緊空間（compact space）亦稱緊致空間，是一類重要的拓撲空間，其定義為：若拓撲空間X的任意開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱X為緊空間。緊空間的條件包含多種等價形式，如具有有限交性質的閉集族有非空交、任意網有聚點等。
19世紀70年代，德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）證明了所有實數的集合與所有整數的集合不能構成一一對應的集合，開始了抽象集合理論的研究。后來，他創建了一般集合論，逐漸引入了基數、開集、閉集等概念，一般拓撲學萌發于這一時期。后來，數學家們開始研究常見拓撲空間中的緊致性概念，1906年，法國數學家費雷歇（Fréchet，Maurice-René）為了把集合論和函數空間研究統一起來，給出了度量空間的定義，并討論了其緊性與完備性。1914年，費利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）定義了一類足夠廣泛的拓撲空間，標志著一般拓撲學正式誕生。1921年，菲托里斯（Vietoris , I.）給出了緊性的規范定義。20世紀中后期，緊性、可數緊性以及序列緊性三者的關系成為了一般拓撲學的重要研究課題，夏貝爾（Chaber）在1984年證明了有對角線的可數緊正則空間是緊致的。
常見的緊空間有莫比烏斯帶與克萊因瓶。緊空間具備一些基本性質，如緊致空間的閉子集緊致，緊致空間在連續映射下的像也緊致等。一些著名的定理，如波爾查諾-卡爾·魏爾施特拉斯定理、海涅-博雷爾定理描述了常見拓撲空間中的緊致性。拓撲學中的分離性也與緊性密切相關。此外，模糊拓撲與邏輯代數相結合，形成了一些新的拓撲結構，它們也具有緊致性的含義。
定義
緊空間也稱為緊致空間，是一類重要的拓撲空間。若拓撲空間的任意開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱為緊空間。該定義通過基和子基可描述為：若為的拓撲的一個子基，且由的元組成的的每一個開覆蓋有有限子覆蓋，則為緊空間。
下面條件與緊性等價：
（1）具有有限交性質的閉集族有非空交。
（2）具有有限交性質的集族其各成員之閉包的交非空。
（3）任意網有聚點。
（4）任意濾子有聚點。
（5）任意極大濾子是收斂濾子。
例如，平凡空間、有限補空間是緊空間，但是實直線不是緊空間。
簡史
起源與背景
19世紀70年代，德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）證明了所有實數的集合與所有整數的集合不能構成一一對應的集合，開始了抽象集合理論的研究。后來，他創建了一般集合論，研究歐幾里得空間內的點集，逐漸引入了基數、開集、閉集等概念，實際上是研究了歐幾里得空間的拓撲結構。一般拓撲學萌發于這一時期。后來，若爾當（Jordan）等學者引進了一些歐幾里得空間中與拓撲結構有關的重要概念，1900年前后，波萊爾（Borel）在伯恩哈德·黎曼（Riemann）二維流形的基礎上，在三維空間的直線和平面集合上引入了拓撲結構，對極限概念給予了公理化處理。
提出與發展
后來，法國數學家亨利·勒貝格（Lebesgue, H. I）在證明波萊爾定理時發現該定理對閉區間的任意開覆蓋同樣成立。1903年，他又將該定理推廣到歐氏空間的有界閉子集上。1906年，法國數學家費雷歇（Fréchet，Maurice-René）為了把集合論和函數空間研究統一，在他的博士論文中定義了度量空間，討論了空間的緊性和完備性。之后，他設計了一種將微積分的極限概念應用于將函數視為向量空間元素的方法，以及一種測量函數之間的長度和距離以產生度量空間的方法，從而開創了泛函分析課題。1912年，亞尼謝夫斯基（Janiszewski, Z.）在抽象空間的研究中也應用了緊性概念。1914年，費利克斯·豪斯多夫（Hausdorff）在德國數學家戴維·希爾伯特（David Hilbert）和赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）觀念的基礎上，定義了一類足夠廣泛的拓撲空間，開創了一般拓撲學。1921年，菲托里斯（Vietoris , I.）給出了緊性概念的規范定義。
20世紀中后期，緊性、可數緊性以及序列緊性三者的關系成為了一般拓撲學的重要研究課題。培根（Bacon）等學者給出了等緊性的定義。夏貝爾（Chaber）在1984年證明了有對角線的可數緊正則空間是緊的。
相關證明
等價條件1
拓撲空間是緊致空間當且僅當的每一具有有限交性質的閉集族有非空的交。
證明：“”：設為緊空間，為中具有有限交性質的閉集族，若，令，又，則為的開覆蓋，因此它有有限子覆蓋。設，則，從而，這與具有有限交性質矛盾，這樣就有。
“”：設的每一具有有限交性質的閉集族有非空的交。若為的任一開覆蓋，且設有限子覆蓋，即，。令，則為的閉集族，且對應的，有，即具有有限交性質，從而，即，也就是，這與為開覆蓋矛盾，從而的任一開覆蓋必有有限子覆蓋。
等價條件4
拓撲空間為緊致空間當且僅當存在中的一個點是其聚點。
證明：“”：設為緊空間中的一個網，，令，又因為是有向集，由它的后置性有，即集族具有有限交性質，又因為為緊空間，從而，故存在，由相關定理得知是網的聚點。
“”：設為一拓撲空間，且，是其聚點，又設為的一個閉子集族，且具有有限交性質，令為所有的元的有限交的族，顯然也具有有限交性質，且，而，，則為有向集，若，選取，則為中的網，從而有聚點。若，且，則，故最終在閉集內，從而有聚點，因此，即，而，故，由上述等價條件1可知，為緊的。
推論：若為林德勒夫空間（Lindel?f），且的任一序列都有聚點，則為緊空間。
舉例
（1）維方體是緊致的，或更一般的任意有限多個閉區間的乘積，是緊致的。
（2）維閉球是緊致的。
（3）維球面是緊致的。
（4）維環面是緊致的。
（5）維實射影空間是緊致的，因為它是的商空間。
（6）莫比烏斯帶和克萊因瓶都是緊致的，因為它們都是的商空間。
相關概念
可數緊性
定義：如果空間的每一無限子集至少有一極限點，則稱為可數緊的。
空間為可數緊的充要條件為以下兩個條件中的任何一個成立。
（1）空間的任一可數開覆蓋包含有限子覆蓋。
（2）中閉集的任一可數有心族具有非空的交。
聯系：雖然在一般情況下可數緊性與緊性并不等價，但是對具有可數基的空間來說，緊的概念與可數緊的概念是一致的。
局部緊性
當且僅當每一個，存在，使得是緊的，則稱為局部緊空間。
聯系：緊空間都是局部緊空間。局部緊空間與緊空間性質近似，如，局部緊空間的閉子空間也是局部緊空間。
實例：離散空間是局部緊空間。具有通常拓撲的實直線是局部緊的但不是緊空間。
偽緊性
定義：當且僅當上每個實值連續函數是有界的，則稱為偽緊空間。
聯系：可列緊空間是偽緊空間。偽緊空間是可列緊空間。
常見空間中的緊性
歐氏空間
關于歐式空間中的緊致性，下述結論等價。
設是歐氏空間的非空子集，則：
（1）是有界閉集；
（2）是緊的；
（3）是可數緊的；
（4）是序列緊的；
（5）具有波爾查諾-卡爾·魏爾施特拉斯性質。
波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理：如果內的一個有界集包含無窮多個點，則內至少有一個點是的聚點。
度量空間
海涅-博雷爾定理可以說明度量空間中的緊致性：設是中的有界閉集的開覆蓋，則的一個有限子族也覆蓋。它可以得到區間的許多重要性質，引入一類度量空間，海涅-博雷爾定理在該空間成立，并且能夠證明區間的許多重要性質在該空間也成立，這類空間稱為緊空間。
緊度量空間可定義為：設度量空間的開集簇是集合的一個開覆蓋，若包含在中集合的并集，度量空間稱為緊的。若的每個開覆蓋有一個有限子覆蓋，即若存在一個有限簇使得。度量空間的子集稱為緊的，若它作為的子空間是緊的，等價于的子集是緊的。若的開集的每個覆蓋有一個有限子覆蓋。海涅-博雷爾定理說明實數集的每個閉有界子集是緊的。
勒貝格數定義的引入也幫助描述度量空間的緊致性：設是度量空間，是的開覆蓋，則稱為的勒貝格數。
關于度量空間中的緊致性，下列命題成立。
若是空間的開覆蓋，則它每個集合的補集組成交為空的閉集簇，反之亦然。因此一個空間是緊的當且僅當每個交集為空集的閉集簇都有一個交集為空的有限子簇。因此，中的集簇具有有限交性質，若的任何有限子集簇有非空交，則：
（1）度量空間是緊的當且僅當每個具有有限交性質的閉集簇有一個非空交集。
（2）度量空間具有波爾查諾-卡爾·魏爾施特拉斯性質當且僅當它是序列緊的。
（3）度量空間是序列緊的當且僅當其任何開覆蓋都存在亨利·勒貝格數。
（4）令為定義在序列緊空間上的連續實值函數，那么有界并且取到它的最大值與最小值。
性質
性質1
緊致空間的閉子集緊致。
性質2
緊致空間在連續映射下的像也緊致。
性質3
吉洪諾夫定理：任意一族緊致空間的積空間總是緊致的。
由該性質可以得到下述推論：任意一個緊致豪斯多夫空間族的積空間是一個緊致豪斯多夫空間。因此，緊致豪斯多夫空間族的積空間的點集是緊致的等價于是閉集。另外，如果是一個緊致豪斯多夫空間族，那么每個投影都是積空間到坐標空間的閉函數。
性質4
緊性是有限可加的，即有限個緊集的并是緊集。
性質5
緊子集的定義：一個拓撲空間的子集如果作為子空間是緊致的，則稱為的緊致子集。是的緊致子集等價于在中任一開覆蓋有有限子覆蓋。
豪斯多夫空間中的緊致子集：設為緊拓撲空間到拓撲空間上的連續滿射，則為緊空間。若為費利克斯·豪斯多夫（Hausdorff ）空間，且為一一映射，則為同胚。
類似理論
分離性
定義：設是一個豪斯多夫空間，如果是的一個不包含點的緊致子集，則點和緊致子集分別有開鄰域和使得。
緊致性與分離性具有下述聯系：
（1）在一個緊致的豪斯多夫空間中，一個集合是閉集的充分必要條件是它是一個緊致子集。
（2）豪斯多夫空間中的每一個緊致子集都是閉集。
（3）每一個緊致的豪斯多夫空間都是正則空間。
（4）每一個緊致的豪斯多夫空間都是的。
相關推廣
模糊拓撲空間
模糊拓撲空間是模糊數學的基本概念，在經典數學的拓撲空間的概念中，通過引入模糊集合而得到的一種新概念，由一集合以及上的模糊拓撲組成。上的模糊拓撲是指上的模糊子集簇，它滿足如下三條性質：一、空集和屬于該集簇；二、集簇中的任意兩個集合的交仍屬于該集簇；三、集簇中的集合的并仍屬于該集簇。
近年來，模糊拓撲與邏輯代數相結合，形成了一些新的拓撲結構，它們也具有緊致性的含義。
R0-代數中的緊空間
代數
設是型代數，若存在偏序，使得是有界分配格，是關于的上確界運算，是關于的逆序對合對應，且以下條件成立，則稱為代數。
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拓撲空間：設為模糊拓撲空間，如果有基（對有限交封閉）使成為方體的子代數，則稱為模糊拓撲空間，簡稱空間。稱為基。由該空間可以導出上的分明拓撲，即截拓撲，記為。
定理：為緊空間。
當模糊拓撲空間的截拓撲空間是緊空間時，稱該拓撲空間為超緊空間，又因為超緊空間必為良緊空間，所以為良緊空間。
參考資料 >
Maurice Fréchet.britannica.2024-02-24