序數(shù)（ordinalor ordinal number）是集合論的基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的數(shù)的推廣。序數(shù)概念是建立在良序集概念（如果有序集的任意非空子集都含有最小元素，則稱它為良序關(guān)系）之上的，即被定義為每個(gè)在關(guān)系下的良序。而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。 序數(shù)與基數(shù)相對(duì)，是表示次序的數(shù)目。其中超窮序數(shù)是自然數(shù)序數(shù)1，2，3的推廣。
格奧爾格·康托爾（Cantor·Georg Ferdinand Ludwig Philipp）在1879—1884的論文中提出了序數(shù)的概念，并定義了超窮基數(shù)和超窮序數(shù)的無(wú)窮序列，同時(shí)他還提出了良序定理。1923年，約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）把序數(shù)定義為滿足某個(gè)條件的良序集，并用序數(shù)嚴(yán)格地定義了基數(shù)的概念。
序數(shù)在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用：比如，在數(shù)論中常利用序數(shù)算術(shù)證明某些定理； 在環(huán)境評(píng)價(jià)中可用于預(yù)測(cè)污染物日平均質(zhì)量濃度；元素周期表中也存在各種各樣的序數(shù)（原子序數(shù)、周期序數(shù)、主族序數(shù)等）；時(shí)鐘序數(shù)法可用在電力系統(tǒng)變壓器的并聯(lián)運(yùn)行中；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，序數(shù)效用論采用無(wú)差異曲線的分析方法來(lái)考察消費(fèi)者行為。
概述
序數(shù)概念是對(duì)自然數(shù)的推廣，每個(gè)自然數(shù)都是有窮序數(shù)。 由于所有自然數(shù)的集合是傳遞的，并且對(duì)于關(guān)系是良序的，因此是一個(gè)序數(shù)。
定義
漢語(yǔ)釋義
序數(shù)在漢語(yǔ)作為數(shù)詞，表示次序先后。漢語(yǔ)表示序數(shù)的方法通常是在數(shù)字前加詞頭“第”，如“第三個(gè)”“第一”“頭一”等。序數(shù)后邊直接連量詞或名詞的時(shí)候，可省去“第”，如：二等、三號(hào)、四樓、五班、六小隊(duì)、1949年10月1日等；漢語(yǔ)還有一些表示序數(shù)的習(xí)慣說(shuō)法，如“初一、初十”（日期），“大女兒、小女兒”（排行）“頭班車(chē)、末班車(chē)”（次序）等。
集合論定義
序數(shù)被定義為每個(gè)在關(guān)系下的良序。而且，所有序數(shù)的收集（我們將要看到的它不是一個(gè)集合），其自身在e關(guān)系下是良序，并且包含自然數(shù)作為一個(gè)初始段。最重要的是，序數(shù)是良序關(guān)系的代表：每個(gè)良序集（良序集合是在所有非空子集中都有一個(gè)最小元素的有序集合）都同構(gòu)于一個(gè)序數(shù)。因此，序數(shù)可以被看作良序集的序型。
定義1：令是一個(gè)集合，如果的每個(gè)元素都是的一個(gè)子集，則稱是傳遞的。即一個(gè)傳遞的集合具有性質(zhì)：蘊(yùn)涵。
定義2：令是一個(gè)集合，如果滿足如下的條件：
則稱是一個(gè)序數(shù)。通常，標(biāo)準(zhǔn)的記法用小寫(xiě)的希臘字母表示，并且術(shù)語(yǔ)“序”也經(jīng)常用于表示“序數(shù)”。對(duì)于每個(gè)自然數(shù)，
如果，那么。因此，每個(gè)自然數(shù)都是一個(gè)傳遞集。并且，每個(gè)自然數(shù)對(duì)于關(guān)系是良序的。
相關(guān)歷史
格奧爾格·康托爾認(rèn)為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)擴(kuò)充到無(wú)窮數(shù)。他在1879—1884年發(fā)表了題為《關(guān)于無(wú)窮線性點(diǎn)集》的論文6篇，其中5篇的內(nèi)容大部分為點(diǎn)集論，而第5篇很長(zhǎng)，此篇論述序關(guān)系，提出了良序集、序數(shù)及數(shù)類(lèi)的概念。他定義了一個(gè)比一個(gè)大的超窮序數(shù)和超窮基數(shù)的無(wú)窮序列，他把所有自然數(shù)的最小的超窮數(shù)記為，他認(rèn)為還可以無(wú)限增加，如、直到等等。在此文中，他還提出了良序定理（每一集合都能被良序）但未給出證明。
1923年，約翰·馮·諾依曼（von Neumann）在首篇個(gè)人論文《超限序數(shù)的介紹》中定義了序數(shù)。同時(shí)他還用序數(shù)嚴(yán)格地定義了基數(shù)的概念。1925年，馮·諾依曼對(duì)序數(shù)的定義被數(shù)學(xué)界普遍采用。1937年，R.M.魯賓遜給出了序數(shù)的另一等價(jià)定義，良序集〈α，∈〉是一個(gè)序數(shù)，若〈α，∈〉是傳遞集，即只要x∈α且y∈x就有y∈α，這些定義沒(méi)有康托爾原來(lái)定義的缺點(diǎn)。
超限歸納
設(shè)是一個(gè)與序數(shù)有關(guān)的命題，假如：
（1）是真的。
（2），對(duì)于是真的話，能導(dǎo)出也是真的，那么對(duì)于一切序數(shù)都是真的。
種類(lèi)
后繼與極限序數(shù)
定義：，稱為的后繼。如果，就稱為后繼序數(shù)；否則為極限序數(shù)。
索引類(lèi)序數(shù)
在數(shù)組（由一組經(jīng)索引的同一類(lèi)型元素組成）中，每個(gè)索引類(lèi)型都為序數(shù)類(lèi)型，同時(shí)，索引類(lèi)型通常為整數(shù)的子界。
序數(shù)的類(lèi)
設(shè)為任意給定的序數(shù)，依據(jù)下列方法可以把序數(shù)分類(lèi)：具有相同基數(shù)的序數(shù)歸入同類(lèi)。這樣第一數(shù)類(lèi)或第一級(jí)數(shù)類(lèi)是所有有窮序數(shù)的類(lèi)，這類(lèi)就是集合。第二數(shù)類(lèi)或第二級(jí)數(shù)類(lèi)是指可數(shù)序數(shù)的類(lèi)：
是一個(gè)集合，并且是一個(gè)非可數(shù)的無(wú)窮集合。
性質(zhì)
證明：首先，如果，則是傳遞集。這是因?yàn)閭鬟f的，所以。如果，則，因此。于是都是的元素，而是α線序，故由傳遞性，，因此是傳遞集。其次，是的子集，所以限制到是上的良序。
2.如果是序數(shù)，且是傳遞集，則是序數(shù)，且。特別地，對(duì)任意序數(shù)，如果，則。
證明：由于是傳遞集，并且是良序關(guān)系的子集，因此是其上的良序，所以是序數(shù)。同樣根據(jù)的傳遞性，如果，，則，因此是的真前段。這樣，存在，，而這就是說(shuō)。
相關(guān)定理
定理1：每個(gè)自然數(shù)都是一個(gè)序數(shù)。
容易看出，所有自然數(shù)的集合是傳遞的，并且對(duì)于關(guān)系是良序的。因此，是一個(gè)序數(shù)。
定理2：令和為序數(shù)。
（1）對(duì)任意非空的序數(shù)集合，是序數(shù)，并且；
（2）對(duì)任意序數(shù)的集合，是序數(shù)，并且；
（3）序數(shù)間的＜關(guān)系具有良序性質(zhì)，因此任意非空的序數(shù)集合都在下是良序關(guān)系。
定理5：每一良序集同構(gòu)于唯一的一個(gè)序數(shù)。
定理6：假設(shè)（）是良序關(guān)系，則它的序型就是與其同構(gòu)的唯一的序數(shù)，記作，或。
序數(shù)算術(shù)
加法
令和是任意序數(shù)，則：
證明：頭兩個(gè)性質(zhì)顯然為真。只需證明第三個(gè)性質(zhì)。如果，則；因此，的集的上界（對(duì)所有）。必須證明是最小上界。令是一個(gè)序數(shù)，接下來(lái)驗(yàn)證對(duì)某個(gè)，有。如果，顯然為真。如果，則對(duì)某個(gè)有，且，因而，既然是極限序數(shù)，故小于，這樣可取。
乘法
令和是任意序數(shù)，則：
證明：這個(gè)證明與加法相似。必須證明，如果對(duì)一個(gè)極限序數(shù)有，則必對(duì)某個(gè)成立。即對(duì)某個(gè)有就取。
冪集
令和是任意序數(shù)，則：
定理1：（基于超限遞歸）保證了這些等式唯一地定義了一個(gè)序數(shù)運(yùn)算，它被稱為取冪。
定理2：規(guī)則在集上定義了一個(gè)良序，它的序型是。
定理3：對(duì)于任意的可數(shù)序數(shù)，序數(shù)，也是可數(shù)的。
定理4：小于的任何序數(shù)都能表示為
其中，而，這個(gè)表達(dá)式是唯一的，任何這種形式的和表示了一個(gè)小于的序數(shù)。
相關(guān)概念
基數(shù)
基數(shù)是屆數(shù)（序數(shù)是屆數(shù)，第1，第2，第3，…?，第n，都是屆數(shù)）中原子數(shù)個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)。屆數(shù)中的單位元，不論是加?法單位元還是乘法單位元，都是不可統(tǒng)計(jì)的。但是約定：邏輯加法單位元是最小的基數(shù)，邏輯乘法單位元是最大的基數(shù)。
偏序集
設(shè)是非空集合上的關(guān)系，如果是自反、反對(duì)稱和傳遞的，則稱為上的偏序關(guān)系，記作。如果集合上有偏序關(guān)系，則稱為偏序集，用序偶（）表示。若，常記作，讀作“小于或等于”。這里的“小于或等于”不是指元素?cái)?shù)值的大小，而是指在偏序關(guān)系中的順序性。“小于或等于”的含義是：按照這個(gè)排序，在的前邊或和相等”。
全序
設(shè)是偏序集，若對(duì)，，要么，要么成立，即中任何兩個(gè)元素都是可以比較的，則稱此偏序關(guān)系為全序關(guān)系或線序關(guān)系，此時(shí)為全序集或線序集。
良序集
良序集是良基線性次序集。對(duì)于線性次序，極小和最小概念是相同的，所以在良序集中每個(gè)非空子集都有最小元素。良序集的例：（表示個(gè)元素的有限線性次序集），(有如前定義的線性次序）。
應(yīng)用
數(shù)學(xué)領(lǐng)域
在數(shù)論中常利用序數(shù)算術(shù)證明某些定理，比如用超窮序數(shù)的理論證明“九頭博弈”中的“古德斯坦定理”。
古德斯坦定理：對(duì)任意，存在使得。
證明：令為自然數(shù)，考慮序列。如果，則根據(jù)定義，有
由引理“是增函數(shù)，即”可得
因此
由于不存在序數(shù)的無(wú)窮下降鏈，故對(duì)于足夠大的自然數(shù)，可得到。
環(huán)境評(píng)價(jià)
序數(shù)在環(huán)境評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)污染物日平均質(zhì)量濃度時(shí)有一定作用。對(duì)于保證率日平均質(zhì)量濃度，首先按環(huán)境影響疊加方法計(jì)算疊加后預(yù)測(cè)點(diǎn)上的日平均質(zhì)量濃度，然后對(duì)該預(yù)測(cè)點(diǎn)所有日平均質(zhì)量濃度從小到大進(jìn)行排序，根據(jù)各污染物日平均質(zhì)量濃度的保證率（p）計(jì)算排在p百分位數(shù)的第m個(gè)序數(shù)，序數(shù)m對(duì)應(yīng)的日平均質(zhì)量濃度即為保證率日平均濃度Cm。
化學(xué)領(lǐng)域
元素周期表中存在各種各樣的序數(shù)，比如原子序數(shù)、周期序數(shù)、主族序數(shù)等。按照核電荷數(shù)遞增的順序給元素編的序號(hào)叫做原子序數(shù)；周期的序數(shù)（元素周期表中共有七個(gè)橫行，也就是七個(gè)周期。依次用1、2…7等數(shù)字表示）與本周期元素原子的電子層數(shù)相等；主族用族序數(shù)后面加字母A?表示，如1A?、IA?、ⅡA?…，主族的序數(shù)和本族元素原子的最外層電子數(shù)目相等。
電力系統(tǒng)
電力系統(tǒng)在變電、配電的過(guò)程會(huì)涉及到變壓器的并聯(lián)運(yùn)行，要求連接組別要相同。三相變壓器的連接組別有很多種，其中用時(shí)鐘序數(shù)法分類(lèi)判斷各連接組別，適用性很強(qiáng)。在表達(dá)變壓器連接組別的時(shí)候，除了用字母Y或D表達(dá)高壓繞組和用字母Y或d表達(dá)低壓繞組是星形還是三角形（以逆序三角形的連接方式為正）的連接方式外，還要用數(shù)字表達(dá)高、低壓側(cè)對(duì)應(yīng)線電壓（或線電動(dòng)勢(shì)）的相位關(guān)系。例如連接組標(biāo)號(hào)為Yd3的變壓器，高壓側(cè)是星形連接Y，低壓側(cè)是三角形連接d，低壓側(cè)線電動(dòng)勢(shì)Eab滯后高壓側(cè)電動(dòng)勢(shì)易EAB3×30°。數(shù)字3是采用時(shí)鐘序數(shù)法進(jìn)行判定的，將高壓側(cè)線電動(dòng)勢(shì)相量毋。看成時(shí)鐘的長(zhǎng)針，并固定指向時(shí)鐘的12點(diǎn)，將低壓側(cè)線電動(dòng)勢(shì)相量如看成時(shí)鐘的短針，短針?biāo)傅臅r(shí)數(shù)3就是變壓器組別的標(biāo)號(hào)中的數(shù)字。
經(jīng)濟(jì)學(xué)
在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，序數(shù)效用論采用無(wú)差異曲線的分析方法來(lái)考察消費(fèi)者行為，提出消費(fèi)者均衡的實(shí)現(xiàn)條件。序數(shù)效用論認(rèn)為，商品給消費(fèi)者帶來(lái)的效用大小應(yīng)用順序或等級(jí)來(lái)表示。序數(shù)效用論者提出了消費(fèi)者偏好的概念。消費(fèi)者偏好是指消費(fèi)者對(duì)不同商品或商品組合的喜好程度。消費(fèi)者對(duì)不同商品組合的偏好，也就是喜好的程度是有差異的，正是這種偏好程度的差?別，反映了消費(fèi)者對(duì)這些不同商品組合的效用水平的評(píng)價(jià)。例如，對(duì)于A?、B兩種商品組合，若消費(fèi)者對(duì)A組合的偏好程度大于對(duì)B組合的偏好程度，則可以說(shuō)A組合的效用水平大于B組合。若消費(fèi)者對(duì)A組合與B組合的偏好程度相同，則可以說(shuō)兩種組合的效用水平無(wú)差異。
參考資料 >
序數(shù).術(shù)語(yǔ)在線.2024-01-21