點積空間（inner product space）是具有內積運算的向量空間。其定義為：設V是一個線性空間，對任意x,y∈V有一個實數與之對應并記為(x,y)，如果這種對應關系滿足對稱性公理、關于第一變元的線性公理、正定性公理，則稱V為內積空間。
數學中的空間是指某種對象構成的集合，這些概念起源于泛函分析的興起。1903年，法國數學家雅克·阿達馬（Hadamard）首先采用了“泛函”一詞。戴維·希爾伯特（Hilbert）通過嚴密的極限過程將有限線性代數方程的結果類比推廣到積分方程，在這一過程中，他引進了平方可和實數列的集合，即為希爾伯特空間。其學生施密特（Schmidt）和數學家約翰·馮·諾依曼（von Neumann）等人對該空間進一步研究，應用點積的工具進行幾何類比，正式確定了內積空間的概念。1922年，波蘭數學家斯特凡·巴拿赫（Banach）提出了比點積空間更為一般的賦范空間的概念，用范數代替內積定義向量空間中點列的收斂性與空間的拓撲結構。次年，他又提出了完備賦范空間的概念，后人稱為巴拿赫空間。對其他學科復雜問題的探索也促使內積空間理論取得進一步發展。1942年，不定內積空間的概念出現在保羅·狄拉克（Dirac）有關量子場論的文章中。1974年，波哥納（Bogner）給出關于一般不定內積空間理論的第一本專著，其上的線性映射也逐漸開始為人們所理解。
內積空間可通過范數定義，因此它是賦范線性空間，具備正尺度性、三角不等式等性質。線性代數中格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）標準正交化過程可推廣到內積空間上來，它可以用于討論可分希爾伯特空間的結構。如果不滿足定義中的正定性，可形成不定內積空間。此外，內積空間在現實世界中應用廣泛，如計算機科學中，基于語義內積空間模型的文本聚類算法可以用于中文短文本數據的聚類，并且提升質量。
定義
設是一個向量空間，對任意的有一個實數與之對應并記為。如果這種對應關系滿足：
（1）對任意，有；
（2）對任意，，有；
（3）對任意，有；
（4）對任意，有，當且僅當時，，則稱為點積空間，稱二元函數為內積。這4個條件稱為內積公理，條件（1）為對稱性，條件（2）和（3）為關于第一變元的線性，條件（4）為正定性。
特別地，稱實數域上的內積空間為歐幾里得空間（簡稱為歐氏空間）；稱復數域上的內積空間為酉空間或復內積空間。若內積空間是完備的，則稱為希爾伯特空間。
歷史
早期研究
數學中的空間是指某種對象構成的集合，這些概念起源于泛函分析的興起，最初它與變分法和積分方程的研究有關。1903年，法國數學家雅克·阿達馬（Hadamard）首先采用了“泛函”一詞，意大利數學家伏爾泰（Volterra）稱其為線函數（即曲線的函數）。同樣在20世紀初，戴維·希爾伯特（Hilbert）通過嚴密的極限過程將有限線性代數方程的結果類比推廣到積分方程，在這一過程中，他引進了平方可和實數列的集合（即希爾伯特空間），這是歷史上第一個具體的無窮維空間。但是，他本人沒有使用幾何語言對其進行定義。
后來，希爾伯特的學生施密特（Schmidt）和美籍匈牙利數學家約翰·馮·諾依曼（von Neumann）等人進一步研究空間，把每個平方可和無窮實數列看作中的一個“點”，應用點積的工具進行幾何類比，正式確定了內積空間的概念，他們的成果是三維空間中向量長度的推廣。依照三維空間中垂直的概念，他們用內積定義了內積空間中兩個向量的正交（垂直），并且在內積空間中定義了標準正交系。此后，數學家們又發現了平方亨利·勒貝格（Lebesgue）可積函數空間以及無窮維內積空間的其他示例。
后續發展
除戴維·希爾伯特之外，法國數學家弗雷歇（Frecher）于1906年發表的博士論文中對空間與函數關系進行了明確的闡述。他還將普通的微積分運算推廣到了函數空間，為泛函分析的理論奠定了基礎。1922年，波蘭數學家斯特凡·巴拿赫（Banach）提出了比點積空間更為一般的賦范空間的概念，用范數代替內積定義向量空間中點列的收斂性與空間的拓撲結構。他在1923年又提出了完備賦范空間的概念，后人稱為巴拿赫空間。在這個空間上，完備賦范空間上的線性算子理論被建立，該理論中的一些結論可以用于解決積分方程、三角級數等問題。
對其他學科復雜問題的探索促使內積空間理論進一步發展。約翰·馮·諾依曼（von Neumann）研究了希爾伯特空間上的對稱映射，發現量子力學所用的數學工具恰好是這種算子的譜理論。1942年，不定內積空間的概念出現在保羅·狄拉克（Dirac）有關量子場論的文章中。后來，列夫·龐特里亞金（Pontriakin）為了研究力學問題，也開始從數學上探討不定內積空間上的算子理論，1974年，波哥納（Bogner）給出關于一般不定內積空間理論的第一本專著，其上的線性算子也逐漸開始為人們所理解。
舉例
（1）在實數域上維向量空間中，對向量，，定義實數域點積，則成為一個歐氏空間。
（2）在復數域上維向量空間中，對向量，，定義復數域點積，其中，則成為一個酉空間。
（3）對定義于區間上的連續實值函數全體，定義點積，，則有形成一內積空間。
（4）記為滿足條件的平方可積復值函數全體，定義點積，
，則有是一個內積空間。
（5）若是點積空間與的勒內·笛卡爾乘積，定義點積，，則有形成一內積空間。此時，與可以看作分別是的子空間與。
（6）對于實矩陣空間中的矩陣，，定義，則是上的點積，是歐式空間。
（7）在隨機變量的二階矩存在時，條件期望有一個幾何解釋。在中，設隨機變量，定義內積。若，定義的模；若，考慮，相當于在歐氏空間中把向量起點平移到原點。假定隨機變量的均值為零，若和不相關，則稱和正交（或垂直）。若隨機變量和獨立，則和必正交。在點積的定義下，是一個戴維·希爾伯特內積空間。
性質
賦范空間
設是內積空間，則由內積定義的映射，是上的范數，稱為由內積誘導的范數。內積空間滿足賦范向量空間的所有性質。
（1）正尺度性：對于實數域（或復數域）的子域中的所有以及所有和，具有 ；
（2）三角不等式：對所有和，；
（3）正定性：當且僅當為零向量；
（4）平行四邊形公式：對所有和，；
（5）柯西-施瓦茨不等式：對于中的任意兩個向量和，。此外，當且僅當對于某些，時，等號成立。
（6）托勒密不等式：度規空間中的四點滿足 。
（7）極化恒等式：
當是實內積空間時，。
當是復內積空間時，。
因此，點積的實部為，虛部為。
正交性
定義：設是內積空間，，若，則稱與正交，記為。
正交補集：設是內積空間中的真子集，則集合稱為集合的正交補集。
勾股正交：設是內積空間，則對任意都有。用歸納法可以將該定理進行推廣，即若兩兩正交，應有。
距離：設是內積空間，中向量與之間的距離定義為，并稱是由長度導出的距離。
計算
正交化
標準正交基：設是維點積空間的一組基，若對一切都成立，則稱這組基是的一組正交基。又若的一組正交基中每個基向量的長度等于，則稱這組正交基為標準正交基。
例如，在上，是一組標準正交基，對，對應的傅里葉（Fourier）系數是。
標準正交化過程：在線性代數中，有將一個線性無關組進行正交化的格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，這一方法可以推廣到內積空間上來。設是點積空間中的一列線性無關的元素。按下面過程
該過程從一列線性無關的向量開始，產生出一組標準正交的向量組，它與原來的向量組有相同的生成空間。其依據的定理可表示為：設是一個點積空間，并假設線性無關，則存在標準正交組，使得
，。
由該方法可知，任意有限維的內積空間都有一個正交基，它還可以證明可分希爾伯特空間的結構特性：
希爾伯特空間是可分的充分必要條件是有含可數個元的標準正交基。又若的元素個數為有限，則同構于（或)，若中有可列個元素，則同構于。
關系
同構
兩個點積空間與稱為是同構的，如果二者之間存在一個一一對應的，并且對任何，，滿足
（1）；
（2）；
（3），則這兩個點積空間是同構的，首先作為向量空間它們是同構的；其次，在這個同構之下，向量點積是保持不變的。
性質
同構具有反身性、對稱性與傳遞性。
（1）內積空間到的恒等映射是一個同構映射，即同構關系是反身的。
（2）設內積空間與是同構的，與上的內積分別記為與，即存在到的保長同構映射，由于作為線性空間到的映射是同構，且對任意的，則
。
從而是點積空間到的保長同構映射，即與同構，因而同構關系是對稱的。
（3）設，，是數域上的內積空間，其上的點積分別記為，，，若，同構，，同構，即存在保長同構映射，，由于是向量空間到的同構映射，且對任意的，則
。
從而是保內積的，于是與同構，因而同構關系是傳遞的。
推廣
半內積空間
在內積空間的定義中若取消正定性“當且僅當時，”，則稱為半內積，并稱是半點積空間。
不定內積空間
更一般地，將不能為正定的點積稱為不定內積，例如非正定的內積可能會產生范數，該范數會為某些向量（類空間向量）產生虛數度量，這種度量并非真正的度量，如亨德里克·洛倫茲內積即為一個不定內積。
不定內積空間：令是一個復向量空間，是上的函數，稱是一個不定內積空間，如果下列條件成立：
（1）對任意；
（2）對任意，；
（3）對任意，如果，則有，則稱為不定內積。
應用
計算機科學
文本聚類算法
在計算機科學中，如何從海量文本中獲取知識成為了研究重點之一。傳統數據聚類方法在處理文本數據，尤其是短文本數據時，由于沒有考慮詞之間潛在存在的相似情況，聚類效果不理想。基于語義內積空間模型的文本聚類算法首先利用內積空間的定義建立針對中文概念、詞和文本的相似度度量方法；然后從理論上進行分析；最后通過一個兩階段處理過程，即向下分裂和向上聚合，完成文本數據的聚類。該方法成功用于中文短文本數據的聚類，并且提升了質量。
社交網絡距離預測算法
在對社交網絡進行拓撲分析時，計算距離（定義為組成點與點之間最短路徑的邊的條數）是第一步。一些經典的最短路徑距離求解算法，例如廣度優先遍歷（BFS）、Dijkstra等，時間復雜度較高，不適用于社交網絡這類數據規模較大的網絡。一種社交網絡距離預測方法通過計算起始節點的出坐標和終止節點的入坐標的內積來算出距離，克服了距離的不對稱約束。同時，針對已有方法進行改進，從距離矩陣中還原出低秩的主要部分可以消除誤差和離群點達到降維去噪的效果，并將離散矩陣分解和坐標計算融合成一個單優化問題，最終提升算法的精確度。
醫學
在醫學領域，開發一種抗過敏性的新藥時，要對不同劑量的藥效進行實驗，讓10名患者各服用了該新藥的一個特定的劑量，藥物消失時立即記錄。通過內積空間矛盾方程組最小二乘解理論可以求得法方程組，首先寫出線性方程組的增廣矩陣，再將增廣矩陣的相應列向量求點積即得對應的法方程組。這種方法可以將離散數據最小二乘曲線擬合問題轉化成線性矛盾方程組的最小二乘解問題，得到藥物劑量和癥狀持續天數之間的關系，便于藥物研發。
參考資料 >
Inner Product.mathworld.2024-05-24