外延公理（axiom of extensionality），是指一個集合完全由它的成員確定；當且僅當它們擁有相同的元素時，兩個集合相同。
1874-1897年，格奧爾格·康托爾（G.Cantor）發表了一系列論文，他以“樸素的”觀點來看待集合的，但沒有明確規定對于已知集合做哪些事情是合法的。隨著對集合論的不斷研究，外延公理的最初雛形在捷克數學家波爾查諾（Bolzano）的《幾何理論》（Gr??enlehre）中被提出，1888年，數學家尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）在他的隨筆中闡述了潛在的外延公理，1908年，受戴德金的影響，且隨著人們陸續發現在素樸集合論中存在悖論，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）提出了第一個公理化集合論系統，其中外延公理作為第一條公理被引進。后來弗蘭克爾對策梅洛的公理系統作了改進，所得公理系統被稱為策梅洛-弗蘭克爾系統，簡記為ZF系統。
外延公理定義了集合的相等性，它具有自反性、對稱性和傳遞性的性質，ZF公理系統中的其他公理，如空集定理，可以通過外延公理進行證明。邏輯學中，外延性原則是與外延公理相關的準則，但是也存在很多違反該原則的例子，如主觀概率判斷。
定義
如果一個集合的所有元素也是的元素，反之亦然，則。簡而言之，一個集合完全由它的成員確定；當且僅當它們擁有相同的元素時，兩個集合相同，即。
簡史
背景
1874-1897年，格奧爾格·康托爾（G.Cantor）發表了一系列論文，奠定了集合論的基礎，從此集合論的概念和結果被廣泛應用于數學的各個分支。在集合論創立的初期，康托爾是以所謂“樸素的”觀點來看待集合的，沒有明確規定對于已知集合做哪些事情是合法的。
提出
外延公理的最初雛形在捷克數學家波爾查諾（Bolzano）的《幾何理論》（Gr??enlehre）中被提出，不過他的著作在他死后的1975年才被發表。1888年，數學家尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）在他的隨筆中闡述了潛在的外延公理，他認為，當的元素是的元素，的元素是的元素時，系統與系統相同，用符號表示為。
1908年，受戴德金的影響，且隨著人們陸續發現在樸素集合論中存在悖論，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）提出了第一個公理化集合論系統，該系統建立在帶等詞的一階謂詞邏輯基礎之上，包含"集合”和“屬于”2個初始概念和外延公理等7條公理，其中外延公理作為第一條公理被引進。后來弗蘭克爾對策梅洛的公理系統作了改進，所得公理系統被稱為策梅洛-弗蘭克爾系統，簡記為ZF系統。
相關性質
外延公理可以判斷兩個以不同方式定義的集合的相等性，即它們有相同的元素。
自反性
自反性即，任何東西都和自己相等，這一性質稱為同一律。
對稱性
對稱性即，就是說，如一對象等于另一對象，則另一對象也等于這一對象。
傳遞性
傳遞性即，就是說，如果兩個對象和同一個對象相等，則這兩個對象也相等。
其他公理
ZF系統(ZF syslem) 簡稱ZF，集合論的重要公理系統之一。它在1908年首先由恩斯特·策梅洛提出，后經斯科倫(Skolem，A.T.)、弗倫克爾(Fraenkel，A.A.)的改進與補充，是格奧爾格·康托爾集合論方法的形式化處理。ZF系統的原始概念是集合和屬于關系。外延公理為該公理系統的第一條公理，它可以用于其他公理的證明。
空集公理
定理：存在一個唯一沒有元素的集合。
證明：假定和都是沒有元素的集合。那么，的每個元素都是的一個元素（因為沒有元素，陳述“蘊涵”是一個前件為假的蘊涵式，因此自然為真）。類似地，的每個元素也是的一個元素（因為沒有元素）。因此，根據外延公理，有。
配對公理
定理：對于任意的集合和，存在一個集合使得當且僅當或。形式化表示為：。
證明：由于并且，并且中沒有其他元素。事實上，令是滿足當且僅當或者的又一個集合，于是，當且僅當或者當且僅當，即：當且僅當，根據外延公理得。因此，集合唯一。證畢。外延公理不僅可以用來定義集合相等，也保證了集合的唯一性。
外延公理由和組成的無序對，這樣的集合通常形式的記為：。
冪集公理
定理：對于任意的集合而言，存在一個集合，使得當且僅當。形式化表示為：。
證明：由外延公理可以證明集合也是唯一確定的。于是可推導出如下冪集的定義：
由的所有子集構成的集合被稱為的冪集，記作，即：。
并集公理
，該式表明，給定任意的集合，都存在一個集合以的所有元素為元素。其中表示是集合的元素。
置換公理
，其含義是，對于任何函數，如果它的定義域是一個集合，那么它的值域也是一個集合。其中是的縮寫，是的縮寫。
無限集存在公理
，其中“”是縮寫符號，。無限公理實際上是后繼存在公理，是集合的后繼集。
基礎公理
，該式表明，二元關系在每一個非空集合上都是良基的。它要求任一非空集合有一個“”極小元，把以自己為元素的集合排除掉。此公理與正則公理等價。對于任何一個非空集合都存在它的一個元素，的任意元素都不屬于。
子集公理
子集公理，即劃分公理，指任給一集和一性質，則集合中一切滿足性質的元素可以匯集起來構成一集，即為一集合。
推廣
在集合論的發展中，用反基礎公理替換基礎公理來刻畫循環的現象和問題成為必然。反基礎公理最早是由福蒂（Forti）和霍塞爾（Honsell）在他們1983年的一篇論文中給出的?，F在這條公理被奧采爾（Aczel）稱作，并構建了非良基集合論公理系統。
在良基集合上，相等的概念是用恩斯特·策梅洛（Zermelo）的外延公理定義的。外延公理斷言具有相同元素的集合是相等的。但是，既然承認基礎公理的否定成立，那么也就承認了和以及和都是集合，但是，策梅洛（Zermelo）的外延公理無法回答它們是否相等的問題。因為根據外延公理得到的是一個重言式：當且僅當，即：外延公理在判斷兩個非良基合是否相等失效。
Boffa集合全域B及其外延性
事實上，在中，存在真類多個自反集。一般地，有如下命題：
命題：假設。每個可達點圖都刻畫了真類多個不同的集合。
證明：對任一序數，取圖的個拷貝，這些拷貝可按下圖構成一個外延的可達點圖。由，存在一個單的裝飾，從而誘導出圖的不同裝飾，每個裝飾確定了一個集合，于是命題得證。
因為精確圖同構于典范圖，而每個集合的典范圖是唯一的。這樣根據命題可知如下的定義中的外延性公理：
定義：設，，分別為集合，的典范圖，則。
非良基集合全域V~及其外延性
令，其中是上的正則互模擬，它是一個等價關系。設是系統關于等價關系的商系統。奧采爾證明了是一個完全系統，從而是公理系統的一個模型。這樣，就可以用可達點圖來給集合建立一個模型。并且，在的假設下，所有外延的圖都是精確圖，從而有一個單的裝飾；另一方面，等價于是完全系統，每個外延的圖都有唯一單裝飾，從而對應著唯一集合。反過來，每個集合的典范圖是精確圖，從而也是外延的圖。由于而商系統的每個等價類的代表元構成的域與它具有同樣的性質，將這個商的每個等價類的代表元素構成的域記為，這樣，可以把公理系統中的集合全域（記為）與的某個子類等同起來，記為：。這里的等號“”并不是真正意義上的相等，可以理解為同構的意思，因為給每個外延可達點圖裝飾，都能唯一對應中一個集合，反之，每個中集合的典范圖都是一個外延可達點圖。因此，可以如下定義中的外延性公理：
定義：設，，分別為集合，的典范圖，則。
顯然，當取為時，可得到阿克采爾公理系統集合全域，記為；當取為時，可得到斯考特公理系統集合全域，記為；當取為時，可以得到費思勒公理系統集合全域，記為。這幾個非良基集合全域都是良基集合全域的擴張，而不是替換。更精確的說，有如下結論：
定理：。
證明：要證，要利用原始陳述，即，每個可達點圖都有唯一裝飾，其中包括良基圖和非良基圖。而根據集合的外延性可知不需要非外延的圖。于是包含對所有外延可達點圖進行裝飾所得到的集合，而只包含對所有良基外延可達點圖進行裝飾所得到的集合。所以，。另一方面有。而任意外延的系統必然是外延的系統，所以。綜上可得。
在公理系統的集合全域中，通常的外延公理用可達點圖的語言可以這樣來敘述：兩個集合相等當且僅當它們的典范圖同構。顯然，，所以該定義是通常外延公理的推廣。
其他解釋
外延性原則
邏輯學中，與外延公理相關的準則是外延性原則。外延性原則有兩個部分：
Ⅰ.任何命題函項的真值都唯一地依賴于自變量的真值；也就是說，假如和都是真的或者都是假的，那么在任何一個包含的句子中，當用代替時，視具體情況的不同，該句子依然是真的或假的。
Ⅱ.任何關于一個函項的函項的真值都唯一地依賴于該函項的外延；也就是說，假如只要是真的，就是真的，并且反過來也一樣，那么在任何一個關于函項的句子中，當用來代替時，視具體情況的不同，該命題依然是真的或假的。
外延性原則可以用于表示邏輯關系，外延性原則是辨別一關系是否邏輯相等關系的標準，具體地說，要知道和這兩者之間的關系是否有同一關系，可根據外延性原則，對凡是可以出現其中的真語句中都代之以（或相反，對出現的地方都換以），如果代換后的結果仍是真語句，則和是同一的。外延性原則表示了這樣一個極其重要的原理：兩個相等的東西可以互換，沒有這兩條原理，最簡單的數學運算都不能進行。
但是，也有一些例子明顯不符合外延性原則。人類在不確定條件下的概率判斷不符合外延性原則，而是表現出描述的依賴性，即對同一外延事件的不同描述所做出的主觀概率不同。人的主觀概率判斷具有非補償性，增加一個假設的概率判斷并沒有降低對其他競爭性假設的概率，反而當支持假設的證據增加時，判斷者對各個假設的概率判斷和也會增加，出現了促進效應。
此外，違反外延性原則的例子并不局限于概率判斷；在評價不確定性前景時，也可以觀察到這些現象。例如，有學者發現，與覆蓋所有住院類型的保險相比，那些（假設的）覆蓋所有因疾病或事故住院的保險會讓被試愿意支付更高的保費。明確提及疾病和事故增加了人們認為的住院治療的可能性，因此也增加了保險的吸引力。
參考資料 >
策梅洛-弗蘭克爾集合論.中國大百科全書.2024-02-04