單值化定理(uniformization theorem)是黎曼曲面理論中最基本最重要的定理。單值化定理表明，大多數的情形下，黎曼曲面共形等價于單位圓D對某個富克斯群G的商空間D/G，因此R上的解析函數論等價于定義在D上的對某個富克斯群G自守的函數論，反之，整個黎曼曲面理論也能以這個特殊的表示為基礎進行討論，一個經典的問題是：給定一個D上的富克斯群G，是否存在非常數亞純函數對于G是自守的，即黎曼曲面上是否存在非常數的亞純函數。亨利·龐加萊((J.-)H.Poincaré)具體構造Θ級數，后稱為龐加萊級數，以此證明對給定的G是自守的函數的存在，閉黎曼曲面的一個重要定理是黎曼-羅赫定理，它給出閉黎曼曲面上亞純函數構成的線性空間的維數，兩黎曼曲面，如果存在映一個為另一個的共形映射，則稱它們是共形等價的。關于閉伯恩哈德·黎曼曲面的模的黎曼問題稱：虧格為g(>2)的閉黎曼曲面的共形等價類集合Rg構成3g-3維復流形，這方面基礎性的工作是由弗里克(R.Fricke)和泰希米勒(O.Teichmǚller)所做。
基本介紹
單值化定理敘述如下：
任一黎曼曲面必共形等價于下述典型曲面之一：
1.擴充復平面；
2.復平面C；
3.穿洞的復平面；
4.環面，即，Z表示整數集；
5.單位圓對某個富克斯群G的商空間。
相關介紹
覆蓋空間
設X和Y是Riemann曲面，一個映射 稱為覆蓋映射，若對每點，有開鄰域 使得
其中 是Y的互不相交的開子集，且 在 上的限制 是同胚的。顯然覆蓋映射是局部同胚的，Y稱為X的一個覆蓋空間，如果存在覆蓋映射，使得。
每個覆蓋映射 都具有 曲線提升性質：即對每條曲線 及每個點 使得，或者說對每個，存在一條曲線 使得 且，見交換圖(圖1)。就稱為以 為起點的 在Y上的提升。
設Y是X的覆蓋空間 是覆蓋映射，若Y是單連通的，則稱Y為X的萬有覆蓋空間，由如下結論，我們可以進一步認識萬有覆蓋空間，Y為X的萬有覆蓋空間當且僅當相應的覆蓋映射具有萬有性質：對每個覆蓋映射，其中Z為Riemann曲面以及對每對 使得，存在惟一連續映射 使得 且有交換圖如2，即。使交換圖成立的h又稱為 保網的，這是很形象的。
設 是萬有覆蓋映射，則對每對 使得，由萬有性質，即對交換圖2中 的情形，存在惟一的保網同胚 使得，此時h稱之為 覆蓋變換，所有這樣由 確定的保網同胚映射，即覆蓋變換之集在復合運算定義的乘法下構成一個群，稱之為 覆蓋變換群，記為，它同構于X的基本群。
設，對任一點，令
稱為(y所在的)軌道。我們把 視為一點，這樣的點構成的集記為，并可以賦上開集系統和復結構使其成為一個Riemann曲面，開集系統和復結構都是由投影映射 導出來的，要求使得是Y到 的萬有覆蓋映射，且是解析的，進而X與 是共形等價的，即X與 間存在雙方解析同胚。在共形等價意RT，可寫。故X是它的萬有覆蓋空間在覆蓋變換群下的粘合空間——商空間。
設 為萬有覆蓋空間。若X是單連通的，那么 是平凡的。由于 與 同構，所以它也是平凡的，即它只包含一個恒等覆蓋變換。這樣 是單葉的，從而是Y到X的同胚。進一步，是雙方解析的，即Y與X是共形等價的。這說明了同一個Riemann曲面的兩個萬有覆蓋空間是共形等價的，因為它們互為萬有覆蓋空間。
對任一Riemann曲面X，我們以X上曲線的同倫等價類作為特征將X的點區分為各個層葉，這樣做可使得曲面X上的每個“洞”被“捏”起來，從而建立X上的一個單連通的覆蓋Riemann曲面 ——萬有覆蓋空間。為此，取一點，對任意，讓 表示分別以a和x為起點和終點的X上的曲線的同倫等價類之集，定義
以及映射 使得。然后，在 上建立開集系統和復結構，使 成為一個單連通的Riemann曲面，并且使得 是萬有覆蓋映射，所以任一Riemann曲面都有萬有覆蓋空間。
定理介紹
單連通的Riemann曲面共形等價于Riemann球面 或復平面 或單位圓盤△。因此任一Riemann曲面X以球面 或復平面 或單位圓盤△為其萬有覆蓋空間。這樣，Riemann曲面X被分為橢球面或拋物面或雙曲面，根據它的萬有覆蓋空間為球面 或復平面 或單位圓盤△來確定，進一步研究得到穿孔平面 和環面T是拋物的，即它們的萬有覆蓋空間為復平面 就是萬有覆蓋映射，因 是單連通的，并且
exp把 上的平行于虛軸寬為 的帶形格子的兩邊粘合起來，得到兩頭無限延伸出去的管子。這個管子共形等價于；因環面可寫為，其中 是格子，那么投影映射，就是萬有覆蓋映射，并且
所有不與 共形等價的Riemann曲面一定是雙曲的，對任意雙曲Riemann曲面 中的每個覆蓋變換是到的共形映照，從而是線性變換，即 是上 變換群的子群，可以寫。
參考資料 >