良序集（well-ordered set），也稱正序集，若全序集A的任一非空序子集必有最前元素，則稱A為良序集。一個集合A，如果滿足 是有序集，則這個集合被定義為良序集，并記為。
良序集最早在1895年由德國數學家格奧爾格·康托爾在論證了相同的勢與不同的勢的集合都存在之后，繼續研究集合這個概念并且引進了基數與序數的理論，為了引進新的序數而提出的概念。
良序集還有很多普通序集不具備的重要性質。如良序集的子集是良序集；不空的良序集必有首元素；兩集相似，如果其中一個是良序的，另一個也必然是良序集等。良序集在數學中良序集作為自然數的數學歸納法之一，是數學推理常用的工具。同時良序集法在計算機、農業等方面都有廣泛的應用。
定義
如果一個集合滿足 ，則被定義為良序集，并記為。良序集又稱正序集。
簡史
在19世紀初期,數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾(波爾扎諾,B.)發表著作《無窮悖論》，并肯定了實無窮的存在,建立了集合等價的概念，還注意到了無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。1874年，德國數學家格奧爾格·康托爾(G.Cantor，1845-1918)創立的集合論，是現代數學的基礎。集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總而成的集體，其中構成集合的這些對象則稱為該集合的元素。
康托爾在論證了相同的勢與不同的勢的集合都存在之后，繼續研究集合這個概念并且引進了基數與序數的理論。后來康托爾為了引進新的序數，他把全序集限制在良序集的范圍之內。康托爾在1895年發表的文章中提出了良序集的概念即一個全序集叫做良序集，假如它有為首的元素，并且它的每一子集都有為首的元素。后來關于良序集的相關問題還被德國數學家戴維·希爾伯特在1900年的國際數學會議上，列入了著名問題的名單中。
性質
良序集有許多普通序集不具有的重要性質。
性質1：良序集的子集是良序集。
證明：設為任一良序集。當時必為良序集，否則至少存在一子集沒有首元素，那么也是的子集，無首元素，這與是良序集矛盾。
性質2：不空的良序集必有首元素。
證明：不空的良序集本身是的一個子集，應有首元素。
性質3：兩集相似，如果其中一個是良序的，另一個也必然是良序集。
證明：設，而不是良序集，則至少存在一個子集無首元素，如果，那么將有無限遞降序列
這里對每個有，并且永遠不會終止，設到的相似對應為則 ，并且對于每個有，把這里列出的所有作成一個A的子集，它無首元素，這與為良序集是矛盾的。這證明了也是良序集。
性質4：良序焦除了末元素外(假如有末元素的話)，每元素必有元素緊跟其后。
證明：如不是的末元，那么必然存在，滿足，把所有滿足此式的收集為一個集合，是的一個子集，設其首元為，那么就是緊隨后的元素。事實上，并且若，由的定義，必有，故在與之間不會有其它的元素。
性質5：在良序集中不能選取一個如下的無限單調減少元素列，由性質3可證。
相關定理
定理2：若為良序集，且，則也是良序集。
證明：設是相似變換，的任意非空子集，在下的象是的非空子集，因為是良序集，故有最前元素，就是的最前元素。的任意非空子集都有最前元素，故是良序集。
例如，是良序集。
設為的非空子集，在中取任何元素，如果不是的最前元素，取在中確定的截段，則，為非空有限集。得這個最前元素就是的最前元素。故是良序集。
定理3：良序集除了最后元素外，每個元素都有后紀元。
證明：設為良序集，任取，不是的最后元素，取在的截段，作，則是的非空子集。它的最前元素就是的后繼元。
定理4：良序集中不存在無限單調減少元素列
證明：若存在這樣的元素列，則集是良序集的子集而無最前元素，是矛盾的。
定理5：設是良序集的子集，則到的相似變換對任意必有。
證明：否則，有相似變換及使設為中具有此性質的元素全體，則，故必有最前元素，設則。因，，因相似變換是保序的，故在中有
則，這與的最前元素為矛盾，故必須有。
定理6：二良序集若相似，則相似變換是唯一的。
證明：設都是良序集到的相似變換，若，則必有，使設，，則與的兩個截段，都相似，于是，與定理5推論2矛盾，故。
定理7：任何二良序集，或為相似，或為其中之一相似于另一集的截段。
定理8：設是兩兩不相似的良序集，則中存在一個最短的集。
定理9：良序集的全序和是良序集。
相關推論
推論1：良序集不能與其任一截段相似，也不能與其任一截段的子集相似。
推論 2：良序集的任何兩個不同的截段不能相似。
推論 3：良序集不能與其子集的一個截段相似。
相關概念
序關系
用表示集合上的一個二元關系，這個關系被稱為序關系。
序數
良序集的序型稱為序數。如果序數有無限勢，則稱之為超限數。
偏序集
一個集合與上的一個偏序關系一起稱為偏序集，記作，或，其中是對應于有序集合的一個普通符號，即用代替有序對。
全序集
鏈：設是一個偏序集，若集合的一個子集中任何兩個元素都相關，則稱這個子集為一條鏈。
全序集：若集合是一條鏈，則偏序集.稱為全序集。
超限歸納法
把數學歸納法由自然數集合推廣到任意良序集合，稱這樣的歸納法為超限歸納法。
超限歸納法：令是一個關于序的良序集，令是定義在上的一個性質，即對任何，或者成立或者不成立。對任何的元素，假定存在蘊含關系：一切，成立必然能夠得到成立，那么，對于集合性質成立，即對任何，成立。
第二數類
把全體有限序數所組成的集叫做第一數類。所以第一數類就是自然數集。
把全體可數良序集的序數所構成的集稱為第二數類，并記為，所以。
良序關系
是一個偏序集，若的任何非空子集都有最小元，則稱該偏序集為良序集，“”是上的良序關系。
應用
在數學中良序集的超限歸納法，被用作數學推理和處理問題的常用的工具。在軟件技術中良序集法可以用來證明程序中可以截斷和終止證明過程的運行。在農業上良序集算法可以優化改善順德區技工學校在使用中的弊端。
數學
關于自然數的數學歸納法，是數學推理常用的工具。在集合論研究中提出良序集(即任何非空子集必有最先元素的有序集)的概念后，發現數學歸納法還可以推廣到一般的良序集，即超限歸納法。同時良序集的數學歸納法還被用作處理有限問題的推理基礎。“算術相容性”一開始在戴維·希爾伯特的“元數學”體系中屬于一個不可判定命題，后來德國的數學家格哈德·根岑在1936年利用超限歸納法完成了對這個命題的證明。
軟件技術
良序集法是AL電子競技俱樂部Floyd在1967年提出來的一種證明程序終止性的方法。它在證明程序中可以截斷和終止證明過程的運行。
良序集算法在農業上的應用
根據田間作物壟行間雜草離散的特點，基于圖像矩陣，運用像素子集的良序性，結合壟寬先驗知識得到壟行軌跡中心。同時，系統選擇圖像的綠色成分為目標特征空間，濾掉了非綠色的背景噪聲，對光照也有一定的適應性為尋找壟行子集奠定了基礎。
參考資料 >