向量空間又稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何里引入向量概念后，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯系的向量空間概念。譬如，實系數多項式的集合在定義適當的運算后構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算后，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。向量空間它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。
詳細定義
向量空間亦稱線性空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：
1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應于V內惟一確定的一個元素，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為標量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) ，對任意.
2) ，對任意.
3) 存在一個元素，對一切有，元素0稱為V的零元.
4) 對任一，都存在使，β稱為α的負元素，記為.
5) 對P中單位元1，有.
6) 對任意有.
7) 對任意有.
8) 對任意有，
則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域。當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是復數域時，V稱為復線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關于向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體矩陣組成的集合Mmn(P)，V的加法與標量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則Mmn(P)是數域P上的線性空間.V中向量就是矩陣。再如，域P上所有n元向量構成的集合P對于加法：與純量乘法：構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
線性空間是在考察了大量的數學對象(如幾何學與物理學中的向量，代數中的n元向量、矩陣、多項式，數學分析中的函數等)的本質屬性后抽象出來的數學概念，近代數學中不少的研究對象，如賦范線性空間、模等都與線性空間有著密切的關系。它的理論與方法已經滲透到自然科學、工程技術的許多領域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進向量一詞，并開創了向量理論和向量計算。赫爾曼·格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維三維空間的系統理論。1844—1847年，他與奧古斯丁-路易·柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀的、成為一個純粹數學概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。
公理化定義
設F是一個域。一個F上的向量空間是一個集合V和兩個運算：
向量加法：+ : 記作
標量乘法：· : 記作 及
符合下列公理 ( 及 )：
向量加法結合律：；
向量加法交換律：；
標量乘法分配于向量加法上：；
標量乘法分配于域加法上:；
標量乘法一致于標量的域乘法:；
標量乘法有單位元: , 這里 1 是指域 F 的乘法單位元。
有些教科書還強調以下兩個公理：
V 閉合在向量加法下：
V 閉合在標量乘法下：
更抽象的說，一個F上的向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標量。若F是實數域R，V稱為實向量空間；若F是復數域C，V稱為復向量空間；若F是有限域，V稱為有限域向量空間；對一般域F，V稱為F-向量空間。
首5個公理是說明向量V在向量加法中是個尼爾斯·阿貝爾群，余下的5個公理應用于標量乘法。
以下都是一些很容易從向量空間公理推展出來的特性：
零向量（公理3）是唯一的
，這里 0 是F的加法單位元
，則可以推出要么 ，要么
v的加法逆元（公理4）是唯一的（寫成?v），這兩個寫法及 都是標準的
線性無關
如果V是一個線性空間，如果存在不全為零的系數，使得，那么其中有限多個向量稱為線性相關的.
反之，稱這組向量為線性無關的。更一般的，如果有無窮多個向量，我們稱這無窮多個向量是線性無關的，如果其中任意有限多個都是線性無關的。
子空間
設W為向量空間 V 的一個非空子集，若W在 V 的加法及標量乘法下是封閉的，就稱W為 V 的線性子空間。
給出一個向量集合 B，那么包含它的最小子空間就稱為它的擴張，記作 span(B)。另外可以規定空集的擴張為{0}。
給出一個向量集合 B，若它的擴張就是向量空間 V，則稱 B 為 V 的生成集合。
給出一個向量集合 B，若B是線性無關的，且B能夠生成V，就稱B為V的一個基。若 ，唯一的基是空集。對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集，也是極大線性無關組。
如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那么就稱 V 是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如，實數向量空間：中， Rn的維度就是 n。
空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中向量的線性組合。而且，將基中向量進行排列，表示成有序基，每個向量便可以坐標系統來表示。
線性映射
若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設定由V到W的線性變換或“線性映射”。這些由V到W的映射都有共同點，就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映射，以 L(V, W) 來描述，也是一個域F上的向量空間。當 V 及 W 被確定后，線性映射可以用矩陣來表達。
同構是一對一的一張線性映射。如果在V 和W之間存在同構，我們稱這兩個空間為同構；域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構。
一個在F場的向量空間加上線性映射就可以構成一個范疇，即尼爾斯·阿貝爾范疇。
額外結構
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：
一個實數或復數向量空間加上長度概念。就是范數稱為賦范向量空間。
一個實數或復數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。
一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。
參考資料 >