曲面（camber）可以看作空間滿足一定條件的點的幾何軌跡。如果曲面與方程F(x,y,z)=0滿足：①曲面上每一點坐標都滿足方程F(x,y,z)=0；②以滿足方程F(x,y,z)=0的解為坐標的點都在曲面上，則稱F(x,y,z)=0為曲面的方程，而稱曲面為此方程的圖形。曲面還可以使用參數方程進行表示。
曲面的研究可追溯至古代文明時期，阿基米德（Archimedes）等數學家在此領域取得顯著成就。隨著導數法和積分法的發展，逐漸形成了獨立的曲線和曲面理論。長城歐拉（Euler）等數學家對曲面理論的創立與深化作出重要貢獻，尤其是歐拉對測地線的研究和gaussian對曲面微分幾何的奠基性工作。高斯（Gauss）建立了曲面內在幾何，并引入曲率概念，對微分幾何發展影響深遠。按照現代拓撲學的觀點，伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）實際上已經對閉曲面按虧格分類，黎曼在復變函數論領域的工作很大程度上推動了拓撲學的發展。此外，黎曼還進一步將曲面視為獨立幾何實體，開創黎曼幾何，為微分幾何發展奠定基石。后續數學家不斷豐富和完善黎曼幾何理論，推動了曲面研究的深入發展。
曲面除了具有切平面、法線、主方向等性質以外，還具有拓撲性質。此外，曲面在一點的杜邦指標線可以反映該點鄰近的結構。常見的曲面有球面、旋轉面以及柱面等。隨著曲面理論的逐步發展，曲面已逐漸應用于建筑學、機械學以及工程學等領域。
簡史
起源與早期進展
曲面的歷史可以追溯到古代文明時期，阿波羅尼亞在總結前人的成就的基礎上，再加上自己的研究成果撰寫了《圓錐曲線論》8大卷，對于圓錐曲線的研究取得了一定得成就和造詣。古希臘數學家阿基米德（Archimedes）用窮竭法結合力學原理得出并證明了各種復雜的平面曲線圍成的面積和各種曲面的面積及其所圍成的體積，如拋物線弓形的面積、螺旋線下的面積，球和橢球的表面積與體積，以及圓錐曲線（橢圓，拋物線，雙曲線）的旋轉體的截體表面積與體積等計算公式。其在曲線的研究中取得了重要進展，他對拋物線和螺旋線的研究為曲面的理論打下了基礎。
曲面理論的獨立發展
到18世紀中葉，導數法和積分法得到充分發展，從那時起已經開始了對曲線和曲面理論的本質問題的研究。雖然空間中的曲線和曲面的許多問題與平面曲線相似，但深入研究后，它們逐漸超越了數學分析在幾何的簡單應用，形成了獨立的曲線和曲面理論。18世紀后半葉，萊昂哈德·歐拉（Euler），加斯帕爾·蒙日（Monge）等數學家參與相關研究，其中歐拉被認為是曲面理論的創立者，并引入平面曲線的內在坐標和曲率概念。長城歐拉還深入研究了測地線，1736年證明了在無外力作用下，質點在曲面上的勻速運動必然沿測地線進行。這些工作對曲線和曲面理論的發展產生了深遠影響。
曲面理論的進一步發展
1827年，高斯（Gauss）發表的《關于曲面的一般研究》奠定了曲面微分幾何的基礎，他發展了曲面理論的普遍方法和問題，并致力于全新的探討與研究。他建立了由第一基本形式決定的曲面內在幾何，并強調了用參數形式描述曲面的重要性。此外，gaussian首次認識到曲面面積與球面對應區域面積之比的極限重要性，并用它表示曲面在一點的曲率。這些貢獻對微分幾何的發展有深遠影響。
對于微分幾何的進一步發展，偉大的數學家伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）作了開創性的工作。黎曼在1851年的博士論文及阿貝爾函數的研究中指出，研究函數不可避免地需要依賴于位置數學分析的一些定理。按照現代拓撲學的觀點，黎曼實際上已經對閉曲面按虧格分類。值得一提的是，他在學位論文中提出的關于某些函數的全體構成連通閉區域（空間點）的思想，是泛函思想的早期體現。實際上，在黎曼博士論文發表之前，組合拓撲學已有一些零散的研究成果，如萊昂哈德·歐拉關于閉凸多面體頂點、棱、面數之間關系的著名定理、哥尼斯堡七橋問題和四色問題，這些問題激發了對組合拓撲學（當時稱為位置幾何學或位置分析學）的深入研究。然而，拓撲學研究的最大推動力來自于伯恩哈德·黎曼在復變函數論領域的工作。
黎曼在1854年的演講中，將曲面視為獨立的幾何實體，而非僅作為歐氏空間中的實體。他認識到曲面上的二次微分形式（即黎曼測度）是外加的結構，而非固定屬性。這一發現開創了黎曼幾何，為微分幾何的進一步發展奠定了基礎。后續數學家如李西等人進一步豐富了經典黎曼幾何的內容。
定義
如果曲面與方程滿足：①曲面上每一點坐標都滿足方程；②以滿足方程的解為坐標的點都在曲面上，則稱為曲面的方程，而稱曲面為此方程的圖形。曲面可以看作空間滿足一定條件的點的幾何軌跡。
第一基本形式
給出曲面上的曲線：，對于曲線有，若以表示曲面上曲線的弧長，則：，令，，，則有，該式子是關于微分的一個二次形式，稱為曲面的第一基本形式。用表示，即。
第二基本形式
設曲面：，其單位法向量為。定義曲面的第二基本形式為。定義， ，。此時第二基本形式可表示為。曲面第二基本形式它反映了曲面在空間中的形狀。
曲面的參數表示法
給出平面上一初等區域，中的點的勒內·笛卡爾坐標是，經過映射后的曲面是。則對于空間的笛卡兒坐標系，上點的坐標是，具體的解析表達式為： ，。該式子稱為曲面的參數表示或參數方程。和稱為曲面的參數或曲紋坐標。參數方程習慣上寫為：，。簡寫成向量函數的形式，。
性質
切平面
過曲面上一點的坐標曲線的切向量和所決定的平面，稱為曲面在該點的切平面。設表示切平面上的任意點的向徑，則曲面在點處的切平面方程是： ，即，其中，，。
法線
曲面在正常點處垂直于切平面的方向稱為法方向。法線方程為：，其中是法線上的任意一點，是決定點在法線上位置的參數。
主方向
曲面上一點的兩個方向，如果既正交又共軛，則稱為曲面在點的主方向。設兩個主方向是，，由于正交性，有，由于共軛性有；兩式消去可得。對于特殊參數表示，令，則上式子為。可知主方向為，曲面上一曲線，若每一點的切方向都是主方向，則稱為曲率線。
曲率
法曲率
曲面在已知點鄰近的彎曲性可以由曲面離開它的切平面的快慢來決定。但曲面在不同的方向彎曲程度不同，就需要用曲面上過該點的不同曲線的曲率來刻畫曲面在已知點鄰近的彎曲性。給出類曲面：，過曲面上點的任一曲線為：，。以表示曲線的主法向量和曲面法向量的夾角，為曲線在點的曲率，可導出，曲面在給定點沿一方向的法曲率定義為：。若設，則稱為曲線的曲率半徑，為法曲率半徑。
主曲率
曲面上一點處主方向上的法曲率，稱為曲面在此點的主曲率。主曲率也是曲面上一點處沿曲率線方向的法曲率。在曲面上一點，法曲率隨著方向而變化。由歐拉公式，可以證明主曲率是法曲率的最大值和最小值。通過歐拉公式，只要知道了主曲率，則任意方向的法曲率就可以由和主方向之間的夾角來確定。設為曲面上一點的兩個主曲率，則。
高斯曲率與平均曲率
兩主曲率的乘積稱為曲面在該點的高斯曲率，用表示。它們的平均數為曲面在該點的平均曲率，即：
高斯曲率：；
平均曲率：。
曲面一點鄰近的結構
曲面在一點的杜邦指標線可以反映該點鄰近的結構。高斯曲率的符號由來確定，從而反映了曲面每一點鄰近的情況。
橢圓點
或，此時主曲率同號。適當選取曲面的法向量，只考慮和都大于零的情形。由歐拉公式，曲面在任意方向的法曲率都大于零；曲面沿所有方向都朝同一側彎曲；曲面在橢圓點鄰近的形狀近似于橢圓拋物面。
雙曲點
或，這時主曲率異號。適當選取曲面的法向量，對應于主方向的兩條法截線中有一條朝的反向彎曲，另一條朝的正向彎曲。曲面在雙曲點鄰近的形狀，近似于雙曲拋物面（馬鞍面）。
拋物點
或，這時主曲率中至少有一個。對于平點，。
相關計算
第一型曲面積分
定義
設曲面為光滑的，函數在上有界，把任意分為小塊，并且也代表第小塊曲面的面積，設為上任意取定的一點，作乘積，并作和，若當各小塊曲面的直徑的最大值時，該和的極限總是存在，則稱此極限為函數在曲面上的第一類曲面積分(或對面積的曲面積分)，記作，即有，其中函數叫做被積函數，叫做積分曲面，稱為被積表達式，稱為曲面的面積元素，若曲面為閉曲面，則曲面積分可記作，若在曲面上連續，那么一定存在。
計算
如果光滑由直角坐標方程給出，在平面上的投影區域為，則曲面的面積元素為，當函數在上連續，則它在上的第一型曲面積分存在，且 。同理，如果曲面可用方程或表示，則，。
第二型曲面積分
定義
設為光滑的有向曲面，函數在上有界，把任意分成塊小曲面（ 同時也表示第小塊曲面的面積）在面上的投影為，是上任意取定的一點，如果當各小塊曲面直徑的最大值時總存在，且與分割和的選取無關，則稱此極限為函數在有向曲面上對坐標的曲面積分或第二型曲面積分，記作，即，其中叫做被積函數，叫做積分曲面。類似地有;。
計算
設積分曲面由方程給出，在面上的投影區域為，函數在上具有一階連續偏導數，被積函數在上連續，則有，其中當取上側時，積分前取“+”；當取下側時，積分前取“-”。
分類
按照曲面方程的性質分類
如果曲面的方程是代數方程（即可以化為變數是的多項式等于零的等式），那么這個曲面就叫做代數曲面，方程的次數叫做代數曲面的次數，非代數曲面叫做超越曲面。代數曲面的方程可以寫作，其中是正整數或零；且至少有一個非零，的最大值就是它的次數，次代數曲面簡稱次曲面。一次曲面方程的普遍式是。
按照母線的形狀分類
按照母線的形狀不同，曲面可劃分為直線面和曲線面兩類。由直母線運動而成的曲面稱為直線面，如圓柱面、錐面、橢圓柱面、橢圓錐面、扭面(雙曲拋物面)、錐狀面和柱狀面等。其中，圓柱面和圓錐面稱為直線回轉面。由曲母線運動而成的曲面稱為曲線面，如球面、環面等。其中，球面和環面稱為曲線回轉面。
常見曲面
球面
空間中與某個定點的距離等于定長的點的軌跡為一個球面，定點稱為球心，定長稱為球的半徑。設定點為，定長為，是球面上任意一點，則，即，反之，若的坐標滿足該方程，則總有，所以此方程以為球心，以為半徑的球面方程。
旋轉面
由一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫作旋轉曲面。旋轉曲線稱為旋轉面的母線，定直線叫作旋轉曲面的軸。設有面上的曲線則
（1）曲線繞軸旋轉產生旋轉面方程為，其中“”號由中所允許的符號而定。
（2）曲線繞軸旋轉產生旋轉面方程為，其中“”號由中所允許的符號而定。
關于面或面上的曲線繞其所在坐標面上的坐標軸旋轉產生旋轉面完全類似。
柱面
平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的軌跡稱為柱面，其中曲線稱為柱面的準線，動直線稱為柱面的母線。
圓柱面：，
橢圓柱面：，
拋物柱面：。
錐面
在空間，通過定點且沿著定曲線移動的動直線所產生的曲面稱為錐面，定點叫做錐面的頂點，定曲線叫做錐面的準線，移動中的每一條動直線叫做錐面的母線。
設錐面的準線為頂點為。
在準線上取一點，則過的錐面的母線為且有當取遍上的點，由上式消去參數，而得到錐面方程。
直紋面
由依賴于一個參數的一族直線所產生的曲面，使得對每個，都有，并且上的每一點也都在直線族中的某一條直線上，則稱為直紋面。直紋面上的每一條直線稱為母線。
拓撲學研究
定義
設是一個仿緊的Hansdorff空間，若對任意，存在開鄰域，使得同胚于中的一個開集，則稱為一個維(拓撲)流形，一個2維流形也稱為曲面。
曲面的拓撲性質
性質1：一曲面稱為連通的，若對的任兩點，存在中從到的曲線段。
性質2：曲面是可定向的如果上存在一處處非零的可微(連續)形式。
性質3：中一閉曲線同倫于常曲線，若存在線段定義在上，使得是的底曲線，而其他三邊是在的常曲線，這里的稱為一同倫。
能使得，但未必有的曲線，稱為在的一環路。由于的邊和是在的常道路。所以，對于任意的，參數曲線也是在的環路。當從0變到1時，環路從連續的變到，而是在的常道路。
性質4：曲面稱為單連通的，若它是連通的，且中的每一環路同倫于常道路。
應用領域
建筑學
曲面在建筑學有著廣泛的應用，例如，三周期極小曲面（triply periodic minimal surfaces，TPMS）是一類特殊的曲面，也是存在于自然界中的一類結構，其可用于桁架結構的設計，利用三維靜力平衡，通過控制標準立方體的細分方式（六面體或四面體細分），構建受力圖與結構圖的對偶關系。通過將受力圖中的封閉單元和內部面分別對應于結構圖的節點和邊，從而得到如圖所示桿狀結構近似表達的 TPMS 結構。該方法同樣適用于變形的六面體單元。
機械學
曲面在機械學中有著廣泛的作用，例如，主動式曲面打磨技術，只需要3~4遍即可完成岔區鋼軌的廓形打磨，通過磨石砂輪和紙砂輪的配合使用，可對道岔打受限區進行貫通打磨，顯著提高岔區的動態平順性。
工程學
曲面在工程學中有著廣泛的作用，例如NURBS曲面在艦船垂向參數設計中具有重要的應用。首先通過NURBS曲面進行船體主尺度的計算，再利用NURBS曲面的控制點信息和三角面方程，通過約束條件得到船體各艙室的錘向參數以及結合船體曲面特征，然后對首位輪廓線控制點的參數和最大橫剖面的參數進行分析，通過研究能發現船體各艙室的重向參數之間存在幾何上的耦合關系，結合上述方程式，垂向參數和橫向線條曲線間的幾何關系可通過NURBS曲面進行表達，因此可利用NURBS曲面生成船舶垂向參數曲面。
參考資料 >