二元運算是一種數學概念，它涉及到兩個元素的組合產生一個新的元素的過程。二元運算是由兩個元素形成第三個元素的一種規則。例如數的加法及乘法；更一般地，由兩個集合形成第三個集合的產生方法或構成規則稱為二次運算。二元運算作用于兩個對象的運算，如任意二數相加或相乘而得另一數；任意二集合相交或相并而得另一集合；任意一個多行矩陣與一個多列矩陣相乘而得另一矩陣；任意二函數合成而為另一函數，以上加、乘、交、并，積及合成均屬二元運算。二元運算需要三個元素：二元運算符以及該運算符作用的兩個變量。如在運算1 + 2之中，二元運算符為“+”，而該運算符作用的操作數分別為1與2。二元運算只是二元函數的一種，它被廣泛應用于各個領域。在二元運算中，運算結果與兩個輸入值必須是同種類型，例如整數相加后仍然是整數，這保證了運算的封閉性。
定義
二元運算的定義 — 給定集合 A，二元函數 F:A×A→A 稱為集合 A 上的二元運算。直觀上，也就是集合 A 里的一組數 (a, b) 都對應一個 A 里的數值 F(a, b)，那對應規則的整體 F 就是所謂的二元運算。F(a, b) 通常寫為 aFb，而且比起使用字母，二元運算時常以某種運算符表示，來跟普通的函數作區別。事實上 F:A×A→A 這個符號本身就保證了：“只要 a, b∈A 就會有 aFb∈A”，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。
閉包性
如果對于給定集合的成員進行運算，從而產生了象點，而該象點又是同一個集合中的成員，則稱給定集合在該運算之下是封閉的。這種性質，通常稱為閉包性。閉包性確保了運算結果仍然屬于原有的集合，這是二元運算的基本要求。
在工具書中的解釋
由兩個元素形成第三個元素的一種規則。例如數的加法及乘法;更一般地，由兩個集合形成第三個集合的產生方法，或構成規則，稱為二元運算。
二元運算符
二元運算符應寫在執行運算的子表達式對之間。
二元運算符比一元運算符的優先級低。二元運算符在本節中按優先順序出現。
該優先順序與 C 語言中的順序并不一致。
乘法運算符
乘法運算符在所有二元運算符中優先級最高。它們只作用于數字表達式。
布爾運算符
這些運算符的優先級最低。它們對操作數執行標準的邏輯運算。
在所有三種情況下，A 和 B 必須為取值為 或 的表達式。
常用性質和術語
二元運算中存在多種性質和術語，它們描述了運算的特定特性和規則。以下是一些常見的性質和術語：
幺元
幺元是集合 A 在二元運算 ° 下的一個特殊元素 i，它對于集合中的所有元素 a 滿足 i°a=a 和 a°i=a。如果一個元素同時滿足左幺元和右幺元的條件，它就被稱為幺元。
逆元
逆元是指在二元運算 ° 下，對于集合 A 中的任意元素 a 和 b，存在一個元素 a 是 b 的逆元，滿足 a°b=i 和 b°a=i，其中 i 是幺元。逆元通常記為 a^(-1)。
零元
零元是集合 A 在二元運算 ° 下的一個特殊元素 z，它對于集合中的所有元素 a 滿足 z°a=z 和 a°z=z。如果一個元素同時滿足左零元和右零元的條件，它就被稱為零元。
零因子
零因子是指在二元運算 ° 下，對于集合 A 中的非零元素 a，存在另一個非零元素 b 使得 a°b=z 或 b°a=z，其中 z 是零元。
交換律
交換律是指在二元運算 ° 下，對于集合 A 中的所有元素 a 和 b，運算滿足 a°b=b°a。
結合律
結合律是指在二元運算 ° 下，對于集合 A 中的所有元素 a、b 和 c，運算滿足 (a°b)°c=a°(b°c)。
消去律
消去律是指在二元運算 ° 下，如果 a≠b，則對于集合 A 中的所有元素 c，滿足 c°a≠c°b（左消去律）和 a°c≠b°c（右消去律）。
冪等律
冪等律是指在二元運算 ° 下，對于集合 A 中的所有元素 a，運算滿足 a°a=a。
冪幺律
冪幺律是指在二元運算 ° 下，如果存在幺元 i，則對于集合 A 中的所有元素 a，運算滿足 a°a=i。
冪零律
冪零律是指在二元運算 ° 下，如果存在零元 z，則對于集合 A 中的所有元素 a，運算滿足 a°a=z。
分配律
分配律是指在集合 A 上的兩個二元運算 ° 和 ◇ 下，運算滿足 a°(b◇c)=(a°b)◇(a°c)（左分配律）和 (b◇c)°a=(b°a)◇(c°a)（右分配律）。如果一個運算同時滿足左分配律和右分配律，它就被稱為滿足分配律。
參考資料 >