向量空間X上的一個(gè)線性映射f:X→X 如果即是單射又是滿射，則稱為X的一個(gè)自同構(gòu)。數(shù)學(xué)上，自同構(gòu)（automorphism）是從一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象到自身的同構(gòu)，可以看作這對(duì)象的一個(gè)對(duì)稱，將這對(duì)象映射到自身而保持其全部結(jié)構(gòu)的一個(gè)途徑。一個(gè)對(duì)象的所有自同構(gòu)的集合是一個(gè)群，稱為自同構(gòu)群，大致而言，是這對(duì)象的對(duì)稱群。
定義
在數(shù)學(xué)中，自同構(gòu)（automorphism）是一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象對(duì)其本身的一個(gè)同構(gòu)。從某種意義上講，是對(duì)對(duì)象本身的一種對(duì)稱鏡像，一種把對(duì)象映射到自身的同時(shí)保持其全部結(jié)構(gòu)的一種方式。對(duì)象的所有自同構(gòu)體構(gòu)成一個(gè)集合，稱為自同構(gòu)群。或者籠統(tǒng)地稱為該對(duì)象的對(duì)稱群。
自同構(gòu)的準(zhǔn)確定義取決于問題里“數(shù)序?qū)ο蟆钡念愋停瑴?zhǔn)確地講，是什么構(gòu)成了那個(gè)對(duì)象的“同構(gòu)”。這些名詞用的最多的是在一個(gè)稱為范疇論的抽象數(shù)學(xué)分支。范疇論處理抽象對(duì)象以及這些對(duì)象之間的同態(tài)性。
在范疇論里，自同構(gòu)就是自同態(tài)( 既一個(gè)對(duì)象對(duì)自身的同態(tài)）。其也是一個(gè)同構(gòu)（以范疇論的術(shù)語(yǔ)來(lái)講）。
在抽象代數(shù)里，一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如群，環(huán)，向量空間。一個(gè)同構(gòu)就是一個(gè)簡(jiǎn)單的雙射同態(tài) （ bijective homomorphism)。(一個(gè)同態(tài)的定義取決于代數(shù)結(jié)構(gòu)的類型，比如群同態(tài)，環(huán)同態(tài)，線性映射）
單一同態(tài)（單一映射）在一些地方稱為平常自同構(gòu)。相應(yīng)的，其他的（非單）的自同構(gòu)稱為非常自同構(gòu)。
歷史
群自同構(gòu)的一個(gè)最早期的例子，是愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓在1856年給出。在他的Icosian calculus中，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)2階的自同構(gòu)。
例子
在集合論中，一個(gè)集合X的元素的任一個(gè)置換是一個(gè)自同構(gòu)。X的自同構(gòu)群也稱為X上的對(duì)稱群。在初等算術(shù)中，整數(shù)集Z，考慮成在加法下的一個(gè)群，有唯一的非平凡自同構(gòu)：取負(fù)。但是，考慮成一個(gè)環(huán)，便僅有平凡自同構(gòu)。一般而言，取負(fù)是任何阿貝爾群的自同構(gòu)，但不是一個(gè)環(huán)或域的自同構(gòu)。群自同構(gòu)是一個(gè)群到自身的群同態(tài)。在線性代數(shù)中，向量空間V的一個(gè)自同態(tài)是一個(gè)線性映射 V → V。一個(gè)自同構(gòu)是V上的一個(gè)可逆線性算子。當(dāng)向量空間V是有限維的，其自同構(gòu)群即是一般線性群GL(V)。域自同構(gòu)是從一個(gè)域到自身的一個(gè)雙射環(huán)同構(gòu)。在圖論中，一個(gè)圖的圖自同構(gòu)，是頂點(diǎn)的一個(gè)置換，使得邊與非邊保持不變。在幾何學(xué)中，空間的一個(gè)自同構(gòu)有時(shí)稱為空間的運(yùn)動(dòng)。在拓?fù)鋵W(xué)中，拓?fù)淇臻g的態(tài)射是連續(xù)映射，一個(gè)拓?fù)淇臻g的自同構(gòu)是空間到自身的同胚。
自同構(gòu)群
自同構(gòu)群(group of automorphisms)重要的幾何變換群，是幾何學(xué)分類的依據(jù)，指群自身的映射所構(gòu)成的群。群G的所有自同構(gòu)在映射的合成運(yùn)算下構(gòu)成的一個(gè)群，稱為群G的自同構(gòu)群，常記為Aut(G)。
設(shè)S是給定的空間，U是S上的一個(gè)圖形，若S到自身的一個(gè)變換g把U變到U自身，則稱g是關(guān)于U的自同構(gòu)變換，簡(jiǎn)稱關(guān)于U的自同構(gòu)。S上關(guān)于U的自同構(gòu)變換的全體構(gòu)成一個(gè)變換群，稱它為關(guān)于U的自同構(gòu)群。在變換中保持不變的這個(gè)圖形U稱為絕對(duì)形。例如，在射影平面上取一條直線作無(wú)窮遠(yuǎn)直線，則在射影平面上保持無(wú)窮遠(yuǎn)直線不變的自同構(gòu)射影變換構(gòu)成一個(gè)變換群，它是關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)直線的自同構(gòu)群，同時(shí)它也是二維射影變換群的子群，即仿射變換群。
內(nèi)自同構(gòu)和外自同構(gòu)
有一些范疇，特別是群、環(huán)、李代數(shù)，其中的自同構(gòu)可以分為兩種，稱為“內(nèi)”自同構(gòu)和“外”自同構(gòu)。對(duì)群而言，內(nèi)自同構(gòu)就是群本身的元素的共軛作用。對(duì)一個(gè)群G的每個(gè)元素a，以a共軛是一個(gè)運(yùn)算φa : G → G，定義為φa(g) = aga?1（或a?1ga；用法各異）。易知以a共軛是一個(gè)群自同構(gòu)。內(nèi)自同構(gòu)組成 Aut(G)的一個(gè)正規(guī)子群，記作Inn(G)。其他的自同構(gòu)稱為外自同構(gòu)。商群Aut(G) / Inn(G)通常記為Out(G)；非平凡元素是包含外自同構(gòu)的陪集。在任何有幺元的環(huán)或代數(shù)中的可逆元a，可以同樣定義內(nèi)自同構(gòu)。對(duì)于李代數(shù)，定義有少許不同。
參考資料 >