拓撲空間（英文名：topological space）是拓撲學領域研究的主要對象，其定義為：對非空集合X上的子集族T，如果滿足條件：(1)?∈T，X∈T；(2)子集族中任意多個集合的并集、有限多個集合的交集屬于子集族，則T為X上的拓撲。拓撲空間的等價定義包括閉包公理、鄰域系公理、子基公理等公理。
拓撲學的歷史可追溯到17世紀，1679年，戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz）提出了位置幾何學，不考慮坐標以及度量，直接研究位置關系。19世紀，格奧爾格·康托爾（Cantor）為了能夠更方便準確地寫出不連續點的集合需要滿足的條件，提出了聚點、導集、開集、閉集等概念。1906年，弗雷歇（Frecher）用收斂序列定義了一種空間，1907年，亞當·里斯（Riesz）用聚點也定義了一種空間，都是具有拓撲結構的抽象空間，但是他們的成果不能令人滿意。直到1914年，費利克斯·豪斯多夫（Hausdorff）利用鄰域系提出的拓撲空間定義發展成為了有系統且詳盡的一般理論，一般拓撲學逐漸發展起來。后來，穆爾（Moore）于1916年用開集系、庫拉托夫斯基（Kuratowski）于1922年用閉包算子分別提出另一種公理系統，這些定義彼此等價。
利用已知的拓撲空間可以生成子空間、乘積空間、商空間等新的拓撲空間。拓撲空間具有分離性、連通性、緊性等性質，連續映射的概念描述了拓撲空間的連通性。常見的拓撲空間包括向量空間、度量空間、巴拿赫空間、奧古斯丁-路易·柯西空間等。拓撲空間可以推廣為模糊拓撲空間和未確知拓撲空間，同樣可定義開集、閉集的概念。此外，拓撲空間在現實世界中應用廣泛，如在工程學中，基于拓撲優化與仿生的思想，可以設計一種空間太陽能電站，提升熱量導出的效率。
定義
拓撲空間
子集族：設是一個非空集合，記是的冪集，即以的所有子集（包括空集和自身）為成員的集合。把的子集（即以的一部分子集為成員的集合）稱為的子集族。
設是非空集合，是由的某些子集所形成的集族，如果滿足，（條件1）；中任意多個集合的并集屬于（條件2）；中的有限多個集合的交集屬于（條件3），則稱為拓撲空間，稱為上的拓撲，中的集合為中的開集。在不引起混淆的情況下，通常把簡寫為，而不專門提到。條件1、2、3稱為拓撲公理。
等價定義
閉包公理：對于的任何子集，都有的子集與之對應，且滿足；；
；；稱為的閉包。
閉集公理：規定的一個子集族，使它滿足；；若，則；若，則，其中，為任意指標集。稱為的閉集族，每個稱為中的閉集。
領域系公理：對每個，規定的一個子集族，使它滿足；若，則；若，
，則；若，則；若，則存在，使得對于，有
。稱為的鄰域系，每個稱為的鄰域。
子基公理：規定的一個子集族，滿足；；稱為拓撲空間的一個子基。
基公理：規定的一子基集族，滿足；對于、，存在，使
。稱為拓撲空間的一個基。
內部公理：對于的任何子集，都有的子集與之對應，且滿足；，；
，；，。稱為的內部。
簡史
背景與起源
拓撲學的歷史可追溯到17世紀，1679年，戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz）提出了位置幾何學，不考慮坐標以及度量，直接研究位置關系。1736年，歐拉（Euler）解決了哥尼斯堡的七橋問題。后來，高斯（Gauss）在他有關代數基本原理的第一個證明中研究過和拓撲（位置幾何）相關的問題。1847年，高斯的學生李斯廷（Listing）在著作《拓撲學引論》中最早使用了“拓撲”一詞。但以上這些學者在拓撲學方面的工作都是無意識的，他們的研究并沒有體現出拓撲學研究連續變換下的不變性這一精髓。
拓撲空間定義的誕生，實際上是從德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）開始的，他最初只是想推廣三角級數的唯一性定理，說明該定理即使遇到不連續的函數，在某些情況下仍然成立。為了能夠更方便準確地寫出不連續點的集合需要滿足的條件，19世紀70年代，康托爾提出了聚點、導集、開集、閉集等概念，為一般拓撲學的發展奠定了基礎。
真正有意識的研究是從德國數學家伯恩哈德·黎曼（Riemann）開始的，黎曼在復分析中關于函數論方面的研究體現著拓撲的思想，他的工作對后來的拓撲學甚至整個數學都產生了極為重要且深遠的影響。1895-1905年間，亨利·龐加萊（Poincare）在《位置分析》下發表了一組論文，開創了現代意義下拓撲學的研究。1930年，所羅門·萊夫謝茨（Lefschetz）第一個將拓撲學（Topology）一詞用作他的書名。
提出與發展
基于之前的發展，20世紀，拓撲空間的定義逐漸明確起來。1906年，弗雷歇（Frecher）用收斂序列定義了一種空間，1907年，里斯（Riesz）用聚點也定義了一種空間，他們引進的都是具有拓撲結構的抽象空間，但弗雷歇的定義過于狹窄，里斯的定義過于一般且比較復雜。直到1914年，費利克斯·豪斯多夫（Hausdorff）用鄰域系提出了第一個令人滿意的拓撲空間定義，他發展了1902年戴維·希爾伯特（Hilbert）用鄰域給出平面和1913年赫爾曼·外爾（Weyl）用鄰域給出黎曼曲面的思想，把這些概念一般化，并發展成有系統且詳盡的一般理論，發展了一般拓撲學這一學科。后來，穆爾（Moore）于1916年用開集系、庫拉托夫斯基（Kuratowski）于1922年用閉包算子分別提出另一種公理系統，它們都是等價的。
相關概念
連續映射
定義
設是拓撲空間和之間的映射，。如果對于任意包含的開集，總可以找到包含
的開集使得，那么，就稱映射在點處連續。進一步，若在上的每一點都連續，則稱是連續映射。
性質
連續映射可等價描述為：設是拓撲空間和之間的映射，則（1）是連續映射；（2）對任意的開集
，它的逆像都是中的開集；（3）對任意的閉集，它的逆像都是中的開集。
復合映射的連續性：設和都是拓撲空間的連續映射，則它們的復合映射還是連續的。
若映射將中的任意開（閉）集都映為中的開（閉）集，則稱為開（閉）映射，這是與連續性對偶的概念。一般情況下，連續雙射的逆映射不是連續的，一個雙射是開（閉）映射等價于它的逆映射是連續的。
特別地，如果存在一個到上的映射，使得和都是連續的，則兩個拓撲空間和
舉例
例1：設為距離空間，為的全體開子集之集，則為上的一個拓撲，稱為由距離誘導的拓撲。
例2：設為任意非空集，為的一切子集之集，則為上的拓撲。在這個拓撲下，的任一子集既是開集又是閉集，稱這個拓撲為離散拓撲。
例3：設，則為上的拓撲，稱為上的平凡拓撲。
例4：設，令，則為上的拓撲。
生成拓撲空間
子空間
設是一個拓撲空間。若是的子集，則集數構成的一個拓撲，稱為誘導拓撲。此時稱為的拓撲子空間。
在此拓撲下，含入映射是連續的，是使得連續的“最粗”（開集最少）的拓撲。當涉及子空間時，“開集”和“閉集”的概念依賴其所在的外圍空間。
設是的子空間，若且是子空間中的開（閉）集，則稱是的子空間中的開（閉）集。可以證明，是的子空間中的開（閉）集當且僅當是中的某個開（閉）集與的交集。但不一定是
中的開（閉）集。
乘積空間
如果和是兩個拓撲空間，那么集合的子集構成的冪集是
的一個拓撲基。
定義上的乘積拓撲為生成的拓撲，在此拓撲下，稱為乘積拓撲空間。
商空間
假定在抽象集合中，某些元素之間定義了一種關系。如果滿足（1）反身性：對任意，
；（2）對稱性：若，則；（3）傳遞性：若，，則，則稱這一關系是等價的。
集合稱為關于等價關系的商集合。設是一個拓撲空間，在集合中定義等價關系，在商集合
中可以引進自然的拓撲：由元素組成的子集是開集，當且僅當這些集合的并作為的子集是空間中的開集（包含空集）。中這一開冪集是一個拓撲，記為。
性質
分離性
1.空間：若拓撲空間中任意兩點中一點的鄰域不包含另一點，則稱為空間。
2.空間：若中任意兩點具有不包含另一點的鄰域，則稱為空間。
3.空間：若的鄰域使，則稱為空間或豪斯多夫空間。
4.正則空間：若對中任一閉集和，存在開集，使，，，則稱為正則空間。
5.空間：正則的空間稱為空間。
6.正規空間：若對中任何一對不相交的閉集和，存在兩個開集和，使，且
，則稱為正規空間。
7.空間：正規的空間稱為空間。
8.分離程度：空間必是空間，又必是正規空間；空間必是空間，又必是正則空間；空間必是空間；
空間必是空間。正規空間和正則空間不能比較分離性強弱，也不能與空間、空間和空間比較。
連通性
定義：若拓撲空間存在兩個不相交的非空開子集和滿足，則稱是不連通的。此時，和稱為的一個分割。若不存在這樣的分割，則稱是連通的。如果的子空間在誘導拓撲下是連通的，就稱是
的連通子空間或連通子集。
拓撲空間的連通性可等價描述為：空間是連通的當且僅當中既開又閉的子集只有和。
如果是拓撲空間之間的連續映射，是的連通子空間，那么是中的連通子空間。
充分條件：若是拓撲空間的連通子集，則中滿足的子集也是連通的。特別地，設是拓撲空間，是的一族連通子集，若非空，則它們的并集也是連通的；若和是連通的拓撲空間，則在乘積拓撲下也是連通的。
緊性
定義：設是一個拓撲空間，是的子集，是的子集構成的冪集，若，則稱
是的一個覆蓋；若每個集合都是開集，則稱是開覆蓋；若也是的覆蓋且，則稱是
的子覆蓋。進一步，若是有限集，則稱是的有限子覆蓋；若是可數集，則稱是的可數子覆蓋。若拓撲空間的任意開覆蓋都存在有限子覆蓋，則稱是緊的。
拓撲空間的緊性可等價描述為：
1.具有有限交性質的閉集族有非空交。
2.具有有限交性質的冪集其各成員之閉包的交非空。
3.任意網有聚點。
4.任意濾子有聚點。
5.任意極大濾子是收斂濾子。
性質：
1.緊拓撲空間的閉子集是緊的；豪斯多夫空間中的緊子集是閉集。
2.有限個緊拓撲空間的乘積空間在乘積拓撲下也是緊的。
常見類型
線性空間
設是數域上的線性空間，是上的拓撲，如果滿足：（1）加法是的連續映射；（2）數乘是
的連續映射，則稱為線性拓撲空間，稱為上的線性拓撲。
歐幾里得空間
設為線性空間，根據一定規律，可以對于內每兩個向量及確定一個實數，叫做矢量及的數積，用
來表示。如果這個規律滿足（1）交換律：；（2）分配律：；（3）對于任何實數，；（4）當時，，而當時，則稱為歐幾里得空間。
度量空間
設為一非空集合。對于中的任意兩個元素，都有一個確定的實數，記為，與它們對應且滿足（1）正定性：，當且僅當；（2）對稱性：；（3）三角不等式性：
，對任意成立。稱是上的一個距離，為與的距離，稱是以
為距離的度量空間，記為。此時中的元素又稱為點。在不引起混淆的情況下，一般簡記為。
巴拿赫空間
設是實數域上的向量空間，是上的實函數且滿足：（1）正定性：，且當且僅當是零元素；（2）齊性：，；（3）三角不等式：，則稱是
上的范數，為賦范向量空間。通常把范數記為。如果賦范線性空間依距離
，所構成的度量空間完備，則稱為巴拿赫空間。
特別地，如果內積空間中所有的柯西列都收斂，則稱此空間是完備的。完備的內積空間稱為希爾伯特空間。等價地說，一個巴拿赫空間稱為希爾伯特空間，如果在上存在一個點積，使得上的范數正好是由關系式
定義的范數。
柯西空間
函數空間拓撲：設為一個函數族，其中的每一個函數從集到拓撲空間，則包含在乘積
內。的點式收斂拓撲是指相對乘積拓撲，于是網收斂于當且僅當對中的每一個有
收斂于。該拓撲上的空間為函數空間，也叫奧古斯丁-路易·柯西空間。
推廣
模糊拓撲空間
設為非空集合，。稱為上的拓撲，如果滿足條件：（1）；（2）若
，；（3）若，，則。此時，稱為拓撲空間。
未確知拓撲空間
設的未確知子集族滿足：（1）；（2）若，則；
（3）若，則。此時，稱為的未確知拓撲，且稱為未確知拓撲空間。在模糊拓撲空間和一般拓撲空間中，同樣可定義開集、閉集的概念。
三者關系
1.設為未確知拓撲空間，若的所有未確知子集的隸屬函數的取值為內的實數，則的未確知子集變為模糊子集，因此未確知拓撲空間可變為模糊拓撲空間。
2.設為未確知拓撲空間，若的所有未確知子集的隸屬函數取值為和，則的未確知子集變為康托爾子集，即變為一般拓撲空間。
因此，一般拓撲空間和模糊拓撲空間為未確知拓撲空間的特例，而未確知拓撲空間為一般拓撲空間和模糊拓撲空間的推廣。故
。
應用
工程學
車身結構設計
汽車實際行駛是個受載復雜多變的綜合情況，在車身結構概念設計階段既要考慮單一工況的拓撲優化設計，又要進行綜合工況的拓撲優化設計。對車身結構進行拓撲優化時，通常將車身面的包絡空間用作拓撲優化的初始空間，然后剔除乘員所占空間、底盤所占空間以及動力系統所占空間，從而得到期望的拓撲空間。
空間太陽能電站熱設計
基于拓撲優化，聯合流體出口邊界與流道構型，可以建立最小化表面平均溫度和流道壓力損失的優化模型，得到陀螺饋源光伏陣上背板流道最優的出口位置與最佳拓撲構型，使饋源中的熱量導出效率明顯提高。然后，建立仿鳳蝶總科翅膀形狀與結構的對自由空間輻射散熱的布局與拓撲優化模型，在滿足性態前提下顯著提升輻射效率。
測繪學
拓撲研究幾何對象在彎曲或拉伸等變換下仍保持不變的性質，空間關系是空間物體之間由空間物體的幾何特性（位置、形狀）所決定的關系。拓撲關系是空間關系中的一種，在GIS中，拓撲關系反映了空間實體之間不隨實體的連續變形而改變的與量度和方向無關的一種空間關系。ArcGIS中的拓撲定義了點、線和多邊形要素如何共享共同幾何圖形，以及參與拓撲的要素類的完整性規則和拓撲行為，這使得拓撲在空間數據質量檢查方面具有突出的優勢，為地理國情數據中的空間數據部分的檢查提供了技術支撐。
參考資料 >