這個定理建立了希爾伯特空間與它的對偶空間的一個重要聯系：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是復數，兩者是等距反同構。在泛函分析中有多個有名的定理冠以里斯表示定理（Riesz representation theorem），它們是為了紀念匈牙利數學家里斯。
基本定義
對偶空間:一個賦范線性空間H上所有連續線性泛函所組成的空間稱為H的對偶空間，記作H*
定義函數:在H*上定義函數
其中 是H上的內積。
里斯表示定理:映射 是一個等距同態映射。
定理簡介
這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯系：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是復數，兩者是等距反同構。如下所述，（反）同構是特別自然的。
設 是一個希爾伯特空間，令 表示它的對偶空間，由從 到域 或 的所有連續線性泛函。如果 是 中一個元素，則函數 定義為
是 的一個元素，這里表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言中任何元素都能惟一地寫成這種形式。
定理：映射
的范數與 的范數相等：。
可加:：。
如果底域是，則 對所有實數。
如果底域是，則對所有復數，這里 表示的復共軛。
的逆映射可以描述為：給定中一個元素，核 的正交補是的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素，令。則 。
歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇在1907年發現（見參考文獻）。格雷（Gray）在評論從他認為是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的發展時說：“給定運算，可以構造有界變差函數，使得無論連續函數是什么，都有
在量子力學的數學處理中，這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時，每個右括號 有一個相應的左括號，對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間，比如核空間（Kernel space），里斯表示定理不成立，在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。
上線性泛函
下面的定理表示出上的正線性泛函，緊支集連續復值函數空間。下面所說的波萊爾集表示由開集生成的σ-代數。
局部緊豪斯多夫空間X上一個非負可數可加波萊爾測度 μ 是正則的（regular）當且僅當
? 對所有緊集K；
??對每個波萊爾集E，
??關系成立只要E是開集或者E是波萊爾集且 。
定理：設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對 上任何正線性泛函ψ，在X上存在惟一的波萊爾正則測度μ 使得
對所有。
領略測度論的一個途徑是從拉東測度開始，其可定義為上的一個正線性泛函。這種方式由布爾巴基采取；這里顯然假設X首先是一個拓撲空間，而不僅是一個集合。若X為局部緊空間，則可重新建立一個積分理論。
對偶空間
下面定理也稱為里斯-馬爾可夫定理，給出了的對偶空間的一個具體實現，X上在無窮遠趨于零的連續函數。定理陳述中的波萊爾集合同樣指由開集生成的 σ-代數。結論與上一節類似，但不能包含在前一個結果之中。參見下面的技術性注釋。
如果 μ 是一個復值可數可加波萊爾測度，μ 是正則的當且僅當非負可數可加測度正則（上一節所定義的）。
定理：設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對上任何連續線性泛函ψ，存在X上惟一正則可數可加波萊爾測度 μ 使得對所有。ψ 的范數作為線性泛函是 μ 的全變差（total variation），即
最后，ψ 是正的當且僅當測度 μ 是非負的。
注：上任何有界線性泛函惟一延拓為上有界線性泛函，因為后一個空間是前者的閉包。但是 上一個無界正線性泛函不能延拓為 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論應用的情形稍微不同。
參考資料 >