李代數（Lie algebra）是一種在數學中廣泛應用的代數結構。
李代數的發現源于19世紀末葉。19世紀挪威數學家索菲斯·李（Marius Sophus Lie）在研究線性偏微分方程組解的積分曲線時，發現了無窮小變換群（這就是現代的局部李群）以及無窮小變換群的李代數。后其學生恩斯特·恩格爾（Engel，F.）等人致力于李代數的研究，到20世紀初，嘉當（Cartan，é.（-J.））解決了復半單李代數的分類。隨后，嘉當陸續解決了實單李代數的分類，并成功地確定了單李代數的不可簡化的線性表示以及對稱黎曼空間的分類，表示的分類等。同時，赫爾曼·外爾（Weyl，（C.H.）H.）詳盡地討論了緊李群，給出了緊李群分類和緊李群的表示的分類。20世紀30年代后，李群及其李代數不僅本身理論（包括結構理論和表示理論）有著迅速的發展，而且不斷地擴大應用范圍，成功地滲透到理論物理學中。
與李代數相關的概念是李群，李群是拓撲結構，李代數是相應的代數結構。表示和模為李代數的兩個重要工具。常見的李代數類型有線性李代數、冪零李代數及可解李代數等。李代數理論與方法在物理學、工程學等領域具有廣泛的應用價值，如李代數在物理學中用于描述基本粒子的對稱性和相互作用等。
定義
李代數是一類重要的非結合代數。記為域上的向量空間，若中除了加法和標量積，還有第三種代數運算：，記為，，，它適合條件：
則稱為和的換位運算，亦稱“方括號運算”。這時稱為域上的李代數，簡稱李代數。當的維數有限時，稱為有限維李代數；當的維數無限時，稱為無限維李代數。
簡史
李代數的發現源于19世紀末葉。19世紀挪威數學家索菲斯·李（Marius Sophus Lie）在研究線性偏微分方程組解的積分曲線時，發現了無窮小變換群（這就是現代的局部李群）以及無窮小變換群的李代數。
此后，他的學生恩斯特·恩格爾(Engel，F.)等人致力于李代數的研究，到20世紀初，埃里·嘉當（Cartan，é.（-J.））解決了復半單李代數的分類。隨后，嘉當陸續解決了實半單李代數的分類，并成功地確定了單李代數的不可簡化的線性表示以及對稱黎曼空間的分類，表示的分類等。同時，赫爾曼·外爾（Weyl，（C.H.）H.）詳盡地討論了緊李群，給出了緊李群分類和緊李群的表示的分類。
20世紀30年代后，李群及其李代數不僅本身理論（包括結構理論和表示理論）有著迅速的發展，而且不斷地擴大應用范圍，成功地滲透到理論物理學中。在阿爾伯特·愛因斯坦（Einstein，A.）的相對論中，運動群就是洛倫茨（Lorentz，G.G.）群，這是一個四維實單李群。李群理論的深入發展，派生出代數群理論，它們對數學的許多分支，都有深刻的影響，而從復及實李代數，自然地推廣到一般城上的李代數理論。
另一方面，無限維李代數也從20世紀60年代開始發展起來，最重要的是作為復半單李代數的推廣而出現的卡茨-穆迪李代數，以及維拉索羅代數，它們從一開始就和理論物理有著密切聯系，且與組合數學、代數數論、孤立子理論有著深刻的聯系。
舉例
若為域上的結合代數，滿足結合律的乘法，記為，，則運算，為換位運算，在此運算下，為李代數。特別地，若為由所有矩陣構成的結合代數，則在矩陣運算下定義，便構成一個維李代數。
相關概念
李群
李群（Lie group）是具有拓撲結構和導數結構的群。若為實（或復）拓撲流形，且關于此拓撲為拓撲群，則稱為實（或復)李群，這時流形之實（或復）維數稱為此實（或復）李群的維數。李群具有李代數的結構，每個李代數都存在唯一一個單連通的李群。
子代數與理想
設是李代數，的一個子空間稱為的一個子代數，如果；換句話說，對任意總有。的一個子空間稱為的一個理想，如果；換句話說，對任意，總有。
的理想自然是的子代數。如和是的理想，則+和也是的理想。
商代數
設是李代數的理想，可定義商空間/，它由對的所有陪集（即同余類）組成。如，記=+為所屬的的同余類，即商空間/中的一個元素，定義：
=
可以證明，這個定義與同余類中代表元素的選取無關。這樣，商空間/對于如此定義的換位運算組成一個李代數，稱為對的商代數。
表示與模
表示
線性表示
李代數的線性表示是研究李代數表示的重要工具。設為域上的李代數，為域上的向量空間。上所有線性變換構成的集合，它也是上線性空間。若在中引進換位運算=-，則為域上李代數，到的同態稱為李代數的線性表示，簡稱表示。線性空間稱為表示空間。當為有限維線性空間時，稱為有限維表；為無限維線性空間時，稱為無限維表示。當為Hilbert空間，由酉算子構成，則稱為酉表示。線性表示有時也記為。設和都是李代數的線性表示，若存在到上的線性同構，使得=，，則稱和是等價的。
矩陣表示
設為域上有限維李代數。若域上所有階方陣構成之李代數記為，則到內之同態稱為李代數的矩陣表示。若為的線性表示，在中取定基，則中每個元都對應一個矩陣，從而誘導了矩陣表示。反之，給定的矩陣表示，設，為階方。若任取維向量空間，在中取定一組基，取出對應方陣之線性變換，，則得到的線性表示。所以矩陣表示實際上是線性表示的矩陣表達形式。
子表示
設為李代數的線性表示。若中子空間，滿足（），則稱為不變子空間。這時限制在線性子空間上仍為線性變換，改記為，。仍為李代數的線性表示，稱為李代數的表示之子表示。設為李代數的表示之不變子空間，考慮商向量空間，于是可定義=，，。此定義和等價類中代表元素之選取無關，且，為商空間上線性變換，而且為李代數的表，稱為表示的商表示。
可約與不可約表示
李代數的不可約、可約表示是李代數一類重要而基本的表示，設為李代數的表示，若表示空間中真不變子空間等于零，則稱為李代數的不可約表示；否則，稱為可約表示。不可約表示所對應的模是不可約的。李代數的完全可約表示是李代數一類重要的表示，可歸結為不可約表示。設為李代數的表示，若對中任一不變子空間，必存在另一不變子空間，使得=+為空間直和，則表示稱為完全可約的。由定義，不可約表示完全可約。若為的有限維表示且完全可約，則必可分解為不可約子模的直和=++······+（分解的方法不一定惟一)。若李代數的任一有限維表示完全可約，則稱為約化李代數，約化李代數為中心及單理想之直和。因此，緊李代數必為約化李代數。
模
李代數模
李代數模是李代數表示的一種等價概念。設為域上的李代數，為域上的向量空間。若運算滿足：
=+ （）；
=+（）；
=- （）；
則稱為模。給出一個模，=，，定義了一個表示。反之，若是的表示，則也可以看做一個模，且的每個子表示都對應模的一個子模。
張量積
假設及是李代數的兩個表示，與都是作用在同一上向量空間的線性變換；假設，若是第一個表示中的任一個表示變換，是第二個表示中的任一個表示變換，則。
定義從到的線性變換全體所成代數中對的一個新映象：
因為這是線性映像與的和，所以是線性的。
設，，則在新映象中有
。
因此+++=+
且因為+，所以這新映象是一表示。
其次假設與是李代數的任意兩個模。設是與的張積量（或積）。
若是的線性變換，則映象，是中的一線性變換，有下列運算規則：
，
，
，
。
以上可得，映象（是的恒等映象）是的線性變換全體所成代數到內的同態。相似地，是到內的同態。設是由所決定的表示。與相聯系的線性變換是。把李代數同態與到中的結合代數同態（因此也是李代數同態）連接起來所得結果是在中的一個表示。用這種方法所得到的的這兩個表示是
及。
若，則。
因此前一段中所提出的交換性質成立。得出+是在中的一個表示。用此方法，就成為由所定義的具有模運算的模。由這樣的方法所得到的模稱為模與的張量積，記作。
反軛模
李模及由上所有線性函數（對基域而言）所成的對偶空間，把線性函數在向量處所取的值記作。于是，這個乘積是雙線性的：
，
，
。
而且這個乘積是非退化的。中的任一線性變換決定中一個伴隨變換，使得
映象是到內的結合代數反同態。映象是線性的，且
因此 是到 內的同態。如果把由所決定的表示與 連接起來，結果就得到的一個新表示 。對相應的模，有
因此聯系著這兩個模的特征性質是
用這個方法所定義的模稱為的反軛模，它的相應的表示記作。
常見的李代數
線性李代數
線性李代數是由線性變換構成的李代數。設是域上的維向量空間，為上所有線性變換構成的集合，它在運算=-下構成維李代數，稱為一般線性李代數，它的任一子代數稱為線性李代數。在中取定基后，將與上所有階方陣的集合等同起來，并記為，它的子代數稱為矩陣代數。
冪零李代數
冪零李代數是類似于一般代數中的冪零代數。若為域上的李代數，記：
=，=（=2,3，···），
則，···都是的理想，且有···。若存在自然數，使得=，則稱為冪零李代數。例如，所有階對角元素都是零的上三角方陣的全體構成冪零李代數。若李代數的換位運算是平凡的，即=0，則稱為交換李代數。
可解李代數
若為域上的李代數，記：
=，=（=2,3，···），
則，···為之理想，且有···，又有（=1，2，···），若存在自然數，使得=，則稱為可解李代數。冪零李代數為可解李代數，但反之不一定。例如，所有域上階上三角方陣全體，在換位運算=-下為可解李代數，但不是冪零李代數。
單李代數
設為域上的李代數，若的非零理想只有本身，且，則稱為單李代數。單李代數必為半單李代數，反之，在實數及復數的情形，半單李代數必為單理想子代數的直和，因此，研究實及復半單李代數的問題化為研究實及復單李代數。
復單李代數
復單李代數是復數域上結構最簡單的李代數，復單李代數在同構下的標準形為四大類和五個特殊類。四大類可以用矩陣李代數實現，分別是：
1.（）。
2.（）。
3.（），其中。
4.（）。
另外五個特殊類分別有維數14，52，78，133，248，它們的實現比較復雜。
緊李代數
若實李代數上有點積（即正定對稱雙線性函數）適合不變性，即（），則稱為緊李代數，緊李代數必為中心及維數大于1的緊單李代數的理想直和，且復單李代數中在同構意義下，有且只有一個緊李代數，因此緊單李代數在同構下的標準形也為四大類及五個特殊類，四大類可以用矩陣李代數實現，分別是：
1.（）。
2.（）。
3.（）
4.（）。
五個特殊類的實現比較復雜。
相關定理
Lie定理
設是作用在有限維向量空間上的可解線性李代數，則中有非向量存在，使對一切，而是定義在上取復數值的線性函數，即是中一切線性變換的公共特征向量。
Engel定理
線性變換的形式：設是個有限維線性空間，，是的子代數，而。如中每個元素都是冪零線性變換，則有 ，使，對一切。
抽象代數的形式：李代數冪零，當且僅當對任意，都冪零。
相關推廣
環
環論是抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系，在非空集合中定義加法“”和乘法“”運算，使得中任意元，，適合條件：
1.對加法為交換群，稱為的加法群，記為；
2.對乘法適合結合律，即是半群，稱為的乘法半群；
（左分配律），
（右分配律）；
則稱為結合環，簡稱環。
李環
設是一個非空集合，如果在其上定義了兩種運算：，，并且滿足：
1.關于加法運算構成交換群；
2.關于換位運算滿足反交換性：，和恒等式，；
3.分配律成立：，；
則稱為環。
應用
數學
差分幾何是研究曲面和曲線的數學分支，李代數在這一領域中用于描述各種幾何結構的對稱性和變換。特別是在處理流形上的光滑向量場時，李代數提供了一種理解這些向量場如何相互作用和變換的框架。例如，李代數用于描述和分析流形上的李群作用，這在理解流形的局部和全局性質方面至關重要。在復雜的幾何結構，如多維流形和曲率空間中，李代數幫助數學家構建和解析這些空間的內在對稱性。
物理學
李代數在物理學中扮演著核心角色，尤其是在理解基本粒子的對稱性和動力學以及分子光譜中。在量子力學中，李代數幫助描述了粒子的自旋、角動量以及各種守恒定律。例如，李代數與電子的自旋對稱性有關，而代數則與經典的角動量守恒相關。在粒子物理學的標準模型中，李代數用于描述基本粒子如夸克和輕子之間的相互作用。這些相互作用通常通過規范對稱性來表達，而規范對稱性本身就是基于特定的李代數。如代數在描述強相互作用（控制夸克之間的結合）時起著關鍵作用。其次，李代數方法在分子光譜中的應用也十分廣泛，如李代數方法可用于研究多原子分子的光譜。
工程學
在自動控制理論中，李代數用于分析和設計反饋控制系統。通過研究系統的狀態空間和控制輸入之間的關系，李代數幫助工程師設計出更有效的控制策略。例如，在航天器的姿態控制和機器人臂的運動規劃中，李代數的概念被用來設計控制算法，確保系統能夠以期望的方式響應外部輸入；在機器人動力學中，李代數是旋量表示的李群的代數結構，主要應用于主被動關節機器人的動力學建模過程，有助于抓住動力學的本質，進一步形成高效的遞推動力學模型。
參考資料 >
李代數李群變換示意圖.Bing搜索.2024-01-31
李群李代數.中科院物理所.2024-02-03