在數(shù)學(xué)里的泛函分析中，貝塞爾不等式是類似于勾股定理的一種不等式。貝塞爾不等式揭示了希爾伯特空間中的一個(gè)元素和它在一個(gè)正交序列上的投影之間的關(guān)系。舉例來(lái)說(shuō)，平面上的一個(gè)向量的長(zhǎng)度的平方等于它在兩個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的投影的平方和，而對(duì)于一個(gè)三維空間上的向量，它在兩個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的投影的平方和一般會(huì)小于它自身的長(zhǎng)度的平方，除非它就在這兩個(gè)坐標(biāo)軸構(gòu)成的平面上。對(duì)于一個(gè)希爾伯特空間中的向量來(lái)說(shuō)，它在任意一個(gè)正交序列上的投影的平方和也是小于等于它自身的長(zhǎng)度的平方。這就是貝塞爾不等式。貝塞爾不等式的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)正交序列是完全序列。這時(shí)貝塞爾不等式轉(zhuǎn)化為帕塞瓦爾定理。
定理的敘述
設(shè) 是一個(gè)裝備了內(nèi)積：的希爾伯特空間。考慮一組規(guī)范正交向量的序列： 。那么，對(duì)于任意一個(gè) 中的元素，都有：
其中的系數(shù) 是在一個(gè)正交向量序列中元素 上的投影的長(zhǎng)度。
例子
例一
平面直角坐標(biāo)系
在平面上，假定已經(jīng)存在一個(gè)由相互垂直的向量構(gòu)成的直角坐標(biāo)系。根據(jù)勾股定理，一個(gè)向量的長(zhǎng)度的平方 等于它在X軸的投影的長(zhǎng)度的平方（ ）加上它在Y軸的投影的長(zhǎng)度的平方（ ），如右圖。
實(shí)際上，整個(gè)平面上的每一個(gè)向量都可以由這兩個(gè)相互垂直的單位向量的有限線性組合表示。這樣的一組相互垂直的向量被稱為是這個(gè)平面里的一組 完全規(guī)范正交向量：每個(gè)向量都可以被這一組向量的有限線性組合作任意程度的逼近（事實(shí)上是等于）。
例二
三維空間中的平面投影
當(dāng)向量是在三維歐幾里得空間中時(shí)，對(duì)于一個(gè)平面（比如說(shuō)平面）以及平面上的一個(gè)由相互垂直的向量（方向上的 和 方向上的）構(gòu)成的直角坐標(biāo)系，向量的長(zhǎng)度的平方會(huì)比它在X軸的投影的長(zhǎng)度平方加上它在Y軸的投影的長(zhǎng)度平方之和還要大。實(shí)際上，這個(gè)平方和正是向量在xOy平面上的投影的長(zhǎng)度的平方。而原來(lái)的向量的長(zhǎng)度的平方是這個(gè)投影長(zhǎng)度的平方加上它在Z軸的投影的長(zhǎng)度平方。
這個(gè)事實(shí)說(shuō)明，向量 和 不是三維歐幾里得空間里的一組完全正交向量。
證明
證明的思路是利用一般希爾伯特空間中的“勾股定理”：如果兩個(gè)向量垂直，那么它們的和的長(zhǎng)度平方等于它們兩個(gè)的長(zhǎng)度的平方和。首先考慮規(guī)范正交向量序列有限時(shí)的情形：設(shè)序列的長(zhǎng)度是n，序列中的元素是：
設(shè)一個(gè)向量在這個(gè)規(guī)范正交序列上的投影為向量： ，而與它的投影的差則是向量： 。這兩個(gè)向量的內(nèi)積等于：
也就是說(shuō)，在這個(gè)規(guī)范正交序列上的投影垂直于與它的投影的差。所以根據(jù)勾股定理，有：
即使規(guī)范正交向量序列是無(wú)限的，只要它是可數(shù)的，就會(huì)有相同的不等式。實(shí)際上，只需要考慮這個(gè)無(wú)窮（可數(shù)個(gè)）序列中的前面項(xiàng)。根據(jù)有限序列時(shí)的情形，可以證明一個(gè)元素在規(guī)范正交向量序列的前項(xiàng)上的投影的長(zhǎng)度平方和 小于等于的長(zhǎng)度平方。這個(gè)平方和實(shí)際上是正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù) 的前項(xiàng)部分和，所以這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，并且其極限 也小于等于的長(zhǎng)度平方。換句話說(shuō)，向量序列 在 上收斂。
相關(guān)條目
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