函子是范疇間的一類映射，函子也可以解釋為小范疇范疇內的態射。它們在數學的多個分支中扮演著重要的角色，特別是在代數拓撲學和范疇論中。
基本釋義
函子首先現身于代數拓撲學，其中拓撲空間的連續映射給出相應的代數對象（如基本群、同調群或上同調群）的代數同態。在當代數學中，函子被用來描述各種范疇間的關系。“函子”（英文：Functor）一詞借自哲學家魯道夫·卡爾納普的用語。卡爾納普使用“函子”這一詞和函數之間的相關來類比謂詞和性質之間的相關。對卡爾納普而言，不同于當代范疇論的用法，函子是個語言學的詞匯。對范疇論者來說，函子則是個特別類型的函數。
定義
設C和D為范疇，從C至D的函子為一映射F:
- 將每個對象X∈C映射至一對象F(X)∈D上，
- 將每個態射f:X→Y∈C映射至一態射F(f):F(X)→F(Y)∈D上，使之滿足下列條件：
- 對任何對象X∈C，恒有F(id_X)=id_F(X)。
- 對任何態射f:X→Y, g:Y→Z，恒有F(g°f)=F(g)°F(f)。換言之，函子會保持單位態射與態射的復合。
一個由一范疇映射至其自身的函子稱之為“自函子”。
協變與反變
數學中有許多構造具有函子的性質，不同之處在于它們將態射的方向“反轉”。為此，我們定義反變函子F:C→D為：
- 將每個對象X∈C映射至一對象F(X)∈D上。
- 將每個態射f:X→Y∈C映射至一態射F(f):F(Y)→F(X)∈D上。
使之滿足：
- 對任何對象X∈C恒有F(id_X)=id_F(X)。
- 對任何C中的態射f:X→Y, g:Y→Z，恒有F(g°f)=F(f)°F(g)。
注意，反變函子反轉了復合的方向。
在此脈絡下，原定義中的函子亦稱之為協變函子，以區分和反變函子之間的不同。也可以將反變函子定義為在對偶范疇C^op上的“協變”函子。一些作者即較喜好將所有的表示式寫成協變的。亦即，不說F:C→D為一反變函子，而簡單寫成F:C^op→D（或有時為F:C→D^op），并稱之為函子。
性質
從函子的公理中可得出兩個重要的推論：
- F將每個在C中的交換圖變換成D中的一個交換圖；
- 若f為C中的一個同構，則F(f)也會為D中的一個同構。
若函子F滿足F(f)為同構當且僅當f為同構，則稱之為保守函子。
在任意范疇C上，可定義一個單位函子1C，其將每個對象和態射映射至其自身。也可以將函子復合，即若F為一由A至B的函子且G為一由B至C的函子，則可組成一個由A至C的復合函子。函子的復合依定義是可結合的。這顯示函子可以被認為是范疇的范疇中的態射。
一個只具單一對象的小范疇等同于一個幺半群，此一單一對象范疇的態射可被視為是幺半群中的元素，且其在范疇中的復合則可以視為是幺半群中的運算。此時這類范疇間的函子無非是幺半群間的同態。在此意義下，任意范疇間的函子可被視為是幺半群同態至多于一個對象的范疇的一種廣義化。
雙函子與多函子
雙函子是函子概念在“雙變元”時的推廣。形式的定義則定義在兩個范疇的積上的函子F:A×B→C。函子Hom(-,-)是一個自然的例子，它對第一個變元反變，對第二個變元協變。雙函子是有“兩個”引數的函子。同態函子即為一個例子；其第一個引數為反變的，第二個引數則為協變的。形式上來說，雙函子是一個其定義域為積范疇的函子。例子，同態函子即為Cop × C → Set。多函子是將函子的概念廣義化至n個引數。而雙函子當然是一個n=2的多函子。
其他范疇論概念的關系
函子本身亦可視為函子范疇中的對象，該范疇中的態射是函子間的自然變換。近來有以“函子的態射”取代術語“自然變換”的趨勢。函子也經常以泛性質定義，例子包括了張量積，模或群的直和、直積，自由群與自由模的構造；許多構造可以統合于正極限與逆極限的概念下。泛建構也往往給出一對伴隨函子。
特殊性質之函子
- 本質滿射函子：使得值域中任意對象皆同構于某個F(X)的函子。
- 正合函子：保存有限極限的函子。在尼爾斯·亨利克·阿貝爾范疇中相當于保存正合序列。
- 忠實函子：使得對任意對象X,Y，Hom(X,Y)→Hom(FX,FY)為單射的函子。
- 完全函子：使得對任意對象X,Y，Hom(X,Y)→Hom(FX,FY)為滿射的函子。
- 完全忠實函子：既完全且忠實的函子稱為完全忠實函子。F:C→D是完全忠實函子的充要條件是F:C→F(C)是范疇的等價，其中F(C)表示D中由F的像生成的滿子范疇。
- 保守函子：使得F(f)為同構當且僅當f為同構的函子。
- 加法函子：指預加法范疇（或加法范疇）中保存同態集（以及雙積）的阿貝爾群結構的函子。
- 伴隨函子：(F,G)滿足下述條件時稱為一對伴隨函子：Hom(F(-),-)?Hom(-,G(-))。
參考資料 >