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b）的預(yù)序為偏序。說明作為特例，空集上的空關(guān)系為一預(yù)序。反過來說，每個預(yù)序都可理解為一個有向圖上的可到達關(guān)系。
定義
考慮集合P 及其上的二元關(guān)系
。若具有自反性和傳遞性，則稱為預(yù)序。具體來說，對 P 的任意元素 a，b 和 c，下列性質(zhì)成立：
自反性：a
a
傳遞性：若a
b且b
c，則a
c
帶預(yù)序的集合稱為預(yù)序集合（preordered set，或者proset）。
同時滿足反對稱性（若 a
b 且 b
a，則 a = b）的預(yù)序為偏序。
另一方面，如果一個預(yù)序滿足對稱性（若a
b，則b
a），則為等價關(guān)系。
說明
作為特例，空集上的空關(guān)系為一預(yù)序。空集加上空關(guān)系構(gòu)成一預(yù)序集。
導(dǎo)出偏序
將預(yù)序集的等價元素等同起來，可得到由該預(yù)序集所導(dǎo)出的偏序集。具體過程如下：定義預(yù)序集 X 上的等價關(guān)系
，使得 a
b 當(dāng)且僅當(dāng) a
b 且 b
a。定義所得商集
（所有
的等價類構(gòu)成的集合）上的序關(guān)系
，使得[x]
[y] 當(dāng)且僅當(dāng) x
y。由
的構(gòu)造可知，
的定義與所選等價類的代表元素?zé)o關(guān)，故上述定義明確。易證該關(guān)系為一偏序。
舉例
全預(yù)序的例子：
參考資料 >