數(shù)學(xué)上，二元關(guān)系（binary relation）用于討論兩個數(shù)學(xué)對象的聯(lián)系。諸如算術(shù)中的「大于」及「等于」，幾何學(xué)中的"相似"，或集合論中的"為·..之元素"或"為·..之子集"。二元關(guān)系有時會簡稱關(guān)系，但一般而言關(guān)系不必是二元的。其中 R 的首項是物件的集合，次項是人的集合，而末項是由有序?qū)Γㄎ锛魅耍┙M成的集合。稱為R的關(guān)系矩陣，記作M。嚴格偏序（反自反的傳遞關(guān)系）的數(shù)目和偏序的一樣多。全序即是那些同時是全預(yù)序的偏序。那些不符合對稱性的二元關(guān)系也可組成四元組（某關(guān)系、補集、逆、逆的補集）。
定義
集合 X 與集合 Y 上的二元關(guān)系是 ，其中 ，稱為R 的圖，是笛卡兒積的子集。若，則稱x 是 R-關(guān)系于y ，并記作 xRy 或 R(x,y)。否則稱a與b無關(guān)系R。
但經(jīng)常地我們把關(guān)系與其圖等同起來，即：若 ，則R 是一個關(guān)系。
例子：有四件物件 {球，糖，車，槍} 及四個人 {甲，乙，丙，丁}。若甲擁有球，乙擁有糖，及丁擁有車－即無人有槍及丙一無所有— 則二元關(guān)系"為...擁有"便是
R=({球，糖，車，槍}, {甲，乙，丙，丁}, {(球，甲), (糖，乙), (車，丁)})。
其中 R 的首項是物件的集合，次項是人的集合，而末項是由有序?qū)Γㄎ锛魅耍┙M成的集合。比如有序?qū)Γㄇ颍祝晕覀兛蓪懽?球R甲"，表示球為甲所擁有。
不同的關(guān)系可以有相同的圖。以下的關(guān)系 ({球，糖，車，槍}, {甲，乙，丁}, {(球，甲), (糖，乙), (車，丁)} 中人人皆是物主，所以與 R 不同，但兩者有相同的圖。
話雖如此，我們很多時候索性把R 定義為 G(R)，而 "有序?qū)? 亦即是 ""。
二元關(guān)系可看作成二元函數(shù)，這種二元函數(shù)把輸入元 及視為獨立變量并求真?zhèn)沃担础坝行驅(qū)?是或非二元關(guān)系中的一元”此一問題）。
若，則稱 R為 X 上的關(guān)系。
特殊的二元關(guān)系
注：下文我們將采用把二元關(guān)系R定義為子集的做法。
設(shè)A是一個集合，則
空集?稱作A上的空關(guān)系（因為?也是的子集）。
稱作A上的全域關(guān)系。
稱作A上的恒等關(guān)系
性質(zhì)
關(guān)系的性質(zhì)主要有以下五種：自反性，反自反性，對稱性，反對稱性和傳遞性。
自反性：
在集合X上的關(guān)系R，如對任意，有，則稱R是自反的。
反自反性（自反性的否定的強形式）：
在集合X上的關(guān)系R，如對任意，有，則稱R是反自反的。
對稱性：
在集合X上的關(guān)系R，如果有則必有 ，則稱R是對稱的。
反對稱性（不是對稱性的否定）：
非對稱性（對稱性的否定的強形式）：
非對稱關(guān)系是滿足反自反性的反對稱關(guān)系。
傳遞性：
實例
例1：
設(shè),和是A上的關(guān)系，其中
則是自反的，是反自反的，既不是自反的也不是反自反的。
例2：
設(shè),和是A上的關(guān)系，其中
則既是對稱的也是反對稱的。是對稱的但不是反對稱的。是反對稱的但不是對稱的。既不是對稱的也不是反對稱的。
例3：
設(shè)，和是A上的關(guān)系，其中
則和是A上的傳遞關(guān)系，是A上的傳遞關(guān)系。
關(guān)系矩陣
設(shè)及 ，R是X與Y上的二元關(guān)系，令
則0,1矩陣稱為R的關(guān)系矩陣，記作。
關(guān)系圖
設(shè)R集合A到B上的二元關(guān)系，令圖，其中頂點集合 ，邊集合為E ，且對于任意的，規(guī)定當且僅當。則稱圖G是關(guān)系R的關(guān)系圖。
關(guān)系的運算
關(guān)系的基本運算有以下幾種：
設(shè)R為二元關(guān)系。
R中所有有序?qū)Φ牡谝辉貥?gòu)成的集合稱為R的定義域，記作dom(R)，即。
R中所有有序?qū)Φ牡诙貥?gòu)成的集合稱為R的值域，記作ran(R) ，即。
R的定義域和值域的并集稱作R的域，記作fld(R)，即
R的逆關(guān)系，簡稱R的逆，記作，其中
設(shè)S也是一個二元關(guān)系。R和S的合成記作，其定義為。
若R是一個集合A上的二元關(guān)系，可以在自然數(shù)范圍內(nèi)定義R的n次冪。首先規(guī)定，再遞歸定義。可以證明有成立。
與關(guān)系性質(zhì)的連系
設(shè)R為集合A上的關(guān)系，下面給出的六種性質(zhì)成立的充要條件：
R在A上自反當且僅當
R在A上反自反當且僅當
R在A上對稱當且僅當
R在A上反對稱當且僅當
R在A上非對稱當且僅當
R在A上傳遞當且僅當
關(guān)系的閉包
設(shè)R是非空集合A上的關(guān)系， R的自反（對稱或傳遞）閉包是A上的關(guān)系R' ，滿足
(1) R'是自反的（對稱的或傳遞的）
(2)
(3) 對A上任何包含R的自反（對稱或傳遞）關(guān)系R''有
一般將R的自反閉包記作r(R)，對稱閉包記作s(R) ，傳遞閉包記作t(R)。
下列給出了構(gòu)造閉包的方法：
對于有限集合A 上的關(guān)系R ，存在一個正整數(shù)s，使得，且s不超過A的元素數(shù)。
求傳遞閉包是圖論中一個非常重要的問題，例如給定了一個城市的交通地圖，可利用求傳遞閉包的方法獲知任意兩個地點之間是否有路相連通。可以直接利用關(guān)系矩陣相乘來求傳遞閉包，但那樣做復(fù)雜度比較高；好一點的辦法是在計算矩陣相乘的時候用分治法降低時間復(fù)雜度；但最好的方法是利用基于動態(tài)規(guī)劃的Floyd-Warshall算法來求傳遞閉包。
二元關(guān)系的數(shù)目
在一個有n個元素的集合（簡稱n元素集）上，一共有個可能的二元關(guān)系。
注：
反自反關(guān)系和自反關(guān)系的數(shù)目一樣多。
嚴格偏序（反自反的傳遞關(guān)系）的數(shù)目和偏序的一樣多。
全序即是那些同時是全預(yù)序的偏序。透過容斥原理的想法，可知那些既不是偏序也不是全預(yù)序的預(yù)序數(shù)目是：預(yù)序的數(shù)目，減去偏序的數(shù)目，再減去全預(yù)序的數(shù)目，最后加上全序的數(shù)目，即0, 0, 0, 3, 85, ...
等價關(guān)系的數(shù)目是集合劃分的數(shù)目，即貝爾數(shù)。
各個二元關(guān)系之間可組成二元組（某關(guān)系及其補集），除了在時，空關(guān)系的補集即其自身。那些不符合對稱性的二元關(guān)系也可組成四元組（某關(guān)系、補集、逆、逆的補集）。
參見
有序?qū)?/p>
二元集合
笛卡兒積
等價關(guān)系
參考資料 >