黎曼曲面（英文：Riemann surface）是復分析的基本概念之一。它通常具有兩種含義：一是一個給定的多值函數實現單值化的曲面，二是一個連通的一維復流形。
黎曼曲面概念的形成與橢圓積分理論有關。18世紀開始，數學家法尼亞諾（G. F. Fagnano）、萊昂哈德·歐拉（L. Euler）推導得出橢圓積分的加法公式，尼爾斯·亨利克·阿貝爾（N. H. Abel）對其進行了推廣，但在當時，人們對于復變函數固有的多值性問題還存在困擾。1851年，德國數學家黎曼（G. F. B. Riemann）從幾何的角度上研究阿貝爾積分，論證了復變函數可導的充分必要條件（即奧古斯丁-路易·柯西—黎曼方程），闡述了黎曼映射定理，在他的博士論文《單復變函數的一般理論基礎》中首次提出了黎曼曲面的幾何概念。1857年，黎曼在論文《阿貝爾函數的理論》中，對概念從拓撲、分析、代數幾何各角度進行了系統研究，深入闡述了他的理論。1882年，梅蘭妮·克萊茵（F. Klein）出版了他的小冊子《關于黎曼代數函數及其積分的理論》，提出了“黎曼面在前，函數在后”的基本思想。1913年，赫爾曼·外爾（H. Weyl）在他的著作《黎曼曲面的概念》中首次采用流形來定義黎曼曲面，并說明它是一個一維的復解析流形。
黎曼曲面具有許多實例，如復平面、二值函數等。代數函數可表示黎曼曲面，它具有非緊性、沒有奇點等基本性質。黎曼曲面可分為三類：橢圓型、雙曲型、拋物型。與伯恩哈德·黎曼曲面相關的定理有單值化定理、黎曼—羅赫定理等，其中單值化定理描述了黎曼曲面的共形等價性質，是黎曼曲面理論的基本定理。此外，黎曼曲面在現實世界中具有廣泛的應用價值，如在工程技術領域，通過檢驗黎曼曲面的因果性可以進行電液伺服閥動態特性的分析，幫助提升整個控制系統的精度與穩定性。
定義
黎曼曲面是一種類似于曲面的結構，可形象地理解為用多個（通常是無限個）“薄片”來覆蓋復平面而形成的結構。代數中，多值的全純函數在復平面中通常不好定義，可以使用黎曼曲面的抽象定義進行表述。
抽象定義：設為具有可數拓撲基的（即具有豪斯多夫性質）的拓撲空間，如果存在的開覆蓋以及每個開集上的連續映射，且滿足如下條件：
（1）為中的開集，為同胚；
（2）如果，則轉換映射為復平面開集之間的全純映射；
則稱為黎曼曲面。
其中開覆蓋稱為局部坐標覆蓋，稱為一個坐標鄰域，稱為該坐標鄰域上的坐標映射。
緊黎曼曲面：緊致、連通、可定向的實二維流形稱為緊黎曼曲面，它同胚于有個環柄的球面，環柄數是拓撲不變量，稱為緊黎曼曲面的虧格。
閉黎曼曲面：沒有邊界的緊黎曼曲面（緊致連通二維實流形）稱為閉黎曼曲面。
歷史
早期研究
黎曼曲面概念的形成與橢圓積分理論有關。18世紀開始，數學家法尼亞諾（G. F. Fagnano）和萊昂哈德·歐拉（L. Euler）推導得出橢圓積分的加法公式。然而，人們對于僅求出積分的數值并不滿足，19世紀初，尼爾斯·亨利克·阿貝爾（N. H. Abel）在將加法公式中的“積分的和”的現象提煉出來，得到比橢圓積分更廣的一類積分，引發了理論的研究熱潮。但當時，阿貝爾積分和橢圓函數的理論還在被微積分時代的繁瑣運算所包圍，人們對于復變函數固有的多值性問題還存在困擾。
1851年，德國數學家黎曼（Riemann）從幾何的角度上研究阿貝爾積分，論證了復變函數可導的充分必要條件（即奧古斯丁-路易·柯西—黎曼方程），闡述了黎曼映射定理，在他的博士論文《單復變函數的一般理論基礎》中首次提出了黎曼曲面的幾何概念。他認為，復變函數不應只是定義在通常平直的復平面上，而應該定義在可以“拓展到許多葉”的曲面上。為此，他為每一個多值復變代數函數都構造了一個曲面，用以代替通常的復平面，使得在這個新曲面上原來多值的代數函數變成了容易處理的單值函數，即為黎曼曲面。三年后，黎曼在哥廷根市做了著名的演講《關于幾何基礎的假設》，提出用流形的概念理解空間的實質，用導數弧長度的平方所確定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空間的概念。1857年，黎曼在其論文《阿貝爾函數的理論》中，對黎曼曲面從拓撲、分析、代數幾何各角度進行了系統研究，深入闡述了他的理論。
后續發展
黎曼的思想影響著函數論的發展，諾依曼（C. Neumann）在1865年的《關于黎曼的阿貝爾積分的理論講義》中給出了分支點的生動圖示。1882年，菲利克斯·克萊因（F. Klein）出版了他的小冊子《關于黎曼代數函數及其積分的理論》，提出了“黎曼面在前，函數在后”的基本思想。20世紀以后，點集拓撲學和代數拓撲學逐漸發展起來，赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）充分吸收克萊因等人的思想，用新的拓撲和分析的語言重新整理和闡述了黎曼曲面的基本理論。在他的書籍《黎曼曲面的概念》中，外爾首次采用流形來定義黎曼曲面，通過一系列的公理化概念抽象地定義了二維拓撲流形，并說明黎曼曲面是一個一維的復解析流形。
舉例
（1）復平面本身是一種黎曼曲面。
（2）擴充復平面也是黎曼曲面，局部參數鄰域及局部參數映照取為
，
這里，映照為是一一解析的。
（3）單位球面是黎曼曲面。跟復平面不同的是，作為黎曼曲面，的坐標覆蓋中至少要有兩個開集，即它是一個非平凡緊致的單連通黎曼曲面。
（4）函數 是一個無窮多值函數，并且如果其存在域是由復平面去掉負實軸后所剩下的區域，則在域內可定義函數的無窮多個分枝，并將相應的無窮個平面按前后次序排列連接起來后得到一個曲面，這個曲面稱為的黎曼曲面，在這個曲面上是單值函數。
（5）函數是二值函數，和是它的兩個枝點。取兩個平面，按、的順序迭疊起來，再將每一平面均沿正實軸割開，于是每一個這樣割開的平面，沿正實軸有上下兩岸，再將的下岸與的上岸相連接，而將的上岸與的下岸相連接，這樣就構成了函數（即）的黎曼曲面。
代數表示
代數函數
代數函數：如果一個全局解析函數的所有函數元素在內滿足關系，其中為不恒等于零的多項式，則稱為代數函數。
解析延拓：對于完全解析函數及其定義域，設是中的任一點，且中有解析函數所對應的區域，則稱是一個伯恩哈德·黎曼點。當中可能有很多個解析元素所對應的區域包有時，對于同一點，就可以有很多個黎曼點。考慮所有的點所對應的全體黎曼點的集合，對于中的任何兩個黎曼點與，當且僅當，時，才認為這兩個點相等，這樣的集合稱為完全解析函數的黎曼曲面。
性質
性質1（黎曼曲面的等價定義）：黎曼曲面是代數函數的單值化區域。
將作變量變換寫成的形式，是曲面上的變點，顯然是單值函數，為此，函數自變量變化區域變得非常復雜，現值不得不使自變量在曲面上變化，因此，代數函數的黎曼曲面是這個函數的單值化區域。
性質2：代數函數的黎曼曲面沒有奇點。
可分析如下示例：設，沒有重根。即，這時。顯然，，，，；若，則，；若，則，，那么是平面有限部分的唯一奇點。兩個分支都是光滑函數，在繞點一周時（是常數，），分支和交換位置：，可知黎曼曲面本身沒有奇點，因為曲面是的光滑子流形。
性質3：代數函數的伯恩哈德·黎曼曲面是非緊致的。
把有理整函數按作冪級數展開：，其中系數是的有理整函數，可以推導上述結論。可通過下列方式對曲面進行緊致化處理：
（1）用兩個球面的束擴大后，就使緊致化為，同時，代數函數（多項式無重根）的黎曼曲面緊致化為緊致光滑閉二維流形。
（2）設，多項式沒有重根，則代數函數的黎曼曲面的緊致化（帶有“粘合的無窮遠點”）同胚于帶有個柄的球面（表示整數部分），即型流形，。如果階數為奇數，這個曲面在緊致化的中的浸入是嵌入；如果階數是偶數，則是粘合兩個點（在不同的葉和上）的浸入。
分類
分類依據
對于開黎曼曲面，下列三個條件等價：
（1）格林函數存在（對任何點存在）；
（2）調和測度存在（對的任何具有內點的緊集存在）；
（3）最大值原理不成立（對任何緊集不成立）。
具體分類
（1）雙曲型：滿足上述三條件之一的開黎曼曲面，例如，平面上的單位圓。
（2）拋物型：不滿足上述三個條件的開伯恩哈德·黎曼曲面。換句話說，對于拋物型黎曼曲面，格林函數和調和測度均不存在，但是最大值原理成立，例如，復平面。
（3）橢圓型：即為緊黎曼曲面。
相關定理
黎曼映射定理
黎曼映射定理是一個關于復平面上單連通區域共形映射的基本定理，也是推導單值化定理的必要條件，可表述為：
設是復平面內的單連通區域，其邊界至少含有兩個不同的點。任意給定一點，則存在唯一的單葉解析函數，它將區域一一地共形映射為單位圓，使得。
單值化定理
單值化定理是黎曼曲面理論中基本的定理，表明大多數的情形下，黎曼曲面共形等價于單位圓對某個富克斯群的商空間，因此黎曼曲面上的解析函數論等價于定義在上的對某個富克斯群自守的函數論。反之，整個黎曼曲面理論也能以整個特殊的表示為基礎進行討論。定理表述為：
任一黎曼曲面必共形等價于下述典型曲面之一：
（1）擴充復平面；
（2）復平面；
（3）穿洞的復平面；
（4）環面，即，表示整數集；
（5）單位圓對某個富克斯群的商空間。
黎曼—羅赫定理
黎曼—羅赫定理是一個有關在緊伯恩哈德·黎曼曲面上，零點與極點滿足某種條件的亞純函數所組成的向量空間的維數的定理，有一些重要的推論。定理可表述為：
設是一個給定的除子，考慮緊黎曼曲面上一些亞純函數構成的線性空間。另外，考慮緊黎曼曲面上的亞純導數的向量空間。伯恩哈德·黎曼—羅赫定理斷言，其中，而表示空間的復維數。
相關推廣
自同構
同構：一個與間的雙射是一個對于代數運算與來說的，與之間的同構映射。假如在之下，不管，是的哪兩個元，只要就有。假如在與間，對于代數運算與來說，存在一個同構映射，則對于代數運算與來說，與同構，可表示為。
自同構：對于與來說的一個與間的同構映射叫做一個對于來說的的自同構。
緊黎曼曲面的自同構
一個黎曼曲面的自同構是該曲面到自身的雙全純映射。自同構復合仍然是一個自同構，并且每個自同構都有逆映射，再加上最平凡的單位映射也是一個自同構，從而一個黎曼曲面所有的自同構有一個群結構，把這個群稱為的全自同構群，記為，而它的子群則稱為的自同構群。經典實例如下：
（1）黎曼球上的自同構都是形如的形式，其中，稱這些自同構為黎曼球上的分式線性變換；
（2）復平面上的自同構都是形如的形式，其中，稱這類自同構為復平面上的線性變換；
（3）單位圓盤上的自同構都是形如的形式，其中，稱這些自同構為上的莫比烏斯（M?bius）變換；
（4）上半平面雙全純同構于單位圓盤，同構于，其中是上二階特殊線性群，是二階單位矩陣。
應用
工程學
在工程技術領域，電液伺服閥作為電液伺服控制系統的核心電液轉換元件，其性能可直接影響整個控制系統的精度和穩定性。但是，在動態特性處理階段，往往存在分析難度。通過檢驗黎曼曲面的因果性，用它來分析數據，盡可能完成電液伺服閥動態數據處理，以數據處理最小化為目標，可以進行電液伺服閥動態特性的分析。
聲學
在聲學中，有些聲場波導的特征函數是多值的復函數，而黎曼曲面是分析這類函數的有力工具。例如，浸在流體中的板狀波導的特征函數是波導傳播方向的波數的多值函數，在固體介質中板狀波導的特征函數是固體中縱波和橫波波數的多值函數。這兩類特征函數都可以利用拓撲變換得到黎曼曲面，有助于深入分析波導聲場。
建筑學
由于信息技術的發展，黎曼曲面也逐漸受到建筑設計師的青睞，他們使用參數平臺和數字化建筑技術，以其獨特的自然規律和復雜的藝術節奏形式，將黎曼曲面引入建筑設計藝術領域。例如，臺中大劇院完全拋棄了傳統梁板柱的建筑體系，采用類似于黎曼曲面的螺旋面進行造型；倫敦科學數字博物館是根據航空工程中的氣流公式畫出類似于黎曼面的空氣流線，以形成的漩渦流線形式進行設計。設計因素的介入，使黎曼曲面這一數學界特殊的幾何曲面，形象地呈現在人們眼前。
測繪學
在測繪領域中，等角投影是一類重要的投影，基于黎曼曲面理論為等角投影統一模型提供了數學理論的支撐，克服現有等角投影分帶、奇異的弊端。而大多數等角投影都可以歸結為單值化定理，常用等角投影虧格為的黎曼面映射之間的映射，高斯投影都可以看成虧格為的黎曼面，即橢圓函數。因此，黎曼曲面與地圖投影具有內蘊關系，基于黎曼曲面理論將等角投影推廣到一般曲面，可以簡化投影模型。
參考資料 >
黎曼曲面.中國大百科全書數據庫.2024-03-24
Riemann Surface.mathworld.2024-04-17