希爾伯特空間理論是泛函分析的中心思想，并且在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的多個分支有廣泛應(yīng)用。
希爾伯特空間是線性內(nèi)積空間，基矢對應(yīng)體系某一個力學(xué)量的本征狀態(tài)集合，任一個力學(xué)量的本征狀態(tài)都會形成封閉的完備集。
希爾伯特空間理論是分析量子力學(xué)的工具。使用量子理論的希爾伯特空間表示（a Hilbert space 表征）是有用的和符合慣例的，盡管不是嚴(yán)格必要的。希爾伯特空間是一個向量空間。希爾伯特空間中的任何向量都可以用無窮多種方式寫成其他向量的疊加。
術(shù)語簡介
提出者簡介戴維·希爾伯特(戴維·希爾伯特，1862～1943）德國數(shù)學(xué)家，生于東普魯士王國加里寧格勒(蘇聯(lián)加里寧格勒）附近的韋勞。中學(xué)時(shí)代，戴維·希爾伯特就是一名勤奮好學(xué)的學(xué)生，對于科學(xué)特別是數(shù)學(xué)表現(xiàn)出濃厚的興趣，善于靈活和深刻地掌握以至應(yīng)用老師講課的內(nèi)容。1880年，他不顧父親讓他學(xué)法律的意愿，進(jìn)入哥尼斯堡大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)。1884年獲得博士學(xué)位，后來又在這所大學(xué)里取得講師資格和升任副教授。1893年被任命為正教授，1895年，轉(zhuǎn)入哥廷根市大學(xué)任教授，此后一直在格廷根生活和工作，于1930年退休。在此期間，他成為柏林科學(xué)院通訊院士，并曾獲得施泰訥獎、尼古拉·羅巴切夫斯基獎和波約伊獎。1930年獲得瑞典科學(xué)院的米塔格-萊福勒獎，1942年成為柏林科學(xué)院榮譽(yù)院士。戴維·希爾伯特是一位正直的科學(xué)家，第一次世界大戰(zhàn)前夕，他拒絕在德國政府為進(jìn)行欺騙宣傳而發(fā)表的《告文明世界書》上簽字。戰(zhàn)爭期間，他敢于公開發(fā)表文章悼念"敵人的數(shù)學(xué)家"達(dá)布。阿道夫·希特勒上臺后，他抵制并上書反對納粹政府排斥和迫害猶太科學(xué)家的政策。由于納粹政府的反動政策日益加劇，許多科學(xué)家被迫移居外國，曾經(jīng)盛極一時(shí)的哥廷根市學(xué)派衰落了，希爾伯特也于1943年在孤獨(dú)中逝世。希爾伯特空間以戴維·希爾伯特的名字命名，他在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。約翰·馮·諾依曼在其1929年出版的關(guān)于無界厄米映射的著作中，最早使用了“希爾伯特空間”這個名詞。馮·諾伊曼可能是最早清楚地認(rèn)識到希爾伯特空間的重要性的數(shù)學(xué)家之一，他在進(jìn)行對量子力學(xué)的基礎(chǔ)性和創(chuàng)造性地研究的時(shí)候認(rèn)識到了這一點(diǎn)。此項(xiàng)研究由馮·諾伊曼與戴維·希爾伯特和列夫·達(dá)維多維奇·朗道展開，隨后由尤金·維格納（Template:Lang）繼續(xù)深入。“希爾伯特空間”這個名字迅速被其他科學(xué)家所接受，例如在赫爾曼·外爾1931年出版的著作《群與量子力學(xué)的理論》（Template:Lang）中就使用這一名詞。
應(yīng)用
一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實(shí)際應(yīng)用中，它可能代表了一列復(fù)數(shù)或是一個函數(shù)。例如在量子力學(xué)中，一個物理系統(tǒng)可以被一個復(fù)希爾伯特空間所表示，其中的向量是描述系統(tǒng)可能狀態(tài)的波函數(shù)。詳細(xì)的資料可以參考量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述相關(guān)的內(nèi)容。量子力學(xué)中由平面波和束縛態(tài)所構(gòu)成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（rigged?Hilbert?space）。
原理
在一個實(shí)向量空間或復(fù)向量空間H上的給定的點(diǎn)積
相關(guān)換算
n維歐幾里得空間的推廣，可視為“無限維的歐幾里得空間”，是泛函分析的重要研究對象之一。在三維三維空間中，任何兩個向量之間規(guī)定了一個點(diǎn)積，它是建立三維歐幾里得幾何學(xué)的基礎(chǔ)。有了內(nèi)積，就有向量的長度、兩個向量的交角和向量到直線或平面上的投影等等。這些普通而重要的幾何概念及相應(yīng)的研究方法，不僅被推廣到n維空間，而且在許多不同的領(lǐng)域，例如積分方程、數(shù)學(xué)物理、三角級數(shù)或更一般的正交級數(shù)等理論中，被推廣到由函數(shù)構(gòu)成的無限維空間上去，成為研究有關(guān)問題的有力工具。第一個具體的戴維·希爾伯特空間最早是由D.希爾伯特在研究積分方程時(shí)首先提出的。他在平方可積的無窮實(shí)數(shù)列{xn}全體所組成的空間l中規(guī)定了點(diǎn)積，把空間l看作三維空間向無限維的推廣，從而有效地解決了一類積分方程求解及其本征展開的問題。不久，人們就建立了一般的希爾伯特空間理論，到20世紀(jì)30年代已取得了豐富的成果。希爾伯特空間在數(shù)學(xué)分析的各個領(lǐng)域中有著深厚的根基，也是描述量子物理的基本工具之一，它已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理的各個分支，如積分方程、微分方程、過程、函數(shù)論、調(diào)和分析、數(shù)學(xué)物理及量子物理學(xué)等等。關(guān)于希爾伯特空間及其上的映射理論仍然是泛函分析的重要課題之一。內(nèi)積空間和希爾伯特空間設(shè)H是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域C上的向量空間，如果對于H中任何兩個向量x和y都對應(yīng)著一個數(shù)，并且滿足下列條件：①正定性，對一切，而且當(dāng)且僅當(dāng)；②線性，對和，成立；③（共軛）對稱性，對成立（實(shí)數(shù)域）或的共軛（復(fù)數(shù)域）；則稱（x,y）為H中x,y的一個點(diǎn)積。定義了
內(nèi)積的空間H稱為內(nèi)積空間。在內(nèi)積空間H中定義函數(shù),x>的開方為x的范數(shù)（即x的“長度”），這時(shí)，H成為一個賦范空間。如果作為賦范空間，H是完備的（見巴拿赫空間），就稱H為希爾伯特空間。作為希爾伯特空間的例子，除了三維空間和l空間以外，還有亨利·勒貝格平方可積函數(shù)空間（其中內(nèi)積規(guī)定為(實(shí)數(shù)域)或f(t)乘以g(t)的共軛（復(fù)數(shù)域）在(α，b）區(qū)間的積分，而α，b也可為無限大）。在數(shù)學(xué)物理中越來越多地使用各種類型的希爾伯特空間。平行四邊形公式和柯西-施瓦茨不等式在內(nèi)積空間中，由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)必滿足類似于平面幾何學(xué)中的平行四邊形公式，即對H中任何x、y，；反之，一個賦范向量空間H，若它的范數(shù)滿足上述平行四邊形公式，則這個范數(shù)必是由定義在H上的某個內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)。內(nèi)積還有重要的柯西-施瓦茨不等式：。正交與勾股定理在希爾伯特空間H中，如果x，y滿足，就稱x和y正交（或直交），記為。當(dāng)時(shí)，成立勾股定理：。如果x和H的子集M中任何元都正交，就稱x和M正交，記為。與M正交的所有元素的集合記為M。投影定理希爾伯特空間理論中的一個基本定理。設(shè)M是希爾伯特空間H的凸閉子集，則對H中每個向量x，必存在M中惟一的y，使得||x-y||取到y(tǒng)在M中變化時(shí)的最小值。這個性質(zhì)稱為變分定理。特別，當(dāng)M是H的閉線性子空間時(shí)，必與M正交，即對于閉線性子空間M，分解不僅惟一，而且。這就是投影定理。其中，y稱為x在M中的投影（分量）。因?yàn)閤在M上的投影y是達(dá)到極小值的惟一解，所以這個結(jié)果不僅在理論研究中，而且在很多應(yīng)用性學(xué)，如近似理論（包括有限元方法）、預(yù)測理論、最優(yōu)化等多方面均有著廣泛的應(yīng)用。正交系設(shè)是內(nèi)積空間H中一族彼此不同的向量，如果其中任何兩個向量都正交，即當(dāng)k≠j時(shí)，，則稱是一正交系；如果其中每個向量的范數(shù)又都是1，即對一切k，，則稱{ek}是規(guī)范正交系。對于希爾伯特空間H的規(guī)范正交系,如果包含的最小閉子空間就是H，就稱{ek}為H的完備規(guī)范正交系。設(shè)是規(guī)范正交系，則H中任一向量x在ek方向的投影，即x在{ek}生成的一維子空間上的投影，就是；而x在生成的閉子空間M上的投影就是H。顯然有，即向量x在某個子空間M上的分量“長度”永不超過x的長度，它稱為貝塞爾不等式。如果{ek}是完備規(guī)范正交系，那么成立著（傅里葉展式），（帕舍伐爾等式）。傅里葉展開是古典分析中傅里葉級數(shù)或一般正交級數(shù)展開的推廣。里斯表示定理希爾伯特空間H上每個連續(xù)線性泛函F，對應(yīng)于惟一的，使，并且，這就是里斯的連續(xù)線性泛函表示定理。因此，希爾伯特空間的共軛空間與自身（保持范數(shù)不變地）同構(gòu)（實(shí)際上是一種共軛線性同構(gòu)），即H=H*。這個結(jié)果在希爾伯特空間映射理論中具有很重要的作用。
參考資料 >
30 希爾伯特空間和狄拉克符號.同濟(jì)量子力學(xué).2024-03-15
數(shù)學(xué)簡史:現(xiàn)代數(shù)學(xué)的五大應(yīng)用.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院.2024-03-15
量子理論中的哲學(xué)問題.中國科學(xué)院哲學(xué)研究院.2024-03-15
希爾伯特空間.blog.sina.com.cn.2016-03-11