黎曼幾何（Riemannian geometry）是數學的學科分支，它研究的是黎曼流形，是一種彎曲和扭曲的幾何客體。黎曼幾何中沒有平行于給定直線的線；有限長度的直線可以無界連續延伸，但所有直線的長度都相同。
1845年，喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）把歐氏幾何、羅氏幾何、黎姓幾何統一起來，用來描述彎曲和扭曲的幾何客體；1854年，喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼發表《論作為幾何學基礎的假設》正式創立黎曼幾何。1916年，阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）在廣義相對論中運用黎曼幾何，使其研究和應用更加廣泛。之后，赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）撰寫《空間、時間與物質》對黎曼幾何進行第一次系統性闡述。
黎曼幾何的概念不僅是廣義相對論的基礎，也是現代量子場論和理論基礎粒子物理學的基本概念，并在數學、物理學、地質學、計算機科學等領域都有廣泛的應用；如描述地震波傳播和水聲射線傳播、計算機視覺等。
定義
黎曼幾何研究的是黎曼流形，它是一種彎曲和扭曲的幾何客體，屬于一種非歐幾里得幾何。黎曼幾何中沒有平行于給定直線的線；有限長度的直線可以無界連續延伸，但所有直線的長度都相同。
研究對象
定義了黎曼度量（Riemannian metric）的流形（光滑流形）稱為黎曼流形（Riemannian manifold），記成。
在一個維微分流形上，對每一點的切空間，賦予一個正定的雙線性點積函數，使其成為一個內積空間，并對上的點來說，內積函數是光滑的，則成為一個黎曼流形，記成。符合以下要求：對任意兩切向量，映射是雙線性的，并且；對任何，有，時，等號成立；若為上兩個光滑的矢量場，則為上的光滑函數。
簡史
背景
19世紀前半葉，綜合的射影幾何學得以復興，解析幾何學體系逐漸成熟，為代數幾何學、導數幾何學、線性幾何學等奠定了基礎；同時非歐幾何學思想的誕生打破了歐氏幾何學一統天下的局而；這個時期也是喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼的幾何思想形成的關鍵時期，其中，約翰·弗里德里希·卡爾·高斯（Johann Friedrich Carl Gauss）對他的影響比較重要。
1827年，約翰·弗里德里希·卡爾·高斯發表了《關于曲面的一般研究》，為微分幾何注入了全新思想，他所建立的內蘊幾何學，開辟了內蘊微分幾何的研究領域，這直接為喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼的工作創造了條件。
喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼19歲時，進入哥廷根大學讀書，在聽了約翰·弗里德里希·卡爾·高斯幾次數學講座之后，他下決心改修數學。在約翰·弗里德里希·卡爾·高斯的影響下，喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼提出定義維流形曲率的概念，這是約翰·弗里德里希·卡爾·高斯關于曲面總曲率概念的推廣；他還引入流形，使幾何學由圖形的研究轉變為對流形的研究。
除約翰·弗里德里希·卡爾·高斯外，約翰·赫爾巴特（德語：Johann Friedrich Herbart）的哲學思想、喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼在物理學研究上得到的啟發，也都對黎曼幾何的建立產生了推動作用。
喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼在研究物理學上認為只有將幾何建立在連續的無窮小分析上才能將各種力統一起來，在構造物理空間的幾何知識基礎時，將拓撲關系與度量關系區分開。約翰·弗里德里希·赫爾巴特強調定義更一般空問的重要性，喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼在1854年的演講曾提到自己受其哲學思想的影響。
創立
1845年，德國數學家喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼從更高的角度把歐氏幾何、羅氏幾何、黎姓幾何統一起來，用來描述彎曲和扭曲的幾何客體，稱黎曼幾何。1854年，喬治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼為申請哥廷根大學的教職，發表名為《論作為幾何學基礎的假設》的演講論文，標志黎曼幾何正式創立。
發展
阿爾伯特·愛因斯坦
1916年，阿爾伯特·愛因斯坦發表了《廣義相對論的基礎》（Die Grundlage der allgemeinen Relativit?tstheorie）一文，在廣義相對論中運用黎曼幾何和張量分析工具，使黎曼幾何的研究和應用更加廣泛。
赫爾曼·外爾
1916年阿爾伯特·愛因斯坦提出廣義相對論后，德國數學家、物理學家赫爾曼·外爾發表了一系列著作及論文對黎曼幾何進行系統闡釋和發展，其關于廣義相對論的課程講義《空間、時間與物質》是對黎曼幾何的第一次系統性闡述；1919年，赫爾曼·外爾對《論作為幾何學基礎的假設》進行了逐條解釋。
基本思想
黎曼幾何是描述彎曲空間的幾何。以原點為圓心，以為半徑的球面是一個二維曲面，在三維空間中可以利用三個獨立變量的方程來描述；假設在這個二維球面（即二維流形，只有兩個獨立變量）上來審視這個球面，采用兩個獨立變量來描述這個曲面上兩點的距離及其它的幾何量，首先需要選取球面上任何一點的鄰域，當此鄰域選取得足夠小，可以將此鄰域看成一個二維的小平面，即這個小鄰域與一個二維平面（二維的平直空間）同構。
然后就可以用二維平面上的自然坐標系作為球面一點的小鄰域坐標來描述這個鄰域，構成這個鄰域的局域坐標。球面上相鄰兩點的小鄰域用兩個不同的平面坐標即兩套局域坐標來描述，可得到這兩套坐標間的坐標變換，即轉換函數（雅可比函數）；因為所研究的曲面是光滑的，所以轉換函數是非奇異的。
將整個曲面（球面）看成由無窮多個小平面拼接而成，轉換函數是由曲面的性質所決定的；在此基礎上，可以定義曲面上相鄰兩點的距離。黎曼幾何就是建立在這種思想框架上描述彎曲空間的幾何學。
基本概念
黎曼度量
設是一個維流形，上的度量場是一種映射，在的每一點的切空間中定義了一點積，使每一點對應函數滿足以下條件：
雙線性：；對稱性：；正定性：，。
對于，上的度量場定義了上的實值函數，則，如果，則稱為黎曼度量。
黎曼聯絡
設是黎曼流形上一線性聯絡，稱為度量聯絡，，；黎曼流形上由度量所確定的唯一無撓率線性聯絡稱為黎曼聯絡（Riemannian connection）。
黎曼曲率
黎曼流形上黎曼聯絡決定的曲率算子叫做黎曼曲率；利用黎曼曲率可以定義截面曲率等幾何量。設是黎曼流形上的黎曼聯絡，是曲率算子，叫做黎曼曲率。
常曲率黎曼流形
如果對于黎曼流形的每一點，并且對于的任何一個平面截面，截面曲率是同一常數，即，對于，，則稱為常曲率黎曼流形，或簡稱常曲率流形。
測地線
設是維黎曼流形，（為維流形），是圍繞的坐標域，局部坐標是，，是上過點的一條光滑曲線，，（設），是的切向量，，命，并且；維黎曼流形上的一條曲線稱為測地線。如果：，用局部坐標表示測地線方程為：，。
基本定理和經典定理
基本定理
基本定理：黎曼流形上存在唯一的黎曼聯絡。
三式相加，化簡得到：
，該式等號右邊與黎曼聯絡無關，由于是任意的，該式定義了，這證明如果黎曼聯絡存在，那么它是唯一的。
等式定義的映射是上的黎曼聯絡，將等式中的用替代得：
，這證明成立。
交換等式中的得：，與等式相減得：，這證明成立；類似可以驗證滿足聯絡與黎曼聯絡定義的所有條件，是上的黎曼聯絡。
經典定理
博內-邁爾斯定理（Bonnet-Myers Theorem）：設是一個完備的黎曼流形，里奇曲率（Ricci曲率）對于所有的，都滿足，其中是獨立于的正常數。
應用
黎曼幾何是對空間與幾何概念的深入研究，是所有幾何的基礎；在地質學、物理學、計算機科學等領域都有廣泛的應用，如描述地震波傳播和水聲射線傳播、計算機視覺等。
地質學應用
地震波傳播
地震波在復雜介質中傳播的彎曲特性，符合黎曼流形的幾何特性；從描述彎曲空間的黎曼幾何出發，建立復雜介質中波場走時的黎曼流形，復雜介質中的地震波沿黎曼流形中的測地線傳播；同時，復雜介質中的標量波動方程亦可由黎曼流形中協變的標量波動方程來描述。
利用速度模型建立走時場的黎曼流形，實質上就是把復雜介質的特性轉換成空間特性，由速度分布函數描述了走時場空間的彎曲特性。在這一彎曲空間中，波前射線即為測地線（彎曲空間中的“直線”），波動方程即為黎曼流形中的標量波動方程。這樣黎曼 幾何對黎曼流形上曲線、曲面及波動的描述都可以應用到對復雜介質中地震波前射線和波動方程的討論中，由此得到的許多結論對射線追蹤的走時計算和反演問題的處理有重要價值。
采用黎曼幾何方法描述地震波在復雜介質中傳播的問題，可以深化對幾何射線和波動方程的認識，提高對射線追蹤和地震波場 的計算能力，同時也為復雜介質中的波場變換提供了一種可能的研究途徑。
物理學應用
水聲射線傳播
水聲建模一般采用外嵌描述，即以歐氏空間固定坐標系等要素刻畫水聲信道，黎曼幾何是彎曲空間上的內蘊幾何學，更能反映流形的本質性質。
通過建立水聲射線傳播的黎曼幾何基本理論，得到程函方程、動態射線方程及高斯波束模型的黎曼幾何內蘊形式，分析水聲射線幾何拓撲性質；并指出水聲射線模型中的焦散點等價于黎曼幾何中的共軛點，高斯波束幾何擴展是測地線沿卡爾·雅可比場的偏離，波束聲線會聚體現為聲場正截面曲率作用下偏離的測地線在共軛點的交匯。
采用黎曼幾何建立高斯波束模型的內蘊形式，其主要工作如下：基于最小作用量原理，在水聲射線走時黎曼度規下，給出黎曼流形上的水聲測地線程函方程；利用雅可比場理論建立一般徑向對稱聲傳播環境下的高斯波束黎曼幾何模型，揭示水聲場射線的拓撲性質。
計算機科學應用
計算機視覺
計算機視覺中圖像與黎曼流形的關系主要體現在兩個方面，一方面是圖像中目標發生的幾何變換在流形空間中的分布；另一方面是圖像特征空間構成了圖像在黎曼流形空間中的幾何分布。
例如：在目標跟蹤過程中，圖像的幾何變換構成特殊線性群（群）；圖像序列和視頻可以依據特征子空間進行建模，從而具有流形結構；在圖像處理與模式識別領域中，協方差矩陣作為圖像的特征表征，具有良好的正定對稱結構，進而可以利用正定對稱進行流形建模。
參考資料 >
現代自然科學重要概念連載五(黎曼幾何).中國教育發展戰略學會人才發展專業委員會.2024-01-03
Riemannian geometry.Encyclopedia Britannica.2024-01-03
《張量和黎曼幾何——微分方程應用（Tensors and Riemannian Geometry : with Applications to Differential Equations）》.武漢大學圖書館.2024-01-04
LECTURE 19: THE THEOREMS OF BONNET-MYERS, SYNGE AND PREISSMAN.staff.ustc.edu.cn.2024-03-01