斷定某無窮基數存在的公理，同時依照斷定的大基數是否弱于或強于可測基數劃分“小的大基數公理”和“大的大基數公理”。該公理斷定不可達基數的存在，即“是不可達的，當且僅當是正則且強極限基數：如果那么”由此可以得到，“是不可達的，當且僅當是ZFC模型。
小的大基數公理：如果是不可達基數且集合是不可達基數在中是穩定集，那么是馬洛（Mahlo）基數。
大的大基數公理：一個不可數基數是可測的，當且僅當它是不平凡嵌套的一個臨界點，其中為一個傳遞類，當且僅當上存在一個完全的超濾。
模糊集合
定義：論域上的模糊集合是用一個從到實區間的函數來刻畫的,叫作模糊集合的隸屬函數，函數值代表元素對集合的隸屬度。
模糊集合表示法：給定有限論域為上的模糊集合,記對的隸屬度，通常按扎德的記法，將表示為
選擇公理
選擇公理是集合論的重要公理之一，由策梅洛于1904年證明良序定理首先清楚地陳述出來。
該公理斷言：對任何由兩兩不相交的非空集組成的集族，都存在一個選擇集，它與族中每個集合恰有一個公共元素。
粗略地說，選擇公理表明：給定任意個非空集合，可以同時從每個集合中取出一個元素。
力迫法
由科恩于1963年為證明連續統假設相對于ZF系統的獨立性而提出，它是構造公理系統模型的一種方法。
力迫的定義：令為公式，自由變元都在中;令M為ZFC的可數傳遞模型，為力迫,并且則當且僅當
其中是中的脫殊濾讀作力迫
相關應用
集合論是現代數學的基礎，是現代數學的基本描述工具。如今，集合論是一門應用廣泛的學科，在近代數學中占有較高地位，它的觀點已滲透到古典分析、泛函、概率、函數論、信息論、排隊論等現代數學各個分支，在金融學、醫學、地質學和計算機科學等各個領域具有廣泛的應用。
金融學
信貸融資是中小型科技企業常用的一種重要融資方式。基于不完全信息理論、協作理論、信貸配給理論及融資優序論，根據中小型科技企業融資過程中所面臨的各種風險及風險產生的原因，構建基于綜合模糊集合論技術的風險綜合評價模型，從融資的程序性、還貸的擔保性、核算的科學性及還款利息的可靠性等不同視角進行驗證分析，能為中小型科技企業信貸融資提供理論和經驗支持。
醫學
醫生在疾病診斷中首先收集臨床資料，如病史、癥狀、體征、實驗室結果等。然后根據這些資料提出可能的疾病組合，并逐步分析排除不可能的疾病，最終確定一個最可能的診斷。這個過程可以用集合論的方法完成。建立病狀的概念，將可能的疾病看作集合的元素，并根據集合的運算原理得出診斷結果。應用集合論可以提供科學、規范化的操作模式，統一臨床資料，提高診斷準確性，降低誤診率。
地質學
隨著不同比例尺化探調查的開展，圈出了各種比例尺的化探異常。在普查找礦工作中需要評價這些異常的重現及吻合程度。這些異常很少有完全不重現、完全重疊或完全錯開的情況。因此，在對比這些異常時常使用術語“基本重現”“基本吻合”“大致吻合”或“不太吻合”。這些術語只能定性地反映兩個異常的重現及吻合情況，沒有定量的概念。為了進行定量評價，可以應用模糊數學中的基本原理及其運算，將化探異常看成模糊集合，異常點就是集合的元素。利用集合運算的交集、并集及其比值來定量描述異常的重現率和外部形態的吻合程度，可以將定性對比轉化為定量對比，且方法簡單易行。
信息技術
在查新過程中，當保證了檢索查全率后，需要將相關文獻與查新點進行逐一分析對比，并將其中 相關的技術內容在報告中逐一表述。但在撰寫查新報告時，如何明確簡練地表述對比分析內容從而構成支持結論的有力論據。將集合論方法對科技查新對比分析過程進行抽象描述，并提出了查新科技要素及其各自不同范疇、集合和交集等概念。應用集合方法討論查新中的科技要素新穎性分布情況，有利于明確報告的對比分析和結論表述的重點，減少盲目性，提高報告的邏輯性和可讀性，以及報告結論的正確性、嚴密性和客觀性。同時理論上證明了科技查新報告可以正確完整地表述科技要素集合的新穎性狀態。
技術轉移
新技術的產生既有源于技術原理的創新，也有技術應用領域轉移而形成。因此正確地識別和分析技術應用領域轉移的特征，有助于探索技術應用領域轉移的整體發展動向。基于集合論的技術應用領域轉移研究方法，根據學科——領域對應關系，將文獻歸類到不同學科大類，然后將學科大類視為技術應用領域；再定義技術應用領域文獻的最大、最小集合及交叉集合，通過計算各集合內文獻量隨時間的變化，實現技術應用領域轉移研究的目標。
參考資料 >
集合論 - 搜索.Bing搜索.2024-01-29