在抽象代數(shù)里，代數(shù)結(jié)構(gòu)（algebraic structure）是指裝備了一個及以上的運(yùn)算（最一般地，可以允許有無窮多個運(yùn)算）的非空集合。一般研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)有群、環(huán)、域、格、模、域代數(shù)和向量空間等等。在數(shù)學(xué)中，更具體地說，在抽象代數(shù)中，代數(shù)結(jié)構(gòu)是一個集合(稱為載體集或底層集合)，它在它上定義了一個或多個滿足公理的有限運(yùn)算。
概念
代數(shù)（Algebra）是數(shù)學(xué)的一個分支。它是算術(shù)的概括和延伸。在近世代數(shù)中，研究的主要是各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，與中學(xué)所教的代數(shù)有極大不同。一個代數(shù)結(jié)構(gòu)包含集合及符合某些公理的運(yùn)算或關(guān)系。
代數(shù)結(jié)構(gòu)指對于許多數(shù)學(xué)對象，如群、環(huán)、域、向量空間、有序集等等，用集合與關(guān)系的語言給出來的統(tǒng)一的形式.首先，由于數(shù)學(xué)對象的多樣性，有不同的類型的集，如群表示的集為實際上，群涉及的是二元運(yùn)算;而向量空間表示的集為，向量空間涉及域F中的運(yùn)算，域F中的元對V中元的運(yùn)算，V中元的運(yùn)算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法運(yùn)算;向量空間的“合成”有F中的元對V中元的作用乘法，V中元的加法運(yùn)算)，并且，要求“合成”適合給定的公理體系，得到的就是一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
例如，群是個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).由集G，到G的映射*(合成或代數(shù)運(yùn)算)，并且適合：
事實上，代數(shù)結(jié)構(gòu)中，所有概念均可用集合及關(guān)系來定義，即用集合及關(guān)系的語言來表述。
做為基本概念，若僅僅著眼于“合成”(即“運(yùn)算”)，則這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)，或代數(shù)系(統(tǒng))換言之，代數(shù)結(jié)構(gòu)(代數(shù)系)就是帶有若干合成(運(yùn)算)的集合。
歷史
“代數(shù)”作為一個數(shù)學(xué)專有名詞、代表一門數(shù)學(xué)分支在我國正式使用，最早是在1859年。那年，清代數(shù)學(xué)家里李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書，譯本的名稱就叫做《代數(shù)學(xué)》。當(dāng)然，代數(shù)的內(nèi)容和方法，我國古代早就產(chǎn)生了，比如《九章算術(shù)》中就有方程問題。
詳細(xì)解釋
代數(shù)結(jié)構(gòu)的例子包括組、環(huán)、字段和格。更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)可以通過引入多個操作、不同的底層集合或修改定義公理來定義。更復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)的例子包括向量空間、模塊和代數(shù)。群是有一個二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu);環(huán)和域都是有兩個二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)；格是有兩個二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)；布爾代數(shù)、集合代數(shù)、命題代數(shù)都是帶兩個二元運(yùn)算和一個一元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它們都(分別)適合特定的公理體系。
在抽象代數(shù)中研究了特定代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。代數(shù)結(jié)構(gòu)的一般理論已在通用代數(shù)中形式化。范疇理論的語言是用來表達(dá)和研究不同類別的代數(shù)和非代數(shù)對象之間的關(guān)系的。這是因為有時可能在某些類的對象之間找到強(qiáng)的連接，有時是不同的類的對象中。例如，Galois理論建立了某些域和群之間的聯(lián)系：兩種不同類型的代數(shù)結(jié)構(gòu)。
數(shù)字上的加法和乘法是一種運(yùn)算的典型例子，它將集合的兩個元素結(jié)合起來產(chǎn)生第三個元素。這些操作服從幾個代數(shù)定律。例如，和，這兩個例子都是關(guān)聯(lián)律。還有，，交換律。許多由數(shù)學(xué)家研究的系統(tǒng)都有服從一些但不一定都是的普通算術(shù)法則的運(yùn)算。例如，可以通過執(zhí)行第一輪旋轉(zhuǎn)來組合三維空間中的對象的旋轉(zhuǎn)，然后將第二旋轉(zhuǎn)應(yīng)用于其新方向上的對象。這種旋轉(zhuǎn)操作服從關(guān)聯(lián)律，但可使交換律失效。
數(shù)學(xué)家們給出了一個具有一個或多個服從特定法律集合的操作的集合的名稱，并將它們抽象地研究為代數(shù)結(jié)構(gòu)。當(dāng)一個新問題可以被證明遵循這些代數(shù)結(jié)構(gòu)之一的規(guī)律時，過去在這類問題上所做的一切工作都可以應(yīng)用于新的問題。
在完全通用的情況下，代數(shù)結(jié)構(gòu)可能涉及任意數(shù)量的集合和操作，它們可以組合兩個以上的元素(更高的arity)，但是本文著重于一到兩組的二進(jìn)制操作。這里的示例決不是一個完整的列表，但是它們是一個有代表性的列表，并且包含最常見的結(jié)構(gòu)。更長的代數(shù)結(jié)構(gòu)列表可以在外部鏈接和類中找到：代數(shù)結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)按復(fù)雜程度的近似順序列出。
混合結(jié)構(gòu)
代數(shù)結(jié)構(gòu)還可以與附加的非代數(shù)性質(zhì)的結(jié)構(gòu)共存，如偏序或拓?fù)洹Ｔ谀撤N意義上，附加的結(jié)構(gòu)必須與代數(shù)結(jié)構(gòu)兼容。
拓?fù)浣M：與群操作相一致的拓?fù)淙骸?/p>
李群：一個具有相容光滑流形結(jié)構(gòu)的拓?fù)淙骸?/p>
有序群，有序環(huán)和有序域：局部有序的每一類結(jié)構(gòu)。
阿基米德群：擁有阿基米德性質(zhì)的線性有序群。
拓?fù)?a href="/hebeideji/8476032007564716946.html">向量空間：其M具有相容拓?fù)涞南蛄靠臻g。
賦范向量空間：一個具有相容范數(shù)的向量空間。如果這樣的空間是完備的(作為一個度量空間來說)，那么它就被稱為一個Banach空間。
希爾伯特空間：在實值或復(fù)數(shù)上的內(nèi)積空間，其內(nèi)積產(chǎn)生了一個Banach空間結(jié)構(gòu)。
約翰·馮·諾依曼代數(shù)：一個具有弱算子拓?fù)涞南柌乜臻g上算子的代數(shù)。
通用代數(shù)
代數(shù)結(jié)構(gòu)是通過不同的公理構(gòu)型來定義的。通用代數(shù)抽象地研究了這些對象。一種主要的二分法即分為：完全由自身定義的結(jié)構(gòu)和不能完全由自身定義的結(jié)構(gòu)。如果定義一類代數(shù)的所有公理都是恒等式，那么該對象的類具有一種多樣性(代數(shù)幾何意義上的代數(shù)多樣性)。
群中有一個包含兩個運(yùn)算符的符號：乘法運(yùn)算符m，帶兩個參數(shù)，逆運(yùn)算符i，帶一個參數(shù)，以及標(biāo)識元素常量e（它可以被認(rèn)為是一個零參數(shù)的運(yùn)算符）。給定一個變量x、y、z等(數(shù)字)集，代數(shù)是所有可能的m，i，e和變量的集合，例如是代數(shù)，定義一個群的公理之一是；另一個公理是。公理可以表示為樹。這些方程在自由代數(shù)上推導(dǎo)出等價類，商代數(shù)則具有群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。
范疇理論
范疇理論是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的另一種工具(例如，2003年的macLane)。范疇是具有關(guān)聯(lián)態(tài)射的對象的集合。每一個代數(shù)結(jié)構(gòu)都有自己的同態(tài)概念，即任何與定義結(jié)構(gòu)的運(yùn)算相容的函數(shù)。因此，每一個代數(shù)結(jié)構(gòu)都會產(chǎn)生一個類別。例如，群的范疇是將所有組都作為對象，并且所有組同態(tài)都作為態(tài)射。這一具體范疇可以看作是一組具有附加范疇理論結(jié)構(gòu)的集合范疇。同樣，拓?fù)淙旱姆懂?其態(tài)射是連續(xù)群同態(tài))是一類具有額外結(jié)構(gòu)的拓?fù)淇臻g的范疇。
范疇理論相關(guān)概念如下：
代數(shù)范疇
本質(zhì)代數(shù)范疇
呈現(xiàn)范疇
局部呈現(xiàn)范疇
一元函子和類別
參考資料 >