等價(jià)關(guān)系（英語(yǔ)：Equivalence relation），也稱(chēng)為同值關(guān)系，是集合上的一種特殊的二元關(guān)系，它同時(shí)具有自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。等價(jià)關(guān)系在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，例如整數(shù)集上的同余、歐氏幾何中的等量以及平凡的相等關(guān)系。通過(guò)等價(jià)關(guān)系可以將集合中的元素進(jìn)行分類(lèi)，劃分為不相交的等價(jià)類(lèi)，選取每類(lèi)的代表元素來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的復(fù)雜度。在軟件測(cè)試中，等價(jià)關(guān)系可用于選擇測(cè)試用例。
定義
設(shè)R是集合A上的一個(gè)二元關(guān)系，若R滿(mǎn)足以下條件：
自反性：?a∈A, (a,a)∈R
對(duì)稱(chēng)性：?a,b∈A, (a,b)∈R ∧ a≠b => (b,a)∈R
傳遞性：?a,b,c∈A, (a,b)∈R ∧ (b,c)∈R => (a,c)∈R
則稱(chēng)R是定義在A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。若(a,b)∈R，則稱(chēng)a等價(jià)于b，記作a~b。等價(jià)關(guān)系通常用符號(hào)~表示。
應(yīng)用
等價(jià)關(guān)系可以用于劃分集合，形成等價(jià)類(lèi)，并通過(guò)等價(jià)類(lèi)簡(jiǎn)化問(wèn)題。
例一：
同班同學(xué)關(guān)系、同鄉(xiāng)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。
平面幾何中三角形間的相似關(guān)系、全等關(guān)系都是等價(jià)關(guān)系。
平面幾何中直線(xiàn)間的平行關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。
例二：
設(shè)A={1,4,7}，定義A上的關(guān)系R如下：
R={(a,b)|a,b∈A ∧ a≡b MOD 3}
其中a≡b mod 3表示a與b模3同余，即a除以3的余數(shù)與b除以3的余數(shù)相等。R為A上的等價(jià)關(guān)系。另外，若f是從A到B的函數(shù)，定義A上的關(guān)系R：aRb當(dāng)且僅當(dāng)f(a)=f(b)，則R也是A上的等價(jià)關(guān)系。
例三：
設(shè)R為定義在集合A上的一個(gè)關(guān)系，若R是自反的、對(duì)稱(chēng)的和傳遞的，則稱(chēng)R為等價(jià)關(guān)系。設(shè)R為集合A上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)任何a∈A,集合[a]={b|(a,b)∈R}稱(chēng)為元素a形成的等價(jià)類(lèi)，其等價(jià)類(lèi)集合{[a]|a∈A}，稱(chēng)作A關(guān)于R的商集，記作A/R。定理3.7.1設(shè)給定非空集合A上等價(jià)關(guān)系R，對(duì)于a,b∈A,有aRb當(dāng)且僅當(dāng)[a]=[b]。定理3.7.2集合A上的等價(jià)關(guān)系R，確定了A的一個(gè)劃分，該劃分就是商集A/R。定理3.7.3集合A的一個(gè)劃分，確定A的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。
事例
等價(jià)關(guān)系的例子
例如，設(shè)A={1,2,...,8}，定義A上的關(guān)系R如下：
xRy ? x,y∈A且x≡y (mod 3)
其中x≡y (mod 3)表示x與y模3同余。例子有1R4,2R5,3R6。R為A上的等價(jià)關(guān)系。
不是等價(jià)關(guān)系的關(guān)系的例子
并非所有的二元關(guān)系都是等價(jià)關(guān)系。例如，實(shí)數(shù)之間的"≥"關(guān)系滿(mǎn)足自反性和傳遞性，但不滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性。例如，7 ≥ 5 無(wú)法推出 5 ≥ 7，因此"≥"不是等價(jià)關(guān)系。它是一種全序關(guān)系。另一個(gè)反例是比較兩個(gè)數(shù)中哪個(gè)較大的關(guān)系，它既沒(méi)有自反性（任何一個(gè)數(shù)不能比自身為較大）也沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性（如果m>n，則不能有n>m）。
參考資料 >