冪等（idempotent、idempotence）是一個(gè)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)概念，常見(jiàn)于抽象代數(shù)中。
在編程中一個(gè)冪等操作的特點(diǎn)是其任意多次執(zhí)行所產(chǎn)生的影響均與一次執(zhí)行的影響相同。冪等函數(shù)，或冪等方法，是指可以使用相同參數(shù)重復(fù)執(zhí)行，并能獲得相同結(jié)果的函數(shù)。這些函數(shù)不會(huì)影響系統(tǒng)狀態(tài)，也不用擔(dān)心重復(fù)執(zhí)行會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成改變。例如，“setTrue()”函數(shù)就是一個(gè)冪等函數(shù)，無(wú)論多次執(zhí)行，其結(jié)果都是一樣的。更復(fù)雜的操作冪等保證是利用唯一交易號(hào)(流水號(hào))實(shí)現(xiàn).
定義
在數(shù)學(xué)里，冪等有兩種主要的定義。
在某二元運(yùn)算下，冪等元素是指被自己重復(fù)運(yùn)算(或?qū)τ诤瘮?shù)是為復(fù)合)的結(jié)果等于它自己的元素。例如，乘法下僅有兩個(gè)冪等實(shí)數(shù)，為0和1。
某一元運(yùn)算為 冪等的時(shí)，其作用在任一元素兩次后會(huì)和其作用一次的結(jié)果相同。例如，高斯符號(hào)便是冪等的。
一元運(yùn)算的定義是二元運(yùn)算定義的特例
二元運(yùn)算
設(shè) S為一具有作用于其自身的二元運(yùn)算的集合，則 S的元素 s稱為冪等的(相對(duì)于*)當(dāng)
s * s = s.
特別的是，任一單位元都是冪等的。若 S的所有元素都是冪等的話，則其二元運(yùn)算*被稱做是冪等的。例如，聯(lián)集和交集的運(yùn)算便都是冪等的。
一元運(yùn)算
設(shè) f為一由 X映射至 X的一元運(yùn)算，則 f為冪等的，當(dāng)對(duì)于所有在 X內(nèi)的 x，
f( f( x)) = f( x).
特別的是，恒等函數(shù)一定是冪等的，且任一常數(shù)函數(shù)也都是冪等的。
注意當(dāng)考慮一由 X至 X的所有函數(shù)所組成的集合 S時(shí)。在 f在一元運(yùn)算下為冪等的若且唯若在二元運(yùn)算下， f相對(duì)于其復(fù)合運(yùn)算(標(biāo)記為 o)會(huì)是冪等的。這可以寫成 f o f = f。
一般例子
函數(shù)
如上述所說(shuō)，恒等函數(shù)和常數(shù)函數(shù)總會(huì)是冪等的。較不當(dāng)然的例子有實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)引數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)，以及實(shí)數(shù)引數(shù)的高斯符號(hào)。
將一拓?fù)淇臻g X內(nèi)各子集 U映射至 U閉包的函數(shù)在 X的冪集上是冪等的。這是閉包運(yùn)算元的一個(gè)例子；所有個(gè)閉包運(yùn)算元都會(huì)是冪等函數(shù)。
冪等元素
定義上，環(huán)的冪等元素為一相對(duì)于環(huán)乘法為冪等的元素。可以定義一于環(huán)冪等上的偏序：若e和f為冪等的，當(dāng)ef= fe= e時(shí)，標(biāo)記為e≤ f。依其順序，0會(huì)是最小冪等元素，而1為最大冪等元素。
若 e在環(huán) R內(nèi)為冪等的，則 eRe一樣會(huì)是個(gè)乘法單位元為 e的環(huán)。
兩個(gè)冪等元素 e和 f被稱為 正交的當(dāng) ef= fe=0。在此一情形下， e+ f也是冪等的，且有 e ≤ e + f和 f ≤ e + f。
若 e在環(huán) R內(nèi)為冪等的，則 f = 1 ? e也會(huì)是冪等的，且 e和 f正交。
一在 R內(nèi)的冪等元素 e稱為 核心的，若對(duì)所有在 R內(nèi)的 x， ex= xe。在此情形之下， Re會(huì)是個(gè)乘法單位元為 e的環(huán)。 R的核心冪等元素和 R的分解為環(huán)的直和有很直接的關(guān)接。若 R為環(huán) R、...、 R的直和，則環(huán) R的單位元在 R內(nèi)為核心冪等的，相互正交，且其總和為1。相反地，給出 R內(nèi)給相互正交且總和為1的核心冪等元素 e、...、 e，則 R會(huì)是環(huán) Re、...、 Re的直和。所有較有趣的是，每一于 R內(nèi)的核心冪等 e都會(huì)給出一 R的分解－ Re和 R(1 ? e)的直和。
任一不等于0和1的冪等元素都是零因子(因?yàn)?e(1 ? e) = 0)。這表示了整環(huán)及除環(huán)都不會(huì)存在此種冪等元素。局部環(huán)也沒(méi)有此種冪等元素，但理由有點(diǎn)不同。唯一包含于一環(huán)的雅各布森根內(nèi)的冪等元素只有0。共四元數(shù)環(huán)內(nèi)會(huì)有一冪等元素組成的懸鏈曲面。
所有元素都冪等的環(huán)稱做布爾環(huán)。可證明在每一此類環(huán)內(nèi)，乘法都是可交換的，且每一元素都有其各自的加法逆元。
其他例子
冪等運(yùn)算也可以在布林代數(shù)內(nèi)找到。邏輯和與邏輯或便都是冪等運(yùn)算。
在線性代數(shù)里，投射是冪等的。亦即，每一將向量投射至一子空間V(不需正交)上的線性算子，都是冪等的。
一冪等半環(huán)為其 加法(非乘法)為冪等的半環(huán)。
參考資料 >