空集（英文：empty set）是指不含任何元素的集合，符號為?或{ }。
萊布尼茨（英文：Gottfried Wilhelm Leibniz）在提出單子論時，區(qū)分了整體統(tǒng)一體，并將如初始概念、單子、空集和單元集等稱為統(tǒng)一體。1854年，喬治·布爾（英文：George Boole）提出了空類（也稱空集）的概念。1873年，康托爾（英文：Cantor）提出集合論。為解決第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，1908年德國數(shù)學(xué)家策梅羅（Zermelo）創(chuàng)建了第一個集合論的公理體系，其中就包括空集公理。1922年德國數(shù)學(xué)家弗蘭克爾（Fraenkel）對以上公理進(jìn)行改進(jìn)，提出了“ZF公理”，空集公理被繼承保留。
空集通常具有四個性質(zhì)：空集是任意集合的子集；空集的唯一子集是空集本身；對全集的補(bǔ)集是空集；空集是唯一的，其唯一性由外延公理得出。空集是任何非空集合的真子集。?只有一個子集，沒有真子集。{?}是一個非空集合，有兩個子集，一個是?，一個是它本身。集合的交運(yùn)算、并運(yùn)算、補(bǔ)運(yùn)算等也適用于空集的運(yùn)算。與空集相關(guān)的概念有正則集、不相交的集合、集合的直和等。空集也可以推廣至空間集合論中。空集只能通過一種方式轉(zhuǎn)變?yōu)橥負(fù)淇臻g，即通過定義空集為開集；這個空拓?fù)淇臻g是有連續(xù)映射的拓?fù)淇臻g的范疇的唯一初始對象。空集在計(jì)算機(jī)科學(xué)、邏輯學(xué)和地理學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。如布爾用1表示全總集，用0表示空集，并將數(shù)的加法乘法運(yùn)用于邏輯運(yùn)算。
定義
不含任何元素的集合叫空集，符號為(為丹麥語字母）。對于任意集合 A，都有?A：? ? A，即空集是任何集合的子集。
空集公理
存在一個不包含任何元素的集合，即存在一個集合，使得對于任何的
簡史
集合的概念起源最早可以追溯到古希臘的原子論學(xué)派，他們將直線看作一些原子的排列。戈特弗里德·萊布尼茨在提出單子論時，區(qū)分了整體統(tǒng)一體，并將如初始概念、單子、空集和單元集等稱為統(tǒng)一體。1854年，布爾在《思維規(guī)律的研究：邏輯與概率數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)》中提出了空類（也稱空集）的概念，空類中沒有任何事物，用數(shù)字0——正在討論的事物的0%——表示。
1873年，格奧爾格·康托爾證明了實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的，并在1874年發(fā)表了包括對角線方法的論文《論所有實(shí)代數(shù)數(shù)Z的一個性質(zhì)》。1903年，英國數(shù)學(xué)家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Russell）提出的悖論直指樸素集合論，引發(fā)了數(shù)學(xué)危機(jī)，直到1908年德國數(shù)學(xué)家策梅羅（Zermelo）創(chuàng)建了第一個集合論的公理體系，其中就包括空集公理。1922年德國數(shù)學(xué)家弗蘭克爾（Fraenkel）對以上公理進(jìn)行改進(jìn)，提出了“ZF公理”，空集公理被繼承保留。
性質(zhì)
空集具有如下性質(zhì)：
基本運(yùn)算
集合具有交運(yùn)算、并運(yùn)算、補(bǔ)運(yùn)算等運(yùn)算，空集在集合的運(yùn)算中具有特殊意義。
交運(yùn)算
對于任意集合，.
并運(yùn)算
對于任意集合 A，空集和 A 的并集為 A：?A：A ∪ ? = A。
補(bǔ)運(yùn)算
對于全集，.
減運(yùn)算
對于任意集合，有
對稱差
對于任意集合有，
叉運(yùn)算
對于任意集合，.
相關(guān)概念
集合
集合（set）簡稱集，是一個不加定義的原始概念。集合是將一些對象放在一起作為一個整體來考慮，組成集合的對象稱為這個集合的元素或簡稱元。若是集合的元素，則稱屬于，記為。若不是的元素，記為（也可以用表示）。當(dāng)某一集合的元素為...時，可寫，稱集合有元素（對象）...聚合而成。
子集
子集（subset），集合論的基本概念之一。指兩個具有包含關(guān)系的集合中的被包含者。對于集合與，若中的每個元素都是的元素，則稱是的子集，記為或。讀作“含于”或“包含”。是的子集可用符號表述為或
空集是任何集合的子集。
全集
全集（universal set）亦稱通用集、宇宙集、萬有集、個體域或論域。集合論的基本概念之一。它包含所討論的問題中涉及的所有集合。在研究某一特定理論時，人們關(guān)心的往往不是一切可能的集合，而僅僅是某個確定的集合的所有子集合。當(dāng)事先給定一個集合，并且約定只限于討論的元素或子集時，人們就把稱為該理論的論域或全集。全集常用字母，，等表示。取作全集可用符號表述為。
補(bǔ)集
補(bǔ)集（complementary set）亦稱絕對余集。集合論的基本概念之一。全集與集的差集稱為的補(bǔ)集。常記為（或.可用符號表述為：）.的補(bǔ)集也就是相對于全集的余集。
正則集
正則集（regular set），集合論的一個重要概念。它是為避免出現(xiàn)悖論的奇特集合而引進(jìn)的。集合是正則的，如果存在的元素，使得和沒有公元素，用符號表示為.
不相交的集合
不相交的集合（disjoint sets），兩個特殊相關(guān)的集合。指兩個集合沒有公共元素。對于兩個集合與，如果，則稱與不相交，這一概念可以推廣到多個集合的情況。設(shè)是一個集合族，對任何成立，則稱是互不相交的集合族（兩兩不相交的集族）。
集合的直和
集合的直和（direct sum of sets），并的一種特殊情況，即在滿足條件下的集合之并，若集合與集合不相交，且有，則為其子集與的直和。記為.可用符號表述為
或
集合的直和的概念可以推廣到一般的情況：設(shè)為標(biāo)號集，為集族，是到的一一對應(yīng)，且，如果時總有，則稱廣義并集為集族的廣義直和，記為.
推廣
公理化集合論
在公物理化學(xué)集合論中，有空集公理：存在一個沒有元素的集合。這條公理可形式化為。這條公理肯定了不含元素的集合是存在的。由外延公理還可推出：空集只有一個。利用分離公理，可以斷言空類為集合。
空間集合論
空間集合的維度：一個空間集合的維度記為，定義為該集合中空間目標(biāo)的最大維度。
即
則根據(jù)上式，可知下圖(a)(b)對應(yīng)的空間集合的維度分別為和由于只能表達(dá)其中某一空間目標(biāo)的維度，因此，上述公式僅是對空間元素維度的一種粗略表達(dá)。例如，當(dāng)空間集合是由點(diǎn)、線或面組合而成,只能表達(dá)其中空間元素的最高維度。特別地，當(dāng)為空集時，則
范疇論
在集合范疇中，空集是初始對象，任何單元素集合都是終結(jié)對象。因此集合范疇有唯一的初始對象，但有很多終結(jié)對象。單元素含幺半群在含幺半群范疇中既是初始的又是終結(jié)的。在一個半序集合確定的范疇中，該半序集合的絕對極小值是一個初始對象，絕對極大值是一個終結(jié)對象。由于整數(shù)集中沒有最大值也無最小值，因此在整數(shù)和通常的序確定的范疇中，既無初始對象也無終結(jié)對象。
應(yīng)用
計(jì)算機(jī)科學(xué)
布爾代數(shù)
布爾拋棄了傳統(tǒng)邏輯中的等形式，而用等表示類，用表示“從中選出”，即求與的公共元素，現(xiàn)在稱為“與的交集”，當(dāng)與無公共元素時，用表示，與的并集。又用1表示全總集，用0表示空集，用表示的補(bǔ)集。對于和而言，可換率、結(jié)合律是成立的。布爾注意到，如果在數(shù)中只限于0及1，則上述規(guī)律對數(shù)的加法乘法也是成立的。布爾認(rèn)為邏輯中的運(yùn)算可以和數(shù)學(xué)一樣處理，提出了布爾代數(shù)。布爾代數(shù)在現(xiàn)代科技中廣泛運(yùn)用可直接應(yīng)用于開關(guān)理論和邏輯電路設(shè)計(jì)、密碼學(xué)和計(jì)算機(jī)理論科學(xué)等。
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
圖（Graph）是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。在圖結(jié)構(gòu)中，節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系可以是任意的，圖中任意兩個數(shù)據(jù)元素之間都可能相關(guān)。圖由兩個集合和組成，記為，其中是頂點(diǎn)的有窮非空集合，E是中頂點(diǎn)偶對的有窮集合，這些頂點(diǎn)偶對稱為邊。和通常分別表示圖的頂點(diǎn)集合和邊集合，可以為空集。若為空，則圖只有頂點(diǎn)而沒有邊。圖的應(yīng)用極為廣泛，已滲入諸如物理、化學(xué)、電信工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)以及數(shù)學(xué)等其他分支中。
算法設(shè)計(jì)
在算法設(shè)計(jì)中，可能將空集作為算法設(shè)計(jì)的開頭或結(jié)尾。如在設(shè)計(jì)動車組運(yùn)用方案網(wǎng)絡(luò)時，利用禁忌—螞蟻算法對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行求解，當(dāng)訪問的節(jié)點(diǎn)為空集時，一組可行解即構(gòu)造完成。而在貪心算法中，以一個空集合作為初始的解集合,然后在剩下的所有其他候選點(diǎn)中選擇一個具有最大滿足能力的候選點(diǎn)加入到原來的候選集合中,如此反復(fù),直至全部需求得到滿足為止。
邏輯學(xué)
虛概念的外延
現(xiàn)代邏輯興起后，基于對空類、自然數(shù)的定義和空集的界定而產(chǎn)生了虛概念。虛概念即現(xiàn)實(shí)世界不存在其反映的對象的概念。對于實(shí)概念而言，其外延即“由具有這個概念所反映的特有屬性的那些事物所組成的類”，對于虛概念來說將其外延即為空集。
命題的表達(dá)
空集可以用于闡釋命題的范圍。從對應(yīng)歐拉圖的集合運(yùn) 算表示法可以看出，全稱肯定命題、全稱否定命題、特稱肯定 命題要求主、謂項(xiàng)都必須是非空集，而特稱否定命題要求主項(xiàng) 是非空集，而謂項(xiàng)則可以是空集。
地理學(xué)
湖泊平面形態(tài)的變化主要受到氣候變化、泥沙淤積和河流侵蝕的影響。其中，整體退縮和整體擴(kuò)張是受氣候變化影響的主要類型。而局部退縮、局部擴(kuò)張和局部邊界凌亂變化是主要由泥沙淤積引起的變化類型。人類活動對湖泊平面形態(tài)的影響主要表現(xiàn)為整體擴(kuò)張、整體退縮和局部退縮。而河流侵蝕會導(dǎo)致整體退縮甚至整體消失。湖泊和河段的平面形態(tài)變化可以被看作是湖泊和河流平面形態(tài)變化的子集。整體消失可以被看作是整體退縮的極限狀態(tài)，通常是由于嚴(yán)重干旱或河流侵蝕導(dǎo)致湖泊水體完全消失，可以被視為是空集。
經(jīng)濟(jì)學(xué)
空集可以用來表示財(cái)富效應(yīng)下的合作解。不同議價能力(權(quán)力)的分布狀況將決定價格變化的分布，從而決定不同的收入分配的分布，并最終反映在積分路徑和加總結(jié)果(效率)的不同，從而說明了在宏觀分析中，財(cái)富收入效應(yīng)的重要地位決定了權(quán)力分析的必要性和重要性。如果考慮到不同收入分配產(chǎn)生的福利效應(yīng)即貨幣邊際效用的變化以及效用感受能力的變化，在處理外部性問題的交易談判中，合作解很可能是空集。
例如在外部性事件中，A的活動對B造成120單位的效用損失。當(dāng)B有權(quán)利自由活動時，則A要堅(jiān)持其活動必須補(bǔ)償B以120單位的效用。但是補(bǔ)償一定要表現(xiàn)為實(shí)物或貨幣，100美元對A和B的基數(shù)效用不同，同時對于A和B在不同狀態(tài)時也不同，當(dāng)A富有時，100相當(dāng)于120個效用單位，當(dāng)A貧困時則相當(dāng)150個單位效用。因此，在不同權(quán)利初始配置下，補(bǔ)償大小不一致并且A和B對補(bǔ)償?shù)膶?shí)物效用大小也存在分歧(即一種沒有策略行為的分歧)，合作解也就會是空集。
物理學(xué)
空集可以用來描述物理真空源的兼容性。物理實(shí)在的真空理應(yīng)由物理基元的零點(diǎn)能量所定義。由于夸克是物質(zhì)基元，所以可定義是一種物理真空元。它是任何夸克蛻變?yōu)?a href="/hebeideji/9156875440236375583.html">基態(tài)所釋放的最低能量元。同時由于是最低能態(tài)的自由夸克，不可能再衰變。所以，和是兩種物理真空元，它們構(gòu)成了物理真空。這兩種真空元具有互補(bǔ)性，因?yàn)橛啥x式得到的不是差集，而是補(bǔ)集，即為關(guān)于的補(bǔ)集，所以，由公式有:和兩者是兼容的，不存在交合。是零點(diǎn)費(fèi)米子，而是零點(diǎn)玻色子，共同構(gòu)成零點(diǎn)真空場。
參考資料 >