充分必要條件（英文：Necessary and Sufficient Condition），又稱為充要條件，是指描述一定語言符號所指概念范疇所必需的集合特征。從集合角度理解，若A={x丨p（x）} ， B={x丨q（x）}，則A=B，即p是q的充分必要條件；從邏輯學角度理解，當命題“若P則Q”為真時，P稱為Q的充分條件，Q稱為P的必要條件。因此：當命題“若P則Q”與“若Q則P”皆為真時，P是Q的充分必要條件，同時，Q也是P的充分必要條件。當命題“若P則Q”為真，而“若Q則P”為假時，稱P是Q的充分不必要條件，Q是P的必要不充分條件，反之亦然。
公元前6世紀，古希臘思想家巴門尼德（Parmenniddes，公元前6世紀后期）及其弟子埃利亞的芝諾（Zeno，公元前5世紀）就在“歸謬法”中提出了邏輯論證的基本原則。受到這一思想的影響，古希臘哲學家和科學家亞里士多德在他的著作《形而上學》中，提到了“必需的”相關定義和概念。古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中，提到了一些充分必要條件的理論。
數學中有許多充分必要條件的示例，生活和工程中充要條件也很常見。
定義
從集合角度理解
用、分別表示兩個命題。如果命題成立，可以推出命題成立，即，那么叫做的充分條件，叫做的必要條件（也就是說，為了使成立，具備條件就足夠了）；如果既有，又有，那么既是的充分條件，又是的必要條件，這個時候就說，是的充分必要條件，簡稱充要條件。
從邏輯學角度理解
若由條件能推出結論，則條件叫做結論的充分條件；
若由結論能推出條件，則條件叫做結論的必要條件；
若條件與結論能互相推出，則條件叫做結論的充分必要條件；
若條件與結論互相不能推出，則既不是充分條件也不是必要條件 ；
即：當命題“若P則Q”為真時，P稱為Q的充分條件，Q稱為P的必要條件。因此：
相關概念
充分條件
充分條件：pq
充分條件指的是有兩個分別為p、q的事物情況，如果有p，就必然有q，而沒有p是否有q不能確定，這種情況下，p就是q的充分條件。例如：“停電”對“電燈不亮”來說，就是一個充分條件。因為只要“停電”就必然會產生“電燈不亮”；但是不“停電”，是否產生“電燈不亮”是不能確定的。
必要條件
必要條件：qp
必要條件指的是有兩個分別為p、q的事物情況，如果沒有p，則必然沒有q；如果有p，則不一定有q，p就是q的必要條件。或者是說q可以推導出p，而 p不能推導出q。例如：“植物得到充足的水分”（p）對“植物能夠生長良好”（q）來說，就是一個必要條件。因為如果植物要生長良好（q），它必須得到充足的水分（p）；但即使植物得到充足的水分（p），也不一定能生長良好（q）（可能還需要光照、養分等其他條件）。再如：“認識26個英文字母”對“看得懂英文”來說，就是一個必要條件。因為不“認識26個英文字母”必然不能“看得懂英文”；但是“認識26個英文字母”，不一定“看得懂英文”。
充分不必要條件
充分不必要條件指的是有兩個分別為p、q的事物情況，如果有事物情況p，則必然有事物情況q；如果有事物情況q不一定有事物情況p，p就是q的充分而不必要的條件，即充分不必要條件。
必要不充分條件
必要不充分條件指的是有兩個分別為p、q的事物情況，如果有事物情況q，則必然有事物情況p；如果有事物情況p不一定有事物情況q，p就是q的必要不充分條件。
假言推理
假言推理是根據假言命題的邏輯性質進行的推理，分為充分條件假言推理、必要條件假言推理和充分必要條件假言推理三種形式。
充分條件假言推理
肯定式
肯定式就是大前提是假言判斷，小前提肯定著大前提中作為條件的判斷的真實性，結論則肯定著大前提中作為結果的判斷的真實性。換言之，在肯定形式中，小前提和結論分別地把大前提中所表現的原因和結果都肯定下來了。肯定式的公式為：
如果P，那么 q。P（大前提）；q （結 論）。
肯定式充分條件的假言推理的規則是：只能由肯定前件而肯定后件；不能由否定前件而否定后件。
否定式
否定式是大前提是假言判斷，而小前提否定了大前提中作為結果的后件判斷的真實性，從而結論也就否定了大前提中作為條件的前件的真實性。否定形式的公式為：
如果 P，那么 q。不q（大前提）；因此不P（小前提）（結 論）。
否定式充分條件的假言推理的規則是：只能由否定后件而否定前件；不能由肯定后件而肯定前件。
必要條件假言推理
肯定式
必要條件的假言推理的大前提是必要條件的假言判斷，它的前件是后件的必要條件，后件是前件的充分條件。肯定式的公式為：
只有P，才q（大前提）；q（小前提）；因此P（結 論）。
肯定式必要條件假言推理的規則：只能由肯定后件而肯定前件；不能由肯定前件而肯定后件。
否定式
必要條件假言推理的否定式就是：小前提否定了大前提的前件，結論則否定了大前提的后件。否定式的公式為：
只有P，則 q（大前提）；不P（小前提）；因此，不q（結 論）。
否定式必要條件假言推理的規則是：只能由否定前件而否定后件；不能由否定后件而否定前件。
充要條件假言推理
充分必要條件的假言推理是大前提的前件和后件互為充分和必要條件。充分必要條件假言命題通常用“當且僅當……”的形式表示。這種假言推理的邏輯關系很簡單，只要肯定前件和后件，就能肯定后件和前件；只要否定前件和后件，就能否定后件和前件。因此，充分必要條件的假言推理，有四個正確式：
（1）如果P，那么Q；因為，P；因此，Q。
（2）如果不P，那么不Q；因為，不P；因此，不Q。
（3）如果P，那么Q；因為，Q；因此，p。
（4）如果不P，那么不Q；因為，不Q；因此，不P。
充分和必要條件的假言推理可以用兩個假言前提來表述，一個前提表示充分條件，一個前提表示必要條件，小前提肯定或否定任何一個前提或后件，結論就肯定或否定相應的后件或前件。例如：“三角形等邊當且僅當三角形等角。”是一個充分必要條件假言命題。
真值表
在邏輯學中，真值表是顯示一個或多個復合命題真值的圖表，它可以用來檢驗論證的有效性。真值表如下：
簡史
在公元前6世紀，古希臘思想家們已經開始研究邏輯推理的概念，活躍的國家政治生活鼓勵人們開展討論和發展辯論的技巧。如伊利亞學派的巴門尼德（Parmenniddes，公元前6世紀后期）及其弟子埃利亞的芝諾（Zeno，公元前5世紀）的著作詳細地描述了各種辯論技巧，如“歸謬法（reductio and absurdum）—假定要證明的命題不成立從而引出矛盾；否定后件律（modus tollens）—先證明若A正確，則B也正確，然后證明B不正確，結論是A也不正確。”
古希臘哲學家和科學家亞里士多德在他的著作《形而上學》中，描述了充分條件和必要條件的定義和概念。亞里士多德認為，邏輯論證應建立在三段論（syllogism）的基礎上，三段論指的是由所陳述的事情，必定可得出另外的某些結論的論證過程。
公元前3世紀的斯多克斯學派(the Stoics) 對數學證明中實際應用的基本論證形式進行過詳細的分析，其中以克里斯帕斯（Chrysippus）的分析最為細致。這種邏輯形式不是以亞里士多德的三段論為基礎，而是以命題為基礎的。克里斯帕斯提出了假言推理、否定后件率、假言三段論及選言三段論。古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中，提到了一些充分必要條件的理論。
充要條件的舉例
數學問題中的充要條件
在很多數學題的解析中會用到充分必要條件，如向量形式的角平分線、函數圖像關于點對稱的的問題、三點共線、導函數的奇偶性、一類一元二次方程根的應用、等差數列的應用等。
例題
證明：不妨設 m>0，n>0。將函數y=f（x）的圖象向左平移m個單位，再向下平移n個單位，就得到函數y=（fx+m）-n的圖象。由此可知，函數y=f（x）的圖象關于點M（m，n）對稱的充要條件就是y=（fx+m）-n的圖象關于原點對稱，即y=（fx+m）-n為奇函數。
工程中的充要條件
在科學研究中，充分必要條件也經常被使用到。科學家們通過實驗、觀察及數算，探討事物之間的因果關系。通過確定充要條件，科學家可以更好地理解和解釋現象，并為進一步的研究提供指導，如在運載火箭縱向動態特征分析方面。由于火箭的運動具有縱向漸進穩定性，反之只要有一個正實部或一對共軛復根的實部為正，運動參數將隨時間的增加而無限地偏離其未擾動的值。故火箭縱向運動是不穩定的。所以，特征方程式的各個根具有負的實部是火箭具有縱向漸進穩定性的充要條件。
生活中的充要條件
充要條件在生活中通常用“當且僅當……，則……；需要且只需要”來表示。如：“當且僅當腦死亡，則人死亡”。意味著，“腦死亡”是“人死亡”的充要條件。
參考資料 >
necessary and sufficient conditions.Oxford Reference.2023-09-13
truth table.Britannica.2023-10-30