在抽象代數(shù)（abstract algebra)中，同構(gòu)(isomorphism)指的是一個(gè)保持結(jié)構(gòu)的雙射(bijection)。在更一般的范疇論語(yǔ)言中，同構(gòu)指的是一個(gè)態(tài)射，且存在另一個(gè)態(tài)射，使得兩者的復(fù)合是一個(gè)恒等態(tài)射。
同構(gòu)是在數(shù)學(xué)對(duì)象之間定義的一類映射，它能揭示出在這些對(duì)象的屬性或者操作之間存在的關(guān)系。我們說f是一個(gè)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)f∈Γ（E,F）和f是一個(gè)雙射且對(duì)于E內(nèi)的任意元素a，b都有f(a*b)=f(a)·f(b)。又稱M與M′同構(gòu)，記作M～M′。這就使得理解和處理該對(duì)象結(jié)構(gòu)變得容易，并往往可以讓數(shù)學(xué)家對(duì)該領(lǐng)域有更深刻的理解。
定義
存在E和F兩個(gè)集合，且對(duì)于E、F各存在一種運(yùn)算，我們記作（符號(hào)可更換）*和·，對(duì)于E、F，*、·分別封閉（即對(duì)于任意兩個(gè)集合內(nèi)的元素，進(jìn)行運(yùn)算之后依然為該集合的元素，詳情見群論）。如果上面所描述的E、F為同一集合E，則說f是一個(gè)自同構(gòu)。
常見的同構(gòu)有：群同構(gòu)，環(huán)同構(gòu)，域同構(gòu)，向量空間同構(gòu)。
正式表述
同構(gòu)是在數(shù)學(xué)對(duì)象之間定義的一類映射，它能揭示出在這些對(duì)象的屬性或者操作之間存在的關(guān)系。若兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間存在同構(gòu)映射，那么這兩個(gè)結(jié)構(gòu)叫做是同構(gòu)的。一般來說，如果忽略掉同構(gòu)的對(duì)象的屬性或操作的具體定義，單從結(jié)構(gòu)上講，同構(gòu)的對(duì)象是完全等價(jià)的。
假設(shè)M，M′是兩個(gè)乘集，也就是說M和M′是兩個(gè)各具有一個(gè)閉合的結(jié)合法（一般寫成乘法）的代數(shù)系，σ是M射到M′的雙射，并且任意兩個(gè)元的乘積的像是這兩個(gè)元的像的乘積，即對(duì)于M中任意兩個(gè)元a,b,滿足；也就是說，當(dāng)，時(shí)，·σ（b）；那么這映射σ就叫做M到M′上的同構(gòu)。又稱M與M′同構(gòu)，記作M～M′。
目的
在數(shù)學(xué)中研究同構(gòu)的主要目的是為了把數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于不同的領(lǐng)域。如果兩個(gè)結(jié)構(gòu)是同構(gòu)的，那么其上的對(duì)象會(huì)有相似的屬性和操作，對(duì)某個(gè)結(jié)構(gòu)成立的命題在另一個(gè)結(jié)構(gòu)上也就成立。因此，如果在某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了一個(gè)對(duì)象結(jié)構(gòu)同構(gòu)于某個(gè)結(jié)構(gòu)，且對(duì)于該結(jié)構(gòu)已經(jīng)證明了很多定理，那么這些定理馬上就可以應(yīng)用到該領(lǐng)域。如果某些數(shù)學(xué)方法可以用于該結(jié)構(gòu)，那么這些方法也可以用于新領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)。這就使得理解和處理該對(duì)象結(jié)構(gòu)變得容易，并往往可以讓數(shù)學(xué)家對(duì)該領(lǐng)域有更深刻的理解。
性質(zhì)
對(duì)于
假定對(duì)于代數(shù)運(yùn)算來說與同構(gòu)，那么對(duì)于代數(shù)運(yùn)算來說與沒有什么本質(zhì)性的區(qū)別，只有命名上的不同，若一個(gè)集合有一個(gè)只于這個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算有關(guān)的性質(zhì)，那么另一個(gè)集合有一個(gè)完全類似的性質(zhì)。
參考資料 >