單位元(英文常寫作Identity Element，即IE)也稱為恒等元、中立元或恒元，是集合里的一種特別的元素，與該集合里的二元運算有關。當它和其他元素結合時，并不會改變那些元素。單位元被廣泛使用在群和其他相關概念之中。若a*e=a，則e稱為右單位元；若e*a=a，則e稱為左單位元。若a*e=e*a=a，則e稱為單位元。在一個集合中，若存在左單位元和右單位元，則它們必相同，且只存在唯一的雙邊單位元。
定義
單位元是集合里的一種特別的元素，與該集合里的二元運算有關。當單位元和其他元素結合時，并不會改變那些元素。單位元被使用在群和其他相關概念之中。?
設 (S,*)為一帶有一二元運算* 的集合S（稱之為原群），則S內的一元素e被稱為左單位元若對所有在S內的a而言，；且被稱為右單位元若對所有在S內的a而言，。而若e同時為左單位元及右單位元，則稱之為雙邊單位元，又簡稱為單位元。
對應于加法的單位元稱之為加法單位元（通常被標為0），而對應于乘法的單位元則稱之為乘法單位元（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。
例子
如最后一個例子所示，有若干個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元，則它們會相同且只存在單一個雙邊單位元。要證明這個，設l為左單位元且r為右單位元，則l=l*r=r。特別地是，不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元e和f的話，則e*f必同時等于e和f。
一個代數沒有單位元也是有可能的。最一般的例子為向量的點積和向量積。前者缺乏單位元的原因在于相乘的兩個元素都會是向量，但乘積卻會是個標量。而外積缺乏單位元的原因則在于任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交，因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。這些例子說明了單位元的存在對于某些代數結構的運算是有特定要求的。
參考資料 >