傳遞關系(transitive relation)是一種特殊的關系，指由甲、乙和乙、丙都有，可推知甲、丙也有的那種關系。集合A上的二元關系R，對任何a，b，c∈A，當aRb，bRc時，有aRc，用符號表示：R是A上的傳遞關系??a?b?c(a∈A∧b∈A∧c∈A∧aRb∧bRc→aRc)。當A上的R是傳遞關系時，稱R在A上是傳遞的，或說A上的關系R有傳遞性。例如，實數集中的小于關系與不小于關系都是傳遞的；而人群中的同學關系是不傳遞的。若R在A上是傳遞的，則R°R?R；反之，如R°R?R，則R在A上是傳遞的。一個反自反的傳遞關系是不對稱的，一個反自反的對稱非空關系不是傳遞關系。
基本內容
二元關系Ｒ是傳遞關系，當且僅當對任意對象，如果ａ和ｂ有關系Ｒ，ｂ和ｃ有關系Ｒ，那么ａ和ｃ有關系Ｒ。如“大于”關系。
在邏輯學和數學中，若對所有的屬于X，下述語句保持有效，則集合X上的二元關系R是傳遞的：「若a關系到b且b關系到c，則a關系到c。」
數學上表示為：
\foralla,b,c\inX,\aRb\andbRc\;\RightArrowaRc
例如："大于等于"是種傳遞關系：若且則。
傳遞關系舉例：
"等于"（等于）
"是……的子集"（集合的包含）
"小于等于"和"大于等于"（不等）
"除"（整除）
滿足自反性的傳遞關系稱為預序關系。滿足反對稱性的預序關系稱為偏序關系。滿足對稱性的預序關系稱為等價關系。
判斷
綜上所述。判斷一個A上的二元關系具有哪些性質。可以從定義出發，或者觀察關系的關系圖和關系矩陣。對于一些簡單的特征明顯的關系是容易判斷的，然而如何判斷任意一個關系具有哪些性質呢?下面給出判斷的形式化表示。
定理1設R是A上的二元關系，則
(1)R是自反關系。
(2)R是反自反關系。
(3)R是對稱關系。
(4)R是反對稱關系。
(5)R是傳遞關系。
例2利用定理1判斷例1中各關系具有的性質。
解：5種性質都不具備，原因如下。
(1)，而，所以，故不具有自反性。
(2)，故不具有自反性。
(3)，故不是對稱的。
(4)，故不是反對稱的。
(5)，故不是傳遞的。
同理可以判斷：
是對稱的，不是自反的、反自反的、反對稱的、傳遞的；
是自反的、對稱的，不是反自反的、反對稱的、傳遞的；
是反自反的、反對稱的、傳遞的，不是自反的、對稱的；
是自反的、反對稱的、傳遞的，不是反自反的、對稱的；
是反自反的、反對稱的、傳遞的，不是自反的、對稱的。
有關概念
傳遞關系二元關系
設A，B是兩個集合，R是A×B的任意一個子集，即
則稱R為從集合A到集合B的一個二元關系，簡稱為從A到B的一個二元關系。
若稱R為空關系。
若，稱為全關系。
當時，稱二元關系為A上的二元關系。
當時，記稱之為A上的恒等關系。
傳遞關系自反關系與反自反關系
定義1令R是A上的二元關系，若對于A中的每個都有，則稱R具有自反性(或稱R是自反關系)。
即R是A上的自反關系。
定義2令R是A上的二元關系，若不存在A中的，使得，則稱R具有反自反性(或稱R是反自反關系)。
即R是A上的反自反關系。
自反的關系亦稱“具有反身性的關系”。對于類K中一個確定的關系R來說，若類K中任意的個體和它自身都具有關系R，則稱關系R在類K中為自反的關系。若類K中沒有一個個體和它自己具有關系R，則稱關系R在類K中為反自反的關系。若類K中有的個體和它自己具有關系R，而有的個體和它自己不具有關系R，則稱關系R在類K中為非自反的關系。例如，設類K為實數域，則等于關系“=”是自反的關系，大于關系“>”，小于關系“<”都是反自反的關系。“x的平方數是Y”的這種關系就是非自反的關系。因為0的平方數是0，1的平方數是1，即當x為0(或1)時，y也同時為0(或1)，但當x為其它實數時，x的平方數y就不能再與x相同了。所以，“x的平方數是y”的這種關系就既不是自反的關系，也不是反自反的關系，而是非自反的關系。
例題解析
【例1】設，下列幾個是A上的二元關系。
；
。
其中，哪些是傳遞關系?
解：是傳遞的。對這些關系可以證明，若和屬于一個關系，則也屬于這個關系，例如傳遞的，因為中只有和和和以及和是這樣的有序對，而和屬于。
同理可證是傳遞的。
雖然只有一個序對，但它沒有違反傳遞性的規則，故也是傳遞的。
不是傳遞的。因為。
不是傳遞的，因為而。
不是傳遞的，因為，而。
傳遞關系在關系圖上特征表現為如果結點u到v有邊，v到w有邊，則必有從u到w的邊。
參考資料 >