交集（Intersection of sets），集合論中，指的是兩個集合中所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，記作A∩B。
19世紀初期，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1874年，德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）提出集合的定義。隨著公理化方法的引入，集合論迫切需要形式化的語言。1895年，格奧爾格·康托爾提出關于集合的基數概念，可以基于這個概念一般地表示一個集合。后來，隨著超限基數和超限序數的定義，康托爾引進了符號，并把它們按序型的大小排列成序列，定義了基數和序數的加法、乘法及乘方運算。至此，集合論的基本內容完成，交集為集合的基本運算之一。
與交集相關的概念是并集、全集、空集以及集族。通常，稱從兩個集合求出其交集的運算為集合的乘法或集合的交運算。交運算有幾個基本性質：交換律、結合律、冪等律、交對并的分配律等。交集在電路設計、工程作圖以及人工智能領域應用廣泛，如應用交集思想產生的卡諾圖化簡法可以化簡邏輯函數，在電路設計中起到至關重要的作用。
定義
交集亦稱積集，是集合論的基本概念之一，指兩個或多個集合經交運算所得到的集合。對于任意兩個集合與，由既屬于又屬于的元素所組成的集合，稱為與的交集，記為，還可以用符號表述為或
通常，稱從兩個集合求出其交集的運算為集合的交運算，記作A∩B。
簡史
背景
集合的概念可以追溯到古希臘，但是當時集合概念的認識有限，加上古典的數學分析無需集合論作為基礎理論，所以集合沒有得到發展。19世紀初期，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，數學家波爾查諾（Bolzano）發表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在，建立了集合等價的概念。1870年，德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）開始研究函數的三角級數表示的惟一性問題。之后在1871年至1872年，他在論文中逐步把三角級數展開的惟一性條件推廣到允許例外值成為無窮集的情況。他把函數間斷點問題的研究過渡到對點集本身的研究，明確地提出了點集、點集的導集、導集的導集等由實數構成的集合。
集合論
1874年，康托爾提出集合的定義：“一個集合就是人們的直觀或思想上那些確定的、能區分的對象（它們稱為集合的元素）匯集在一起，作為一個整體來考慮的結果。”隨著公理化方法的引入，集合論迫切需要形式化的語言。1895年，格奧爾格·康托爾提出關于集合的基數概念，可以基于這個概念一般地表示一個集合。之后，他又給出了超限基數和超限序數的定義，引進了符號，并把它們按序型的大小排列成序列，定義了基數和序數的加法、乘法及乘方運算，討論了各自的算術理論，即集合論的基數理論和序數理論。至此，他完成了集合論的基本內容。
舉例
例1：設集合 {1,2,3} 和 {2,3,4}，則它們的交集為 {2,3}。
例2：設集合，集合，則。
相關概念
空集
空集是集合論的一個重要概念，沒有任何元素的集合稱為空集，用符合表示，其表達式用符號可以表述為或者。對于任何集合，都有，即空集是任意集合的子集。
并集
并集亦稱和集，是集合論的基本概念之一，指兩個（或多個）集合經并運算所得到的集合。對于任意兩個集合和，由屬于或屬于的元素所構成的集合，稱為與的并集，記為，這個集合還可以用符號表述為或。
全集
在集合論的任何應用中，所討論集合的元素往往都屬于一個大的集，叫做全集。例如在平面幾何中，全集由平面上的所有點構成；而在人口學的研究中，全集則是世界上所有的人。且全集是相對的，一個集合在一定條件下是全集，在另一種條件下就可能不是全集。例如，討論問題僅限于整數，則全體整數組成的集合為全集，如果討論問題包含整數和分數，則全體整數組成的集合就不是全集。
集族
設是一個非空集合，是一個集族，如果對于每一個，在中都有一個集合與之對應，而的每個成員都對應的某一個元素，則稱是以為指標集的集族，記為或。
性質
交換律
交集運算的交換律公式為：。
結合律
交集運算的結合律公式為：。
更一般形式交的結合律
，其中是集族的標號集，是集族的標號集，。
冪等律
交集運算的冪等律公式為：。
交對并的分配律
更一般形式交對并的分配律
。
包含關系與交集
如果。
全集與交集
全集為交運算的單位元，則。
全集充要條件
的充分必要條件為。
空集與交集
對于任何集合，有。若，則集合與不相交。
應用
電路設計
交集與卡諾圖化簡過程中的圈圖具有很大的共性，卡諾圖化簡法是邏輯函數化簡常用的一種化簡方法，對于多變量的邏輯函數，應用交集后卡諾圖只需記住每個變量在圖中的位置，比應用交集之前需記住每個最小項的具體位置更加簡單容易。卡諾圖中的每個變量及每個小方格所代表的最小項可以也可以用集合和元素的關系來描述。如果規定每個變量（或者對應的非變量）為一個集合，那么對應的最小項屬于該集合的一個元素。例如三變量邏輯函數表達式中的最小項中含有變量，可以認為該最小項既屬于集合又屬于集合 ，也屬于集合；也可以認為該最小項是三個集合的交集。再比如四變量邏輯函數表達式中的最小變量、、、中都含有和兩個變量，我們可以認為這四個變量是集合和集合的交集，此時這四個最小項可以用表達式表示。
工程學
三維視圖很難構建，但是利用三維軟件分別拾取主視圖與俯視圖的最外輪廓線作為草圖，分別從寬度方向和高度方向拉伸成柱體，然后對兩個柱體求交集即可以得到其三維視圖。通過大量實例驗證，在重建此類主要由柱體通過“交集”運算得到的集合體的三維模型時，該方法具有通用性。在重建許多比較復雜的組合體時 ，此方法可以有效簡化三維模型重建的步驟 ，提高重建的速度。
人工智能
旋量理論以其對空間直線運動直觀的幾何描述和在相關代數運算中集成的數學形式，是機構學與機器人學研究中的數學工具之一。旋量與六維空間向量之間的聯系會使用到交集運算，通過旋量系的交集與并聯機構動平臺的運動旋量空間之間的聯系，可將旋量系的交集計算應用于并聯機構動平臺的運動分析與活動度計算中。
參考資料 >
交集.辭海網絡版.2024-01-17
空集.辭海網絡版.2024-01-17
并集.辭海網絡版.2024-01-17